5.3. Сопряжения

5.3.1. Алгоритм построения сопряжений

Сопряжением называется плавный переход одной линии в другую, выполненный с помощью дуги окружности.

Сопряжение строится на основании следующих свойств:

1) прямая t, касательная к окружности, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания N (рис. 5.19, а);

2) точка касания двух окружностей лежит на линии центров , перпендикулярной к общей касательной t (рис. 5.19, б, в).

а) б) в)

Рис. 5.19

Касание называется внешним, если центры и лежат по разные стороны от касательной t (рис. 5.19, б), и внутренним, если центры лежат по одну сторону от общей касательной (рис. 5.19, в). При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, а при внутреннем – разности.

Рис. 5.20

Общий случай построения сопряжения представляет собой задачу Аполлония, которая заключается в построении окружности радиуса R, сопрягающейся с тремя заданными окружностями радиусами , и R₃ (рис. 5.20). Из этой задачи следуют девять предельных случаев, когда заданные окружности вырождаются в точку, прямую линию или вообще отсутствуют. Например, провести окружность через три точки; провести окружность, касающуюся трех заданных прямых; провести окружность, касающуюся прямой и двух заданных окружностей, и т.д. Для решения задачи на построение окружности, касательной к трем заданным окружностям, необходимы знания свойств кривых второго порядка. Способы решения таких задач изложены в специальной литературе.

Рис. 5.21

В теории сопряжения применяются следующие термины (рис. 5.21).

О – центр сопряжения;

М, N – точки сопряжения;

дуга MN – дуга сопряжения;

R – радиус дуги сопряжения.

В общем случае решить задачу построения сопряжения означает: найти центр дуги сопряжения, определить точки сопряжения. Для определения центра дуги сопрягающейся окружности используется понятие множества точек, обладающих одинаковыми свойствами.

В общем случае алгоритм построения сопряжения двух линий при заданном радиусе сопряжения R включает этапы:

1) построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения R от первой из сопрягаемых линий;

2) построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения R от второй из сопрягаемых линий;

3) определение на пересечении множеств точек центра дуги сопряжения;

4) определение точки сопряжения на первой и второй из сопрягаемых линий;

5) проведение дуги сопряжения в интервале между точками сопряжения.

5.3.2. Построение сопряжений при заданном радиусе сопряжения

1) Сопряжение пересекающихся прямых (рис. 5.22).

а) б) в)

Рис. 5.22

В соответствии с алгоритмом построения сопряжения для нахождения центра сопряжения О следует провести две вспомо­гательные прямые, параллельные заданным АВ и CD на расстоя­нии R. Точка О пересечения вспомогательных прямых — центр дуги сопряжения. Точки сопряжения М и N лежат в основании пер­пендикуляров, опущенных из центра сопряжения на прямые АВ и CD. Построение сопряжений двух прямых, пересекающихся под углом 90°, удобно выполнить, как показано на рис. 5.22, в.