§ 8.3. Көп айнымалы функциялардың дифференциялдануы
1. Дербес туындылар.
Айталық,
жиынында анықталған функция және
осы жиында жататын нүкте болсын. Енді
берілген функциядағы
және
айнымалыларын уақытша тұрақты
деп алып, (8.14)
теңдіктерді
пайдаланып,
бір айнымалы
функцияның
нүктесіндегі дербес өсімшесінің
(1)
шегін қарастырайық. Егер (1) теңдіктің шегі болса, онда ол шек берілген функциясының нүктесіндегі айнымалысы бойынша алынған дербес туындысы деп аталады да,
өрнектерінің бірімен белгіленеді.
Дәл
осы сияқты басқа айнымалылар бойынша
функциясының дербес туындыларын алуға
болады.
М.4.
функциясының
нүктесіндегі дербес туындыларын табайық.
Шешуі. Дербес туындылардың (8.20) формулалары бойынша,
М.5.
функциясының дербес туындыларын
табайық.
Шешуі. Тағы да (8.20) теңдіктерді пайдаланамыз.
2. Функцияның дифференциалдануы. Егер функциясының нүктесінің маңайындағы толық өсімшесі
(8.16)
түрінде
жазылса, онда берілген функция
нүктесінде дифференциалданады
деп аталады. Мұндағы:
-терден
тәуелсіз, кейбір тұрақтылар;
мейілінше аз функция.
8.4. Теорема. (Дифференциалданудың қажетті шарты). Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, онда оның осы нүктеде барлық айнымалылар бойынша дербес туындылары бар және олар үшін
(8.17)
теңдіктері орындалады.
8.5.
Теорема.
(Дифференциалданудың
жеткілікті шарты).
Егер
функциясының
нүктесінде үзіліссіз дербес туынды-лары
бар
болса, онда ол
нүктесінде дифференциалданады.
3.
Көп айнымалы функцияның дифференциалы.
Егер
функциясы
нүктесінде дифференциалданатын болса,
онда
өсімшелерінің сызықты функциясы болатын
өрнегі, берілген функцияның
нүктесіндегі толық
дифференциалы
деп аталады және
немесе
түрінде белгіленеді. Ал тәуелсіз
айнымалылар үшін
теңдіктерін
алсақ, онда функция дифференциалы
(8.18)
түрінде жазылады.
Бұл
формуланы, өсімше
түрінде
де жазуға болады. Бұдан берілген
функцияның толық өсімшесі екі бөліктен
тұратындығын көреміз. Оның біріншісі
,
екіншісі
кезде шексіз аз шама болатын
.
Сондықтан, егер ол нөлден ерекше болса,
функцияның толық дифференциалы,
нүктесіндегі функция өсімшесінің бас
сызықты бөлігі
болып табылады. Ал
өрнектері, берілген функцияның әр
айнымалы бойынша сәйкес дербес
дифференциалдары
деп аталады және
түрінде белгіленеді.
М.6.
функциясының
нүктесіндегі дифференциалын табайық.
Шешуі. Алдымен дербес туындыларын табайық.
.
Ендеше,
функцияның толық дифференциалы, (8.17)
формула бойынша,
.
Ал
дербес дифференциалдар:
М.7.
түбірін жуықтап есептейік.
Шешуі.
Көздеген мақсатқа жету үшін
функциясын қарастырамыз. Онда ізделініп
отырған жуық санды табу үшін, алынған
функцияның мәнін,
нүктесі үшін қарастырамыз. Сонымен,
Онда (8.19)
жуық теңдік бойынша,
.
Ендеше,
4.
Күрделі функцияны дифферендиалдау. 1.
Айталық, үзіліссіз дифференциалданатын
функциясы берілсін. Ал, өз кезегінде
айнымалыларының өзі үзіліссіз
дифференциалданатын
айнымалысының функциялары болсын, яғни
.
Демек, берілген функция
күрделі функциясы бір айнымалы
-
дан
ғана тәуелді функция болып шығады. Осы
функцияның
бойынша туындысын табайық. Ол үшін
-ға
өсімшесін берейік.
және
кезде
ұмтылатын
болады.
Ал
дифференциалданатын болғандықтан,
кезде
(8.20)
Айталық,
,
ал
болса, онда (8.25) формуланы пайдаланып,
,
(8.21)
берілген функция үшін толық туынды формуласын аламыз.
М.8.
а)
ә)
функцияларының
сәйкес туындыларын табайық.
Шешуі. а) Алдымен (8.20) формулаға сәйкес қажетті дербес туындыларды тауып, оларды орындарына қоялық,
ә)
Енді (8.26) формула бойынша,
2.
Айталық, үзіліссіз дифференциалданатын
функциясы берілсін. Өз кезегінде
айнымалыларының өздері
айнымалыларының үзіліссіз дифференциалданатын
функциялары болсын, яғни
Ендеше берілген функция күрделі болып
,
және
айнымалыларының функциясы болып шығады.
Бұл
кезде,
және
бойынша
дербес туындылар:
(8.22)
теңдіктерімен анықталады.
М.9.
функциясын полярлық координаталарға
формулалары
арқылы көшіріп, дербес туындыларын
табайық.
Шешуі. Ол үшін (8.22) формуланы пайдаланамыз.
5.
Бірінші дифференциалдың инварианттық
түрі. Күрделі
функцияның дифференциалын қарастырайық.
Онда
екі айнымалы
функцияның дифференциалы (8.18)
теңдік бойынша
(1)
түрінде жазылады.