§ 3. Закон Ома

В 1826 г. немецкий физик Г. Ом (1787–1854) экспериментально установил закон, согласно которому, сила тока, проходящего в однородном проводнике, пропорциональна напряжению на концах  проводника:

,                                                (7.6)

где R – характеристика проводящей среды, электрическое сопротивление проводника. В СИ сопротивление измеряется в омах (Ом).

Значение сопротивления проводника R зависит от материала, из которого проводник изготовлен, а также его размеров и формы. Для однородного проводника с площадью поперечного сечения S и длиной  l имеем

 

  ,                                              (7.7)

где  – удельное электрическое сопротивление  проводника.

Закон Ома в виде выражения (7.6) называется законом Ома для однородного участка цепи в интегральной форме.

 

Рассмотрим малый объем проводящей среды в виде цилиндра сечением S и длиной l (рис. 7.1). Причем будем считать, что в пределах этого объема неоднородностью таких характеристик, как плотность тока j, напряженность электрического поля , можно пренебречь. Чем меньше будет объем цилиндра, тем справедливее будет сделанное допущение. Подставляя выражения (7.2) и (7.7) в формулу (7.6) и учитывая постоянство электрических характеристик в рассматриваемом объеме, получим

 

,

 

 

,                                                (7.8)

 

где –   удельная электрическая проводимость проводника. Единицей измерения проводимости в СИ является 1 сименс (1 См).

Учитывая коллинеарность векторов  и  в однородной проводящей среде (рис. 7.2, а), перепишем (7.8) в виде

 

.                                              (7.9)

Формула (7.9) описывает закон Ома для однородного участка цепи в дифференциальной форме. Для неоднородного участка цепи (рис. 7.2, б), т. е. при наличии сторонних сил, закон Ома, как это следует из формулы (7.5), принимает следующий вид:

 

 в интегральной форме ( – общее сопротивление проводника и источника тока на участке 1–2)

 

  ;                                    (7.10)

  в дифференциальной форме

 

.                                            (7.11)

 

Для замкнутой цепи (рис. 7.2, в) справедливо выражение

 

   ,                                          (7.12)

 

где  – суммарная электродвижущая сила в цепи; r – внутреннее сопротивление источников тока; R – внешнее по отношению к источникам сопротивление цепи.

 

§ 4. Закон Джоуля–Ленца

 

 

Рассмотрим однородный проводник, к концам которого приложено напряжение U. За время  через сечение проводника переносится заряд . Так как ток представляет собой перемещение заряда  под действием электрического поля, то работа тока

 

.                                     (7.13)

 

 

Соответственно мощность, выделяемая в цепи, определяется по формуле

.                                        (7.14)

Энергия, выделяемая в цепи постоянного тока, может расходоваться:

 

 

– на выделение теплоты (например, спираль электроплиты при пропускании тока нагревается);

 

– совершение механической работы (например, ротор электродвигателя при протекании по нему тока вращается);

 

– совершение химических превращений (например, при зарядке аккумулятора);

– свечение (например, лампы дневного света при подаче на них напряжения);

– генерацию акустических волн (например, в электродинамиках) и т. д.

В случае, когда проводник неподвижен и химических превращений в нем не совершается, работа тока [формула (7.13)] затрачивается на увеличение внутренней энергии проводника, в результате чего проводник нагревается. При протекании тока в проводнике выделяется теплота

 

.

Заменив в (7.13) в соответствии с законом Ома  , получим формулу

.                                   (7.15)

Соотношение (7.15) было установлено экспериментально в 1841 г. английским физиком Д. Джоулем и независимо от него в 1842 г. русским ученым Э. Х. Ленцем и

носит название закона Джоуля–Ленца: количество теплоты, выделяющейся в единицу времени на участке цепи, при протекании по нему постоянного тока, равно произведению сопротивления участка цепи на квадрат силы тока.

 

Поскольку величины, фигурирующие в формуле (7.15), являются интегральными (характеризующими проводник конечных размеров), то можно сказать, что выражение (7.15) описывает закон Джоуля–Ленца в интегральной форме.

От формулы (7.15), определяющей теплоту, выделяющуюся во всем проводнике, можно перейти к выражению, характеризующему выделение теплоты в различных местах проводника. Выделим в проводнике таким же образом, как это было сделано при выводе формулы (7.9), элементарный объем в виде цилиндра (см. рис. 7.1). Согласно закону Джоуля–Ленца за время  в этом объеме выделится теплота

 

,                     (7.16)

где  – элементарный объем.

Разделив выражение (7.16) на  и , найдем количество теплоты, выделяющееся в единице объема в единицу времени, – удельную тепловую мощность тока:

.                                             (7.17)

 

Используя дифференциальную форму закона Ома [формула (7.9)] и соотношение   ,  получим

 

 

.                                 (7.18)

Формула (7.18) представляет собой дифференциальную форму закона Джоуля–Ленца.

Отметим, что Джоуль и Ленц установили свой закон для однородного участка цепи. Однако, как следует из выкладок, приведенных в данном параграфе, формулы (7.15) и (7.18) справедливы и для неоднородного участка при условии, что действующие в нем сторонние силы имеют нехимическое происхождение.