2 Поток не со-

осей,

здает ни поперечной, ни продольной силы, т.е. тело не испытывает сопротивления.

Таково поперечное обтекание кругового цилиндра идеальной несжи- маемой жидкостью при отсутствии циркуляции. Вязкость вносит прин- ципиальные изменения в эту картину. Наличие трения в погранич- ном слое приводит к появлению продольной силы трения. Кроме то-

_{го, в областях DB и D}⁰_{B, где давление вдоль контура растет (см.}

рис. 8.8.1), происходит отрыв пограничного слоя (рис. 9.8.1(слева)), который из-за неустойчивости течения превращается в дорожку Кар- мана (рис. 9.8.1(справа)).

_D

^{y y}

_{A B A B}

^{x x}

D'

Á _Â

Рис. 9.8.1. Безциркуляционное обтекание кругового цилиндра при наличии вязкости

Cx

100

₄₀

₂₀

10

₄

₂

1.0

_0.4

_0.2

_{0.1 -1 Re}

_{10 10}⁰ _{10 10}²

₁₀ ³

₁₀⁴

₁₀ ⁵

₁₀⁶

Рис. 10.8.1. Сопротивление цилиндра как функция числа Рейнольдса

Давление в зоне отрыва падает, что создает основную часть про- дольной силы силы лобового сопротивления X . На рис. 10.8.1 по- казана зависимость коэффициента сопротивления цилиндра от чис- ла Рейнольдса. При достижении критического числа Рейнольдса за

счет турбулизации течения в пограничном слое профиль скорости становится становится более полным, что приводит к смещению точ- ки отрыва по направлению к B и следовательно к уменьшению силы сопротивления.

Рассмотрим теперь, как изменится обтекание, если на симметрич- ное течение наложить циркуляцию против часовой стрелки. Величи- на циркуляции пока остается неопределенной. В этом случае ком- плексный потенциал, по (8.25), имеет вид (V = 0)

^µ

w = U z +

_a^{2 ¶} _iΓ

_z ⁻ _2π

· ln z, (8.28)

_{где U скорость на бесконечности, направленная вдоль оси Ox, и Γ}

циркуляция скорости при обходе цилиндра в положительном на- правлении.

Чтобы получить картину течения, определим положение крити- ческих точек точек торможения. Они определяются из квадратного уравнения

_{v¯кр =}

^µ _dw ^¶

_{U a}² _{iΓ 1}

2

_{= − − ·}

^z

_{= 0,}

и следовательно

^dz _кр

_iΓ

_{zкр = ±}

₂

^z

кр

s _µ Γ

₋

^2π _кр

¶₂

_{+ a}²_{. (8.29)}

^4πU

^4πU

При |Γ| > 4πU a обе точки лежат на мнимой оси: одна

_|z(1)

^{Ї Ї sµ ¶}₂

Ї Ї

₍₁₎

^Γ

^Γ

_{кр | =} ^{Ї Ї} ₊

_{− a}² _{(a < |zкр | < ∞)}

^{Ї 4πU Ї}

_{вне цилиндра, другая}

^4πU

_|z(2)

^{Ї Ї sµ ¶}₂

^Γ

Ї Ї _{− a}

_{(0 < |z(2)| < a)}

^Γ

кр _{| = Ї Ї}

₂ кр

^Ї _4πU ^{Ї −}

4πU

_{внутри цилиндра (см. C и C} ⁰ _{на рис. 11.8.1).}

^|

Линии тока при этом имеют вид, изображенный на том же рисун- ке. Если уменьшать |Γ , то точка C опускается, а C ⁰ поднимается,

^{| | U}

так что при Γ = 4π a они сливаются на поверхности цилиндра,

z₍₁₎

₍₂₎

₍₁₎

₍₂₎

_{кр = zкр = ia. Наконец, при |Γ| < 4πU a, имеем |zкр | = |zкр | = a}

обе точки расположены на поверхности цилиндра. Картина линий тока в этом случае показана на рис. 12.8.1.

_y

C

C’

^{A B} _x

_{Рис. 11.8.1. Циркуляционное обтекание кругового цилиндра}

_y

^{A B} _x

Рис. 12.8.1. Циркуляционное обтекание кругового цилиндра

Вычислим продольную X и поперечную Y силы, отнесенные к единице длины цилиндра. Воспользуемся интегралом Бернулли, учи- тывая, что давление торможения p₀ = const. Получим (см. рис. 4.8.2)

I

X = −

C

^I

_{p cos(n, x) ds =}

^d

_2π

ρa ^Z

2

0

_2π

_ρa ^Z

2

|v|

₂

^

^

_{cos θ dθ,} ^

^

_

(8.30)

так как

^{Y = −}

C

I

_{p cos(n, y) ds =}

^{d 2}

0

0

I

^|v|

_{sin θ dθ,} ^

^

n, x) ds =

C C

_{p sin(n, x) ds = 0.}

^d

_{Здесь ~n внешняя нормаль, ds элемент дуги контура, так что}

_{n, x) = cos θ, cos(d) = sin θ, ds = a · dθ. Согласно (8.27) и (8.19),}

^{cos( d}

^{n, y}

на контуре

так что

^

_ρa

2

|v|

_2π

^Z

^|

= |v¯ ²

^µ _Γ ^¶2

^{= 2U sin θ −} _2πa ^,

_2π ^

_{U Γ} ^Z _

^

_{X = 4U} ²

²

₀

_sin² _{θ cos θ dθ 2}

^πa

₀

sin θ cos θ dθ+ ^

^

^

_Γ²

⁺ _4π²_a²

^ _2π

2π ^ Z

⁻

cos θ dθ^

0

= 0,

_2π

^

^

^

^

_^

(8.31)

_ρa ^Z

^

_{Y = 4U} ²

²

₀

sin³ θ dθ − 2

U Γ ^Z

πa

₀

_sin² _{θ, dθ+} ^

^

^

^

_Γ²

⁺ _4π²_a²

2π ^ Z

sin θ dθ^

0

^

^

^

_{= −ρvΓ.} ^

^

Таким образом при поперечном обтекании цилиндра с циркуля- цией (при V = 0)

X = 0, Y = −ρU Γ (8.32) Чтобы определить направление поперечной силы Y, нужно век-

тор скорости на бесконечности повернуть на 90^◦ навстречу цирку-

ляции, т.е. возникающая при циркуляционном обтекании цилиндра сила сопротивления перпендикулярна вектору скорости на бесконеч- ности и повернута в направлении, обратном направлению циркуля- ции.