2.1. Приклади побудови фрактальних множин. Класифікація фракталів.

Проте чи існують в математиці множини[19], які мають фрактальну розмірність? Так, такі множини були відкриті в XIX і XX століттях. У 1883 р. німецький математик Георг Кантор (1845-1918) побудував множину, ім'я, що носить його (безліч Кантора). Побудова безлічі Кантора здійснюється таким чином: Одиничний відрізок розбивається на 3 рівних частини. Середня частина викидається. Що залишилися 2 частини знову розбиваються, кожна на 3 рівних частини, і середні їх частини викидаються. Відрізки, що вийшли, знову розбиваються, кожен на 3 рівних частини, і середні частини викидаються і так далі В межі виходить безліч Кантора.

Питається, чому рівна фрактальна розмірність безлічі Кантора? Застосуємо для її обчислення формулу (*). Щоб підрахувати по формулі (*), потрібно визначити e і N(e). На першому етапі побудови безлічі Кантора відрізок одиничної довжини можна покрити одним відрізком завдовжки в, тобто e = 1 і N(e)= 1.

У 1904 р. німецький математик Хельга фон Кох побудувала криву, яка в даний час носить її ім'я (крива Кох) Рис.. 1. Побудова починається з одиничного відрізання прямої. Одиничний відрізок прямої ділиться на 3 рівних частини. Середня частина віддаляється, а на місці середньої частини будується рівносторонній трикутник. У результаті виходить ламана лінія, що складається з 4 відрізань, кожен з яких рівний 1/3 .

Рис.1 «крива Коха»

Далі, кожне з 4 відрізань знову ділиться на 3 рівних частини, на відрізках, розташованих в середині, будуються рівносторонні трикутники, і середні частини відрізань віддаляються. Ця процедура повторюється ще і ще раз. У результаті лінія стає дуже порізаною. Якщо цей процес повторювати нескінченно довго (тобто перейти до межі), то отримуємо безперервну криву, що ніде не диференціюється, і ця безперервна крива має ненульову "площу". Щоб в цьому переконатися, підрахуємо фрактальну розмірність кривий Кох. На першому етапі ми маємо один відрізок завдовжки 1, який можна покрити одним відрізком завдовжки, рівною 1, тобто e. = 1 і N(e)= 1. На другому етапі ми маємо 4 відрізання, кожен завдовжки, рівною 1/3 тому для покриття цих відрізань потрібно 4 відрізання завдовжки 1/3 тобто e=1/3 і N(e)=4.

Таким чином, ми вперше стикаємося з фрактальним множиною. Звична (або топологічна) розмірність канторової пилу рівна 0, а ось фрактальна, виявляється, нулю не рівна - вона строго більше; це і є, за визначенням Мандельброта, властивість фрактала.

Як і все в науці, фрактали прийнято ділити на класи або види. Кожен вид має своє особливе походження. Візьмемо, наприклад, геометричні фрактали. Один з найвідоміших прикладів цього вигляду - це килимок Серпінського який зображений Рис..2. Побудова його полягає в наступній: ви берете рівносторонній трикутник і в середині вирізуєте в нім дірку у вигляді такого ж трикутника, тільки перевернутого і в чотири рази меншого. Тепер в кожному з кутів у нас з'явилося по маленькому трикутнику. Повторюємо з ними те ж саме: в середині кожного вирізуємо маленький трикутник. І так далі, поки не втомитеся, або поки трикутники, що зменшуються, не зможете відрізнити від крапки.

Рис.2 Побудова килимка Серпінського

Приблизно також виходить решта всіх геометричних фракталів: ви берете якусь фігуру і починаєте застосовувати до неї, а потім до її частин, певна геометрична побудова достатня багато раз. Строго кажучи, цю процедуру треба повторювати нескінченна кількість разів. Але оскільки можливості нашого зору обмежені, та і життя не нескінченне, то можна зупинитися на побудові найдрібніших видимих деталей.

Фрактали наступного вигляду називаються алгеброю. Один з методів побудови фракталів алгебри полягає в наступному. Ви берете формулу, підставляєте в неї число і отримуєте результат. Потім підставляєте в цю ж формулу результат і отримуєте наступне число. Повторюємо цю процедуру багато раз. У математиці це називається ітераційний процес. В результаті виходить набір чисел, які є точками фрактала. Дивовижне те, що іноді ці формули до смішного прості - ви їх можете знайти в будь-якому шкільному підручнику алгебри 6-го класу. А ось фігури виходять вражаючої складності і краси. Таким чином малюють, наприклад, фрактал папороть зображений на Рис. 3.

Рис. 3 Фрактал "папороть".

Ще одним поширеним виглядом є стохастичні фрактали. Їх отримують, міняючи в ітераційному процесі деякі параметри випадковим чином. Цим способом можна намалювати такі природні об'єкти, як порізані берегові лінії, рельєф місцевості, хмари, хвилі на воді багато що інше. Тому фрактальні моделі сьогодні широко застосовують в комп'ютерних іграх, створюючи в них обстановку, яку вже важко відрізнити від реальності.

Мандельброт досліджував перетворення комплексної площини. Втім, перетворення, досліджене Мандельбротом, можна представити просто як перетворення площини. Мандельброт розглядав траєкторії крапок, які виходять при цьому перетворенні, і вивчав залежність картини, що виходить, від параметра С. Казалось би, нічого цікавого чекати не доводилося: настільки простим здавалося перетворення. Фіксуючи параметр З, Мандельброт спробував встановити ті області на площині, виходячи з яких, крапки не "тікають" на нескінченність, а утворена при ітераційному процесі послідовність залишається в обмеженій околиці. Виявилось, що значення таких параметрів З утворюють зв'язну множину з дивно химерною межею, і форма основної частини множини повторюється і повторюється в різних масштабах. Це множина і було названо безліччю Мандельброта яка зобажена на Рис. 4.

Рис. 4 Множина Мандельброта

Мандельброт опублікував дослідження знайденої ним множини в кінці 1980 року. Математики Р. Брукс і Дж. Мателськи випустили свою роботу з повідомленням про цю множину в 1978 році. Спочатку Брукс і Мателськи не надавали особливого значення своїй знахідці, проте згодом заявили, що є, щонайменше, співавторами відкриття. Дж. Хаббард повідомив, що спостерігав безліч Мандельброта на дисплеї свого комп'ютера в 1976 році. Крім того, Хаббард, Мателськи і Брукс запропонували вважати дійсним відкривачем безлічі французького математика Пьера Фату, що описав його ще в 1906 році. Проте у всіх цих випадках доводиться говорити навіть не про коріння фрактальної геометрії, а лише про її зерна - причому ще не пророслих; бо "автори" не змогли оцінити і зрозуміти сенс того, що вони знайшли. Що стикалися з безліччю Мандельброта учені вважали свої знахідки окремим випадком, майже випадковістю, і не побачили абсолютно нової області знань і досліджень. Не було осяяння, не було виходу за конкретну проблему. Тому першовідкривачем множини Мандельброта ми, без сумніву, можемо рахувати самого Б. Мандельброта. Тут варто звернути увагу на цікавий факт: Хаббард саме спостерігав безліч Мандельброта; не обчислив, не побудував - а бачив його. Точно так, як і побачив його і Мандельброт. Бачили вони одне і те ж. Це настільки схоже на відкриття в природних науках, що можна затверджувати: фрактали були відкриті експериментально. На відміну від своїх колег, Мандельброт майже знав, що він шукає, - але абсолютно не знав, що саме він знайде. Коли в своїх спогадах Мандельброт говорить про новенький комп'ютер Vax, з яким йому пощастило працювати, про погані дисплеї і принтер із слабким дозволом, що не дозволив йому відразу бачити свою множину, він говорить про них так само, як фізик про експериментальну установку, створення і застосування якої привело до відкриття.