§7.2. Линейная зависимость, размерность и базис в линейном пространстве

Определение

7.2.1.

1. Выражение называетсялинейной комбинацией элементов линейного пространства.

2. Элементы линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют числа , не равные нулю одновременно, такие, что.

3. Элементы линейного пространства называются линейно независимыми, если из равенства следует, что.

Лемма

7.2.1.

Для того чтобы некоторое множество элементов линейного пространства было линейно зависимым, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных.

Доказательство:

Доказательство совпадает с доказательством леммы 1.4.1., в котором слово “вектор” заменено словом “элемент”.

Лемма

7.2.2.

Если некоторое подмножество элементов линейно зависимо, то линейно зависимы и сами элементы .

Доказательство:

Без ограничения общности можно предположить, что линейно зависимое подмножество состоит их первых элементов множества. Тогда существуют не равные нулю одновременно числатакие, что. Но из этого соотношения вытекает равенство, которое означает линейную зависимость элементов.

Лемма доказана.

Определение

7.2.2.

Базисом в линейном пространстве называется любой упорядоченный набор егоn элементов, если

1. эти элементы линейно независимые;

2. любое подмножество в , состоящее изn+1 элемента и включающее эти n элементов, линейно зависимо.

Определение

7.2.3.

Линейное пространство называется n-мерным и обозначается , если в нем существует базис, состоящий из n элементов. Число n называется размерностью линейного пространства и обозначается .

Теорема

7.2.1.

Для каждого элемента линейного пространства существует единственное представление в виде линейной комбинации базисных элементов.

Доказательство:

Пусть в линейном пространстве  заданы базис и произвольный элементx. Тогда, по определению базиса, система элементов линейно зависима и по лемме 7.2.1. элементx является линейной комбинацией элементов . Существование разложения доказано.

Покажем единственность разложения. Допустим, что существуют две различные линейные комбинации и. Тогда получаем, что, но это означает, что при данном допущении система элементовлинейно зависима. Полученное противоречие доказывает единственность.

Теорема доказана.

Линейное пространство

Размер- ность

Пример базиса

Множество всех радиус-векторов на плоскости

2

Упорядоченная пара неколлинеарных векторов на плоскости.

Множество всех векторов в пространстве

3

Упорядоченная тройка нормированных, попарно ортогональных векторов.

Множество всех n-компонентных столбцов

n

n cтолбцов вида .

Множество всех многочленов степени не выше, чем n

n+1

n+1 одночлен вида

Множество всех матриц размера

nm

nm всевозможных различных матриц размера , все элементы которых равны нулю, кроме одного, равного 1.

Множество всех функций, непрерывных на [a,b]



Базис не существует ¹).

Множество решений однородной системы m уравнений с n неизвестными и рангом r.

n-r

Нормальная фундаментальная система решений.