Разбор задачи b8 (демо егэ 2012)

Время выполнения-2 мин, уровень сложности-повышенный

Запись числа 67₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?

Ответ: 3

Решение:

Начнем с двоичной системы. Для хранения числа 67 необходимо 7 цифр, т.к. 64<67<128. 128=2⁷.

Троичная система. Для хранения числа 67 нужно 4 цифры, т.к. 27<67<81. 81=3⁴. Следовательно, троичная система удовлетворяет условию: "число содержит 4 цифры". Теперь необходимо проверить,удовлетворяет данная система условию: "число оканчивается на 1". Для этого нужно перевести 67₁₀ в троичную систему. Но полный перевод делать не надо,т.к. нас интересует только первый остаток, на него и будет оканчиваться 67 в троичной системе.

67 |3    6     22   7      6   1 

Остаток равен 1. Следовательно, и второе условие выполнено, поэтому троичная система подходит. Основание троичной системы равно 3

Разбор задачи a1 (демо егэ 2011)

Время выполнения-2 мин, уровень сложности-базовый

Дано А=A7₁₆, B=251₈. Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A<C<B?

1. 10101100₂

2. 10101010₂

3. 10101011₂

4. 10101000₂

Решение:

1 способ

Нужно А и В перевести в двочную систему счисления. Метод перевода числа из восьмеричной и шестнадцатеричной системы в двоичную описан в этой статье.

Сначала переведем А.Каждая цифра 16-чной системы соответствует 4 цифрам двоичной системы.

А содержит 2 цифры: А₁₆ и 7₁₆. А₁₆=10₁₀=8+2=

7=111_2. Припишем впереди незначащий "0", потому что нам нужно 4 цифры. 7=0111₂

А=1010 0111₂=1010 0111₂

Переведем B:

Каждая цифра 8-чной системы соответствует 3 цифрам двоичной системы.

B=251₈.

2₈=010₂.

5=101₂ (4=100₂, а 5=4+1)

1=001₂

251₈=010 101 001₂=10101001₂= 1010 1001₂ (для удобства сравнения разделили по четыре цифры, т.к. А представлено так)

A<C<B: 1010 0111₂<1010 1000₂<1010 1001_2,

2 способ

Переведем А и В в 10-чную систему счисления.

А=A7₁₆=16*10+7=167 (A₁₆=10₁₀)

B=251₈=2*8²+5*8+1=128+40+1=169

A<C<B:167<C<169. следовательно, С=168. Переводим в двоичную систему.

168 | 2   _ 16     84 | 2___     8   8     42 | 2__     8     4   4     21  | 2__     0     4     2   2      10  | 2__            0     2    1     10    5 | 2_                   0             0     4   2| 2_                                        1   2  1                                             0 

Перепишем результат и все остатки:10101000₂. Это искомое С.

Алгебра логики: основные понятия

Алгебра логики - раздел математики. Она оперирует логическими высказываниями.

Логическое высказывание - любое предложение в повествовательной форме, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Примеры логических высказываний:

• "Москва - столица России" (высказывание истинно).

• "После зимы наступает осень" (высказывание ложно).

Простое высказывание - логическое высказывание, состоящее из одного утверждения.

Сложное высказывание - логическое высказывание, состоящее из нескольких утверждения, объединенных с помощью "связок": союзов "и", "или (либо)", частицы "не", связки "если, то" и др. Примеры сложных высказываний:

1. "Иван сдает экзамен по физике и информатике".

Высказывание содержит два утвеждения, объединенных "и":

• Утверждение1: "Иван сдает экзамен по физике".

• Утверждение2: "Иван сдает экзамен по информатике".

2. "Игорь решил записаться в секцию по воллейболу или баскетболу".

Высказывание содержит два утвеждения, объединенных "или":

• Утверждение1: "Игорь решил записаться в секцию по воллейболу".

• Утверждение2: "Игорь решил записаться в секцию по баскетболу".

3. "Если Илья будет много готовиться самостоятельно и будет заниматься с репетитором, то он поступит в ВУЗ".

Высказывание содержит три утвеждения, объединенных связкой "если, то" и союзом "и":

• Утверждение1: "Илья будет много готовиться самостоятельно".

• Утверждение2: "Илья будет заниматься с репетитором".

• Утверждение2: "Илья поступит в ВУЗ".

Логические операции - "связки": союзы  и частицы естественного языка, образующие из простых высказываний сложные, представленные в формальном виде . Подробно основные логические операции рассмотрены в этой статье.

Логическое выражение - простое или сложное логическое высказывание, представленное в формальном виде. Примеры логических выражений:

• простое: A,

• сложное: AVB→C, 

где A, B, C - утверждения;

Λ, V, → - логические операции.

Законы алгебры логики - законы, позволяющие преобразовывать логические выражения. Основные законы рассмотрены в этой этой статье.

Логическая переменная - переменная, которая может принимать значение 1 (истина) или 0 (ложь).

Логическая функция - функция, аргументы и значение которой могут принимать значение 1 (истина) или 0 (ложь).

Таблица истинности - таблица, которая используется для описания логических функций, в частности отдельных логических операций. Примеры таблиц истинности для часто используемых логических операций.

Диаграммы Эйлера-Венна - диаграммы, которые служат для наглядного представления всех вариантов пересечения нескольких множеств. В качестве множеств могут использоваться простые логические высказывания. Диаграмма строится для логического высказывания, которое содержит от одного до трех утверждений

О том, как строить такие диаграммы, можно прочесть в статье: "Диаграммы Эйлера-Венна". Типовые задачи на множества подробно разобраны в статье "Как решать задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна".