Задачі № 1 і № 2

1. Осьовий розтяг і стиск

Осьовий розтяг або стиск – це деформація, яка виникає у тому випадку, коли зовнішні сили або їх рівнодійні направлені вздовж осі бруса.

Ось (вісь) бруса – це лінія, яка з’єднує центри ваги усіх поперечних перерізів.

Переріз найменшої площі називають поперечним (він завжди перпендикулярний до осі бруса).

Брус з прямолінійною віссю називають стержнем.

Дослідження показали, що при осьовому розтяганні або стисканні складові внутрішніх сил завжди перпендикулярні (нормальні) до поперечного перерізу. Рівнодійну вказаних складових називають поздовжньою або осьовою силою (зусиллям) та позначають літерою . Поздовжні розтягуючі сили вважають додатними, а стискуючі – від'ємними.

Для визначення поздовжніх сил використовують метод перерізів: розрізають брус (стержень) на дві частини; одну частину відкидають; вплив відкинутої частини на залишену заміняють поздовжньою силою, зображуючи її додатною, тобто направляючи від розглядуваного перерізу в бік відкинутої частини; складають можливі незалежні рівняння статики (рівняння рівноваги), з яких і визначають поздовжню силу.

Інтенсивність внутрішніх сил в точці називають напруженням (механічним напруженням). Розрізняють нормальні ( ) та дотичні ( ) напруження. Нормальні напруження перпендикулярні до перерізу, а дотичні торкаються його.

Доцільно виділяти ділянки бруса (стержня). Межами ділянок є кінцеві перерізи бруса, а також перерізи, в яких прикладені зовнішні активні чи реактивні зосереджені сили, або відбувається різка зміна форми та розмірів поперечних перерізів.

При осьовому розтяганні або стисканні нормальні напруження по поперечному перерізу бруса (стержня), трохи віддаленому від місць прикладення зовнішніх активних та реактивних сил, розподілені рівномірно й на -тій ділянці бруса визначаються за наступною формулою:

, (1.1)

де - поздовжня сила, а - площа розглядуваного поперечного перерізу бруса (стержня).

Графічне зображення закону змінювання поздовжньої сили або нормального напруження за довжиною стержня відповідно називають епюрою повздовжніх сил ( ) або епюрою нормальних напружень ( ).

Якщо на і-тій ділянці бруса довжиною відношення , то абсолютна деформація цієї ділянки визначається за формулою

, (1.2)

де - модуль пружності (модуль Юнга або модуль пружності першого роду) матеріалу бруса, який характеризує спроможність матеріалу опиратися деформуванню; - жорсткість при осьовому розтяганні або стисканні.

Абсолютна деформація ділянки бруса тільки від власної ваги визначається за формулою

(1.3)

де - вага -ої ділянки ( ; - питома вага матеріалу).

У випадку вертикального ступінчастого бруса, що защемлений знизу, деформація його -ї ділянки сталого перерізу з урахуванням власної ваги знаходиться за формулою

, (1.4)

де - зусилля в перерізах -ї ділянки без урахування власної ваги; - сумарна вага усіх попередніх -тих ділянок (якщо йти від вільного кінця бруса).

Абсолютна деформація бруса, що має декілька ділянок, дорівнює алгебраїчній сумі деформацій усіх його ділянок.

Переміщення якого-небудь перерізу знаходиться як алгебраїчна сума деформацій частин бруса, що розташовані між розглядуваним перерізом і закріпленим кінцем.

Відносна поздовжня деформація одноступінчастого бруса , де - довжина бруса. Деформація зв’язана з нормальним напруженням лінійною залежністю - законом Гука: .

Відносна поперечна деформація , де - ширина бруса. Деформація зв’язана з деформацією коефіцієнтом Пуассона ( ) таким чином

. (1.5)

Для ізотропних матеріалів 0 0,5.

Умова міцності при осьовому розтяганні або стисканні має бути записана для небезпечного перерізу бруса, в якому виникає максимальне за модулем напруження

, (1.6)

де - допустиме нормальне напруження; - небезпечне напруження, яке визначається експериментально при випробуванні стандартних зразків на розтягання та стискання; - коефіцієнт запасу міцності.

Для пластичних матеріалів - границя текучості, а 1,4 2,5; для крихких матеріалів - границя міцності, а 2,5 5,0.

З умови міцності, якщо порівняти з , можна визначити потрібну площу поперечного перерізу

, (1.7)

або допустиму величину навантаження ( ); якщо , то

. (1.8)

Для призматичного бруса постійного поперечного перерізу умова міцності з урахуванням власної ваги, якщо зосереджена сила та власна вага діють в одному напрямку, запишеться так

; (1.9)

звідки можна знайти потрібну площу поперечного перерізу

. (1.10)

З виразу (1.9) видно, що напруження тільки від власної ваги бруса не залежить від площі поперечного перерізу.

Для ступінчастого бруса за допомогою (1.10) отримаємо вираз для визначення потрібної площі перерізу -ї ступені

. (1.11)

Якщо зосереджена сила та власна вага діють в різних напрямках, то вирази (1.9-1.11) повинні відповідним чином корегуватися.

Власну вагу слід враховувати при розрахунках елементів, для яких вага є одним з основних навантажень (великі фундаменти, високі стіни, димові труби, довгі троси та т. ін.), а також у випадках використання матеріалів з малою питомою міцністю ( ).

Розпочинаючи розрахунок любої конструкції завжди спочатку треба встановити ступінь статичної невизначеності (ССН) розглядуваної системи. Для цього треба від кількості невідомих зусиль і незалежних від них реакцій конструкції відняти кількість можливих незалежних рівнянь статики, які можна скласти для наявної системи сил.

Для статично визначеної системи ССН=0, а для статично невизначеної ССН>0. Якщо система статично невизначена, то для її однозначного розрахунку рівнянь статики недостатньо, тому на основі розглядання деформації системи складають додаткові рівняння: рівняння сумісності або нерозривності деформацій. Необхідна кількість додаткових рівнянь дорівнює ССН.

Далі розглянуто приклади розрахунку двох задач на осьовий розтяг або стиск.

Приклад розв’язання задачі № 1. Ступінчастий бетонний брус (див. рис. 1.1,а та 1.3,а) перебуває під дією зосереджених зовнішніх сил і власної ваги. При 4 м, 4 м, 2 м, 5 м, 0,25 м², 0,5 м², 150 кН, 250 кН, 18 кН/м³, МПа та 1 МПа, враховуючи та не враховуючи власну вагу, потрібно зробити наступне: а) побудувати епюри і ; б) перевірити міцність бруса; в) визначити повну деформацію бруса; г) визначити переміщення перерізу І-І відносно жорсткого закріплення; д) користуючись умовою міцності знайти найбільш економічні за витратами матеріалу потрібні розміри квадратного поперечного перерізу кожної ділянки бруса.