3.Основы теории автоматического управления
3.1 Математический аппарат исследования линейных систем автоматического регулирования
В первой части пособия были рассмотрены основные функции элементов и систем автоматики, последовательность их включения в измерительную цепь.
При изучении динамических характеристик САР каждый элемент системы рассматривается только с точки зрения динамики его работы, вне зависимости от функционального назначения.
Структурной схемой САР называется схема, где элементы показаны в виде прямоугольников (блоков), а направление сигналов указывается стрелками. Внутри блоков пишутся операторы преобразования входного сигнала в выходной. Функциональное назначение элементов не определяется.
На рисунке 3.1 приведён пример структурной схемы системы стабилизации.
Wp(P)
Wo(P)
Wд(P)
Рисунок 3.1 Структурная схема САР
Здесь Wp(P),Wo(P),Wд(P) - передаточные функции регулятора, объекта и датчика соответственно.
Динамика процессов управления, а также динамика работы элементов САР описывается дифференциальными уравнениями.
Линейной САР называется система, динамика работы которой описывается линейным дифференциальным уравнением.
Элементарным динамическим звеном называется часть САР, которая описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка.
Для упрощения решения дифференциальных уравнений используют преобразование Лапласа.
Преобразование Лапласа позволяет свести процесс решения линейного дифференциального уравнения к решению алгебраического уравнения при помощи специальных таблиц.
Таблица преобразований Лапласа
f(t) |
F(p) |
(t) |
1 |
1(t) |
1/p |
|
|
|
F(p+a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При использовании преобразования Лапласа производится операция перехода от функций времени f(t) (оригиналов) к функциям F(p) (изображениям ) комплексной переменной р.
Символически это записывается следующим образом:
L {f(t)} = F(p) – прямое преобразование;
L {F(p)} = f(t) - обратное преобразование.
Свойства преобразования Лапласа:
L{f1(t)+f2(t)+….+fn(t)} = F1(p)+F2(p)+…+Fn(p)
L{A·f(t)} = A·F(p) , A=const
L{f(t – τ)} = e · F(p).
Теоремы Лапласа о начальном и конечном значениях функции:
Начальное значение функции:
f(0) = lim f(t) = lim p·F(p)
t→0 p→∞
Конечное (установившееся) значение функции:
f(∞) = lim f(t) = lim p·F(p)
t→∞ p→0
3.2 Временные и частотные характеристики линейных звеньев
Для исследования динамики работы системы и её элементов используют типовые входные сигналы. К ним относятся: единичная ступенчатая функция, единичная импульсная функция, гармоническая функция.
Единичная ступенчатая функция 1(t) имеет вид:
x(t)
1
t
Р
ис.
3.2.1 Единичная ступенчатая функция
Переходной характеристикой h(t) звена (системы) называется его реакция на воздействие в виде единичной ступенчатой функции при нулевых начальных условиях (рис.3.2.2) .
h(t)
t
Рисунок 3.2.2 Примеры переходных функций.
Единичная импульсная функция имеет вид:
x(t)
(t)
t
Рис.3.2.3 Весовая функция
Весовой функцией звена (системы) называется его реакция на воздействие в виде единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях (рис. 3.2.4).
w
(t)
t
Рисунок 3.2.4 Примеры весовых функций.
Передаточной
функцией звена (системы) называется
отношение изображения по Лапласу
выходной величины к изображению по
Лапласу входной величины при условии,
что все остальные воздействия равны
нулю.
F(p) f(t)
x(t) y(t)
звено
X(p) Y(p)
Рисунок 3.2.5 Воздействия на типовое динамическое звено.
x(t) - полезный сигнал; f(t) - возмущающее воздействие;
y(t) - выходной сигнал.
Передаточная функция звена по полезному сигналу:
Передаточная функция звена по возмущающему воздействию:
Временные характеристики связаны с передаточной функцией соотношениями:
