§ 5. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа
|
Расчет разветвленных электрических цепей значительно упрощается, если пользоваться правилами, сформулированными Кирхгофом. Этих правил два. Первое из них относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой сходятся более чем два проводника (рис. 7.3). При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла – отрицательным. Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:
|
.
(7.19)
Например (рис. 7.3), первое правило Кирхгофа запишется так:
.
Первое правило вытекает из закона сохранения электрического заряда.
В случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.
Уравнение (7.19) можно написать для каждого из N узлов цепи. Однако независимыми являются только N – 1 уравнений, N-e будет следствием из них.
|
Второе правило относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру (например, контур АВС на рис. 7.4). Зададим направление обхода (например, по часовой стрелке, на рис. 7.4). Если направление совпадает с направлением обхода контура, то ток считается положительным, а если не совпадает, – отрицательным. Применим к каждому из неразветвленных участков контура закон Ома:
|
При сложении этих выражений потенциалы взаимно уничтожаются и получается уравнение
,
которое
выражает второе правило Кирхгофа: в
любом замкнутом контуре,
произвольно выбранном в разветвленной
цепи, алгебраическая сумма произведений
сил токов
на
сопротивления
соответствующих
участков этого контура равна алгебраической
сумме эдс
,
встречающихся в этом контуре:
.
(7.20)
Уравнение (7.20) может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно выделить мысленно в данной разветвленной цепи. Однако независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров один на другой.
При составлении уравнений второго правила Кирхгофа токам и эдс нужно приписывать знаки в соответствии с выбранным направлением обхода. Эдс также нужно приписать знак минус, так как она действует в направлении, противоположном направлению обхода. Направления обхода в каждом из контуров можно выбирать совершенно произвольно и независимо от выбора направлений в других контурах. При этом может случиться, что один и тот же ток либо одна и та же эдс войдет в разные уравнения с различными знаками. Это, однако, не имеет никакого значения, потому что изменение направления обхода вызывает лишь изменение всех знаков в уравнении (7.20) на обратные.
Число независимых уравнений, составленных в соответствии с первым и вторым правилами Кирхгофа, оказывается равным числу различных токов, текущих в разветвленной цепи. Поэтому, если заданы эдс и сопротивления для всех неразветвленных участков, то могут быть вычислены все токи.