33. Основные понятия теории оптимизации.

На практике постоянно встречаются такие ситуации, когда достичь какого-то результата можно не одним, а многими различными способами. В подобной ситуации может оказаться и отдельно взятый человек, например, когда он решает вопрос о распределении своих расходов, и целое предприятие или даже отрасль, если необходимо определить, как использовать имеющиеся в их распоряжении ресурсы, чтобы добиться максимального выхода продукции, и, наконец народное хозяйство в целом. Естественно, при большом количестве решений должно быть выбрано наилучшее.

Успешность решения подавляющего большинства экономических задач зависит от наилучшего, наивыгоднейшего способа использования ресурсов. И от того, как будут распределены эти, как правило, ограниченные ресурсы, будет зависеть конечный результат деятельности.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ

Задача оптимизации заключается в том, что заданы множество Х и функция f(x), определенная на X; требуется найти точки минимума или максимума функции f(x) на X. Общий вид задачи оптимизации может быть сформулирован следующим образом: f(x) → min, x ∈ X. h_k(x) = 0, k=1,...,K g_j(x) ≥ 0, j=1,...,J При этом f будем называть целевой функцией, X - допустимым множеством, любой элемент x ∈ X - допустимой точкой задачи, h_k(x) - ограничениями типа равенства, а g_j(x) - ограничениями типа неравенств. Необходимо дать понятие минимума, т.е. той точки, которая является решением оптимизационной задачи Определение. Глобальным минимумом f(x) называется точка x* такая что: f(x*) ≤ f(x) для любого x∈X. Если мы заменим слово "минимум" на "максимум", а в неравенстве поменяем знак, то мы получим определение глобального максимума. Точки минимума или максимума еще называют экстремальными точками, а задачи - экстремальными задачами. Различают задачи безусловной оптимизации и задачи условной оптимизации. Задача безусловной оптимизации имеет вид: f(x) → min, x ∈ X. Рассмотрим методы решения задач безусловной оптимизации. ^ Задачи безусловной оптимизации для функций одной переменной Согласно наиболее простому определению, функция   представляет собой правило, которое позволяет каждому значению   поставить в соответствие единственное значение  . В этом случае   носит название независимой переменной, а   - зависимой переменной. Ряд физических процессов можно описать (или построить модели этих процессов) с помощью непрерывных функций, т.е. функций, которые обладают свойством непрерывности в каждой точке  , принадлежащей областям их определения. Определение. Функция f, определенная на выпуклом множестве X⊂Rⁿ, называется выпуклой, если  f(λx¹ + (1-λ)x²) ≤ λf(x¹) + (1-λ)f(x²)

при всех x¹, x² ∈ X, λ∈[0,1]. Определение. Функция называется вогнутой, если функция -f является выпуклой. Рисунок: Пример выпуклой и вогнутой функции.

34. Понятие методов оптимизации и оптимального программирования.

Суть методов оптимизации (оптимального программирования) заключается в том, чтобы, исходя из наличия определенных ресурсов, выбрать такой способ их использования (распределения), при котором будет обеспечен максимум или минимум интересующего показателя.

Необходимым условием использования оптимального подхода к планированию (принципа оптимальности) является гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей).

Оптимальное программирование, таким образом, обеспечивает успешное решение целого ряда экстремальных задач производственного планирования. В области же макроэкономического анализа, прогнозирования и планирования оптимальное программирование позволяет выбрать вариант народнохозяйственного плана (программы развития), характеризующийся оптимальным соотношением потребления и сбережений (накоплений), оптимальной долей производственных капиталовложений в национальном доходе, оптимальным соотношением коэффициента роста и коэффициента рентабельности национальной экономики и т. д.

Оптимальное программирование обеспечивает получение практически ценных результатов, так как по своей природе оно вполне соответствует характеру исследуемых технико-экономических процессов и явлений. С математической и статистической точек зрения этот метод применим лишь к тем явлениям, которые выражаются положительными величинами и в своей совокупности образуют объединение взаимозависимых, но качественно различных величин. Этим условиям, как правило, отвечают величины, которыми характеризуются экономические явления. Перед исследователем экономики всегда имеется – некоторое множество разного рода положительных величин. Решая задачи оптимизации, экономист всегда имеет дело не с одной, а с несколькими взаимозависимыми величинами или факторами.

Оптимальное программирование можно применять лишь к таким задачам, при решении которых оптимальный результат достигается лишь в виде точно сформулированных целей и при вполне определенных ограничениях, обычно вытекающих из наличных средств (производственных мощностей, сырья, трудовых ресурсов и т. д.). В условия задачи обычно входит некоторая математически сформулированная система взаимозависимых факторов, ресурсы и условия, ограничивающие характер их использования.