4.5. Основні помилки кутомірного приладу з поворотним візиром типу теодоліт та їх вплив на точність вимірювання кутів

4.5.1. Колімаційна помилка

К

олімаційною помилкою у випадку теодоліта називається неперпендику-лярність осі візира по відношенню до його горизонтальної осі повороту на малий кут k (рис. 4.9).

У

Рис. 4.9

випадку відсут-ності колімаційної по-милки вісь візира при на-веденні по вертикалі опи-сала б площину початко-вого меридіана yz. При наявності колімаційної помилки візирна вісь тру-би при повороті навколо горизонтальній осі опи-ше не площину, а коніч-ну поверхню. Траєкторія візирної осі на сфері при цьому буде у вигляді дуги малого кола (показана суцільною широкою лінією), точки якої рівновіддалені від початкового меридіану на кут k, який вимірюється малою дугою k. Отже, ми можемо записати

.

Згідно формули (4.9) для накопиченої помилки горизонтального кута довіль-ної точки візування, розміщеної під кутом місця і (не дуже близької до 90°), маємо:

. (4.10)

При малих кутах місцевості, розкладаючи секанс в ряд Тейлора та нехтуючи величинами четвертого і вище порядків малості, формула (4.10) спроститься до виг-ляду:

. (4.11)

При дуже великих кутах місця, тобто для точок, розміщених біля зеніту, помилка горизонтального кута за рахунок зміщення по вертикалі (як було пока-зано в п. 4.4) може досягати величезної величини – включно до 90°.

Величину помилки вертикального кута знайдемо із прямокутного сферичного трикутника BxC, звідки за теоремою синусів ми можемо записати:

, або ,

де і – істинний кут місця точки візування В, виміряний по дузі меридіана, що прохо-ить через цю точку; – кут місця цієї ж точки візування, відрахований за верти-кальним лімбом і виміряний по дузі початкового меридіана до площини візування, яка проходить через точку В і опирається на вісь повороту труби.

Помилка вертикального кута дорівнює різниці цих кутів, тобто .

Перетворюючи попередню формулу, отримаємо:

.

Звідки ,

розкладаючи Sec k в ряд Тейлора: . (4.12)

При , як видно з рис. 4.9, ,значить .

Таким чином, накопичена помилка вертикального кута змінюється в межах

Для не дуже великих кутів місця (умовно до і < 84°) помилкою вертикального кута можна знехтувати як малою величиною другого порядку. На рис. 4.9 по-хибка вертикального кута зобразиться відрізком дуги початкового меридіану, що відсікається широтним кругом через точку візування В і площиною візування.

Величину зміщення від виска можна знайти, якщо провести площину вис-ка, що проходить через горизонтальну точку траєкторії візирної осі (в даному випад-ку площина виска не пересікає, а торкається траєкторії візирної осі (ТВО)).

4.5.2. Нахил горизонтальної осі.

Нахил горизонтальної осі виражається кутом l, який горизонтальна вісь повороту візирної труби складає з перпендикуляром до вертикальної осі обертання приладу (рис. 4,10, б)

Оскільки відсутні інші помилки, то візирна вісь перпендикулярна осі пово-роту. Тому при нахилі цієї останньої осі на кут l візирна вісь опише похилу площину

Рис. 4.10

а)

б)

і її ТВО зобразиться у вигляді дуги великого круга (на рис. 4.10, а показано широ-кою лінією), яка на горизонті пересікається з початковим меридіаном і складає з ним той же кут l.

Вибравши на траєкторії візирної осі довільну точку В, проведемо через неї меридіан. Істинні кути точки наведення будуть: горизонтальний (-Δφ_l)_0i, вертикаль-ний – і. Відраховані же за лімбами кути (якщо припустити, що при наведенні на го-ризонтальну точку початкового меридіана відліки за обома лімбами були нульови-ми) дорівнюють: горизонтальний – нулю, вертикальний – і′. Кут і′ зобразиться ду-гою траєкторії візирної осі від горизонту до точки В.

Провівши через візирну точку В дугу великого круга перпендикулярно почат-ковому меридіану, отримаємо прямокутний сферичний трикутник ВуС, з якого за те-оремою синусів маємо: або . (4.13)

Із прилеглого прямокутного трикутника ВуD отримаємо за теоремою синусів:

або . (4.14)

Підставивши (4.14) в (4.13) знайдемо: (4.15)

Оскільки горизонтальна точка траєкторії візирної осі співпадає з початковим меридіаном, то а₀ = 0 і тому а_і =δ_і.

Підставляючи (4.15) в формулу (4.2) знайдемо:

. (4.16)

При і′ =90°, як видно з рис. 4.10, а, і = 90° - l, тому

, а

Використовуючи формулу (4.14) для помилки вертикального кута, аналогічно доведенню формули (4.12), отримаємо: . ( 4.17)

Величина цієї помилки змінюється в межах тобто, для точок, не ду-же близьких до зеніту, помилкою вертикального кута можна знехтувати як малою величиною другого порядку.