5.4. Лекальные кривые линии

В станкостроении и других отраслях машиностроения часто применяются детали, контурные очертания которых выполнены по разнообразным кривым. Например, очертания зубьев шесте­рен, кулачков, лопаток турбин двигателя, шнеков представляют со­бой кривые линии. С помощью кривых линий исследуют различ­ные процессы, изображают функциональные зависимости. Мето­ды построения кривых основаны на их свойствах или способах образования.

Рассмотрим наиболее распространенные плоские кривые: эллипс, параболу, синусоиду, циклоиду, эвольвенту и спираль Архимеда. Для них укажем основные свойства и приемы построе­ния. Подробно о различных кривых, их свойствах и уравнениях см. в учебной литературе [2 ].

5.4.1. Вычерчивание кривых по лекалу

Для построения кривых определяют некоторое количество принадлежащих им точек, которые от руки соединяют плавной кри­вой линией, а затем обводят по лекалу. Обвести сразу всю кривую по одному лекалу, как правило, не удается, поэтому подбираются лекала, соответствующие кривым того или иного участка. При построении необходимо следить за тем, чтобы лекало проходило через несколько точек (как минимум четыре). Переходя к следую­щему участку, необходимо захватить часть уже обведенной линии (рис. 5.35).

Рис. 5.35

5.4.2. Эллипс

Эллипс — это замкнутая кривая, для которой сумма расстоя­ний от любой ее точки М до двух точек и , называемых фоку­сами — есть величина постоянная, равная большой оси эллипса 2а;

Рис. 5.36 Рис. 5.37

Отрезок АВ = 2а – большая ось эллипса, CD = 2b – малая ось эллипса (рис 5.36).

Если из точки С или D провести дугу радиусом R = АВ/2 (или R = а), то на пересечении дуги с большой осью эллипса будут по­лучены его фокусы – точки и .

Построение эллипса по двум заданным его осям АВ и CD (рис. 5.37).

Из центра О проводят вспомогательные окружности, диа­метры которых равны большой и малой осям эллипса. Большую окружность делят на несколько одинаковых частей и точки деле­ния соединяют с центром О. Эти лучи разделяют малую окруж­ность на то же количество равных частей. Через точки деления большой окружности проводят прямые, параллельные малой оси эллипса CD, а через точки деления малой окружности — парал­лельные большой оси эллипса АВ. Точки пересечения соответ­ствующих прямых будут принадлежать эллипсу. Полученные точ­ки соединяют между собой плавной кривой от руки, а затем об­водят по лекалу.

Построение нормали и касательной к эллипсу в точке М (рис. 5.38).

Нормаль n в данной точке М эллипса есть биссектриса внут­реннего угла, образованного прямыми и . Касательная пря­мая t перпендикулярна нормали n.

Рис. 5.38

5.4.3. Парабола

Парабола – плоская кривая, каждая точка которой располо­жена на одинаковом расстоянии от заданной прямой m, перпендикулярной к оси симметрии параболы, называемой директрисой, и точки F, называемой фокусом параболы (рис. 5.39). ВМ = MF; О – вершина параболы; Р – параметр параболы.

a) б)

Рис. 5.39 Рис. 5.40

Построение параболы по заданным вершине О, оси ( и точке М параболы (рис. 5.40, а). Строим прямоугольник с размерами сторон AM = а; ОА = b (см. рис. 5.40, б). Стороны прямоугольни­ка ОА и AM делим на произвольное одинаковое число равных час­тей и нумеруем точки деления. Горизонтальный ряд делений со­единяем лучами с вершиной О. Через точки деления на ОА прово­дим прямые, параллельные оси параболы. Точки пересечения од­ноименных горизонтальных прямых с лучами принадлежат пара­боле. Вторую половину кривой достраиваем на основании сим­метрии точек относительно оси ОХ.

Построение касательной и нормали к параболе в заданной точке М (см. рис. 5.39).

Касательная t соединяет заданную точку М с точкой К, поло­жение которой определяется соотношением ON = OK. Нормаль n перпендикулярна к касательной t.