Глава 2. Кинематика деформируемой сре- ды

2.1. Точка зрения Лагранжа на изучение дви- жения сплошной среды

_{Понятие системы координат.}

Движение всегда определяется относительно некоторой системы отсчета системы координат. С помощью системы координат уста- навливается соответствие между числами и точками пространства. Для 3-мерного пространства точкам ставятся в соответствие числа x¹, x², x³, которые называются координатами точки. Линии, на ко- торых какие-либо две координаты постоянны, называются коорди- натными линиями (рис. 1.2.1)). Через каждую точку пространства можно провести три координатные линии. Касательные к координат- ным линиям в каждой точке не лежат в одной плоскости и образуют, вообще говоря, неортогональный триэдр.

Рис. 1.2.1. Криволинейная и декартова системы координат

Если координатные линии x¹, x², x³ прямые, то это прямоли- нейная система координат, если нет то криволинейная.

_{Обозначения координат и времени.}

Условимся через x¹, x², x³ обозначать координаты относительно любой, в том числе и декартовой системы координат, а через x, y, z координаты только относительно ортогональной декартовой системы координат, через t время.

_{Движение точки.}

_{Если точка движется относительно некоторой системы координат}

_x¹_{, x}²_{, x}³ _{, то ее координаты меняются со временем:}

xⁱ = f ⁱ(t) (i = 1, 2, 3) (2.1)

В разные моменты времени движущаяся точка находится в раз- ных точках пространства. Движение точки известно, если известны функции (2.1), которые называются законом движения точки.

_{Движение континуума.}

Сплошная среда представляет собой непрерывную совокупность точек. По определению, знать движение сплошной среды значит знать движение всех ее точек.

_{Индивидуализация точек континуума.}

Для этой цели нам необходимы правила индивидуализации (вы- деления) отдельных точек, абсолютно одинаковых с геометрической точки зрения как представители точек некоторого континуума. Ин- дивидуальные (т.е. выделенные, рассматриваемый нами) точки сплош- ной среды можно, например, задавать значениями их начальных ко- ординат. Координаты точек в начальный момент времени t = t₀ бу- дем обозначать либо как a, b, c, либо ξ¹, ξ², ξ³, а координаты в любой момент времени x¹, x², x³.

_{Закон движения континуума.}

Для любой точки континуума, выделяемой таким образом коор- динатами ξ¹, ξ², ξ³, можно написать закон движения, в который вхо- дят функции уже не одной, как в случае движения точки, а четырех переменных начальных координат ξ¹, ξ², ξ³ и времени t:

1

_{x = x}¹_(ξ

^

^

¹_{, ξ}

²_{, ξ}

³_{, t)}

_x² _{= x}²_(ξ¹_{, ξ}²_{, ξ}³_{, t)}

^ x³ = x³(ξ¹, ξ², ξ³, t)

_{или x}ⁱ _{= x}ⁱ_(ξ¹_{, ξ}² _{, ξ}³_{, t) (2.2)}

Если в (2.2) ξ¹ , ξ², ξ³ фиксированы, а t переменная величи- на, то функции (2.2) задают закон движения одной фиксированной точки континуума. Если ξ¹, ξ², ξ³ будут переменными, а t фикси- рованным, то функции (2.2) задают распределение точек континуума в пространстве в данный момент времени. Если переменными будут ξ¹, ξ², ξ³ и t, то (2.2) можно рассматривать как формулы определя- ющие движение сплошной среды и, по определению, функции (2.2) являются законом движения континуума.

_{Лагранжевы переменные.}

Координаты ξ¹ , ξ², ξ³, индивидуализирующие точки континуума (или иногда определенные функции от них), и время t называются переменными Лагранжа.

Основная задача механики сплошной среды заключается в опре- делении функций (2.2).

Заметим, что сплошная среда представляет собой совокупность точек, но необязательно должна быть материальным телом. Напри- мер, можно изображать точками на плоскости (или в многомерном пространстве) цены различных товаров и изучать методами кине- матики сплошной среды движение цен в экономике: экономика, как говорил Л.И.Седов это гидродинамика.

_{Непрерывность функций, задающих закон движения.}

При изучении механики деформируемой среды мы хотим исполь- зовать аппарат дифференциального и интегрального исчислений. По- этому, если не оговорено противное, будем предполагать что функ- ции, входящие в закон движения, непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Это довольно общее допущение, которое, од- нако, сильно ограничивает класс рассматриваемых таким образом явлений.

Во-первых, может нарушаться сплошность среды. Во-вторых, в рассматриваемой среде ее характеристики или их производные могут быть разрывными функциями. Такие разрывы, например, ударные волны, мы будем рассматривать в дальнейшем. Отметим, однако, что изучение разрывных движений производится на базе теории непре- рывных движений.

_{Взаимооднозначность закона движения.}

Из соображений физического характера будем предполагать, что в каждый фиксированный момент времени t = const функции xⁱ = xⁱ(ξ¹, ξ², ξ³, t) являются взаимно однозначными функциями своих аргументов.

_{Как известно, в этом случае якобиан}

Ї Ї Ї Ї Ї

^Ї

∆ = ^Ї Ї Ї Ї Ї Ї

∂x¹

_∂ξ¹

∂x²

_∂ξ¹

∂x¹

∂ξ³

∂x¹

_∂ξ²

∂x²

_∂ξ²

∂x²

∂ξ²

∂x¹

_∂ξ³

∂x²

_∂ξ³

∂x³

∂ξ³

Ї Ї Ї Ї Ї

^Ї

^Ї _{≠ 0, (2.3)}

^Ї

^Ї

^Ї

^Ї

^Ї

т.е. функции (2.2) можно разрешить относительно ξ¹, ξ², ξ³ и пред- ставить решение в виде однозначных непрерывных функций

ξⁱ = ξⁱ(x¹, x², x³, t) (2.4)

_{Общие свойства непрерывных отображений.}

Совокупность значений x¹, x², x³ образует область D в простран- стве, которую тело занимает в момент времени t. Если координаты

ξ¹, ξ², ξ³ рассматривать как значения координат x¹, x² , x³ в неко- торый другой момент времени t₀, то область D₀, описываемая соот- ветствующими значениями ξ¹, ξ², ξ³, задает объем, занятый телом в момент времени t₀.

Таким образом, законы движения (2.2) и (2.4) можно рассматри- вать как взаимнооднозначные и непрерывные отображения областей D и D₀.

Как известно, общие топологические свойства таких преобразо- ваний заключаются в том, что любой объем V₀ переходит в объем V , поверхность S₀ в поверхность S, линия L₀ в линию L, замкнутая поверхность переходит в замкнутую, а замкнутая линия в замкну- тую линию (рис. 2.2.1).

Рис. 2.2.1. Движение континуума. При t = t₀

x¹ = ξ¹ , x² = ξ², x³ = ξ³.

_{Системы отсчета.}

В ньютонианской механике особое значение имеет рассмотрение движения относительно инерциальных систем координат, движущих- ся относительно друг друга поступательно с постоянной скоростью. Наличие таких систем координат (тесно связанное с постулатом о ев- клидовости физического пространства и постулатом об абсолютном времени) является основным постулатом механики Ньютона.

Все физические законы в физике Ньютона обычно формулиру- ются в инерциальных системах координат и не зависят от выбора инерциальной системы координат. В этом состоит знаменитый прин- цип Галилея-Ньютона.

_{Сопутствующая система.}

Наряду с координатами x¹, x², x³ лагранжевы координаты ин- дивидуальных точек ξ¹, ξ² , ξ³ можно рассматривать как другие ко- ординаты тех же точек пространства в области D. Соответствую- щая система координат ξ¹ , ξ², ξ³ в том же пространстве образует

подвижную деформируемую криволинейную систему координат, ко- торая называется сопутствующей системой координат. Так, если в начальный момент времени t₀ выбрать в сплошной среде коорди- натные линии ξ¹, ξ² , ξ³ состоящие из точек сплошной среды, то в следующий момент времени они вместе с точками континуума вновь перейдут в координатные линии сопутствующей системы. Однако, если в начальный момент времени t₀ они и были выбраны прямыми, то в следующий момент, вообще говоря, они будут искривленными (рис. 3.2.1).

_{Рис. 3.2.1. x}¹_{, x}²_{, x}³ _{система отсчета, ξ}¹_{, ξ}² _{, ξ}³

сопутствующая лагранжева система (два положения).

Таким образом, система координат, связанная с частицами сплош- ной среды, меняется с течением времени. И если в любой момент вре- мени выбор такой системы координат в нашей власти, то затем она уже будет связана с движущимися точками среды и, будучи вморо- жена в среду, деформируется вместе с ней. Это и есть сопутствую- щая система координат, введенная выше. Все точки сплошной сре- ды покоятся относительно подвижной сопутствующей системой ко- ординат, так как их координаты ξ¹, ξ², ξ³ в ней не меняются. Сама же система движется и деформируется вместе с частицами сплошной среды.

Использование в качестве независимых переменных ξ¹, ξ² , ξ³ и t составляет точку зрения Лагранжа на изучение движения сплош- ной среды, которая фактически представляет собой описание исто- рии движения каждой точки сплошной среды. Такое описание на практике оказывается излишне подробным и сложным, но оно все- гда подразумевается при формулировке физических законов.

Для описания движения сплошной среды помимо закона движе- ния нужно ввести понятие скорости и ускорения сплошной среды.

_{Скорость.}

Пусть некоторая точка сплошной среды в момент t находится в точке M , а в момент t + ∆t в точке M ⁰ и M M ⁰ = ∆~r.

Здесь ∆~r малое направленное перемещение индивидуальной точки сплошной среды за время ∆t, и если можно ввести радиус- вектор ~r (в евклидовом пространстве это всегда возможно), то ∆~r представляет собой приращение радиуса-вектора рассматриваемой точки сплошной среды.

В случае неевклидова пространства скоростью ~v точки сплошной среды называется предел отношения двух бесконечно малых величин

_{∆~r и ∆t при ∆t → 0, а в случае евклидова пространства скоростью}

~v называется частная производная радиуса-вектора точки сплошной среды по времени ∂~r/∂t.

В общем случае радиус-вектор ~r зависит от параметров ξ¹, ξ², ξ³, которые выделяют рассматриваемую точку, и времени t. Скорость вычисляется для рассматриваемой точки, т.е. при фиксированных ξ¹, ξ², ξ³, поэтому

~v =

_∂~r

_.

^∂t

Скорость вычисляется относительно некоторой системы отсчета. Заметим, что относительно сопутствующей системы координат среда покоится, поэтому относительно сопутствующей системы координат скорость всегда равна нулю.

_{Базисные векторы.}

Через каждую точку пространства проходят три координатные линии, которые определяются заданием двух координат. Например, линия вдоль которой x² = const, x³ = const определяет координат- ную линию x¹, вдоль которой точки задаются (переменными!) зна- чениями x¹. Тогда, если рассмотреть прямолинейные направления

∆~r₁, ∆~r₂, ∆~r₃, выходящие из точки M и соединяющие ее с точка- ми M₁ (x¹ + ∆x¹, x², x³), M₂(x¹, x² + ∆x², x³) и M₃(x¹, x² , x³ + ∆x³), то в каждой точке пространства можно ввести пределы отношений

∆~r_i/∆xⁱ или ∆~r_i/∆ξⁱ (при ∆xⁱ → 0 или ∆ξⁱ → 0), которые будут представлять собой векторы, направленные по касательным к соот- ветствующим координатным линиям в точке M . В случае евклидова пространства это будут частные производные от ~r по соответству- ющим координатам. Поскольку с точностью до бесконечно малых высшего порядка абсолютная величина приращений ∆xⁱ или ∆ξⁱ сов- падает с длинами дуг вдоль соответствующих координатных линий, то модули ∂~r/∂xⁱ и ∂~r/∂ξⁱ будут равны единице.

_{Введем обозначения}

_и

_∂~r

^{~ei =} _∂xⁱ

^∂~r

~e^b_i = _∂ξi (2.5)

будем называть ~e_i и ~e^b_i векторами базиса для системы отсчета и со- путствующей системы координат. Если система координат x¹, x², x³ декартова, то будем пользоваться стандартными обозначениями

~e₁ = ^~i, ~e₂ = ^~j, ~e₃ = ^~k,

где ^~i, ^~j, ^~k единичные векторы (орты) по осям координат x, y, z. Если система координат x¹, x², x³ или ξ¹, ξ² , ξ³ криволинейная, то векторы базиса ~e_i и ~e^b_i меняются от точки к точке пространства и образуют, вообще говоря неортогональный триэдр.

Компоненты скорости.

_{Бесконечно малое перемещение точки M M} ⁰ _{= ∆~r можно разло-}

жить по векторам базиса, взятым в точке M :

∆~r = ∆x¹~e₁ + ∆x²~e₂ + ∆x³~e₃

где ∆x¹, ∆x² , ∆x³ компоненты перемещения ∆~r. Это разложение можно записать в сокращенном виде:

₃

^{∆~r = X ∆xi~e}_i ^{≡ ∆xi~e}_i ^(2.6)

i=1

где в последнем выражении знак суммы

₃

^P

_i=1

опущен. В дальнейшем

в выражениях типа (2.6) мы обычно будем опускать знак суммы, подразумевая суммирование всякий раз, когда встречаются 2 одина- ковых индекса, один из которых стоит обычно вверху, а другой внизу. Впрочем, последнее требование не обязательно.

Поделив (2.6) на время ∆t, соответствующее перемещению точки сплошной среды из точки M в точку M ⁰ пространства наблюдателя

и переходя к пределу при ∆t → 0, получим скорость точки сплошной среды

_откуда

~v =

∂~r

∂t

_∂xⁱ

₌

^∂t

~e_i = vⁱ~e_i ≡ v¹~e₁ + v²~e₂ + v³~e₃ (2.7)

v¹ =

^µ _∂x^{1 ¶}

∂t _ξi

, v² =

^µ _∂x^{2 ¶}

∂t _ξi

, v³ =

^µ _∂x^{3 ¶}

_,

^∂t _ξⁱ

где нижние индексы ξⁱ указывают, что производные берутся при по- стоянных параметрах ξ¹ , ξ², ξ³, задающих точку среды. Величи- ны v¹, v², v³ называются компонентами вектора скорости ~v в ба- зисе ~e₁, ~e₂, ~e₃ . Скорость и ее компоненты зависят от ξ¹, ξ² , ξ³, t: vⁱ = vⁱ(ξ¹, ξ², ξ³, t).

В дальнейшем будем обозначать буквами v с индексами 1, 2, 3 компоненты вектора скорости ~v в любой (в том числе и декартовой)

системе координат, а буквами u, v, w компоненты вектора скорости только в декартовой системе, причем этот порядок компонент со- ответствует проекциям вектора скорости ~v на оси x, y, z. Таким образом, в декартовой системе координат положение точки задается радиусом-вектором ~r:

_{~r = x}^~_{i + y}^~_{j + z}^~_k,

и для скорости ~v получим

_{~v =}

^µ _∂~r ^¶

^µ _∂x ^¶

₌

_{~i +}

^µ _∂y ^¶

_{~j +}

^µ _∂z ^¶

_~k,

_{то есть}

^∂t _ξⁱ

^∂t _ξⁱ

^∂t _ξⁱ

^∂t _ξⁱ

^µ _∂x ^¶

_{u =}

_{, v =}

^µ _∂y ^¶

_{, w =}

^µ _∂z ^¶

_.

^∂t _ξⁱ

^∂t _ξⁱ

^∂t _ξⁱ

_{О понятии вектора.}

Нами уже введены в рассмотрение некоторые векторы, например, скорость ~v, радиус-вектор ~r, перемещение d~r. Что называется векто- ром? Это некоторый инвариантный, независящий от выбора коорди- нат объект. Определения вектора, как объекта, компоненты которого преобразуются при переходе от одной системы координат к другой определенным образом, вообще говоря, недостаточно, так как вектор всегда задается в определенном базисе и, задавая вектор его ком- понентами, необходимо указывать базис, в котором эти компоненты заданы.

В декартовой системе координат компоненты вектора привязаны к ^~i, ^~j, ^~k, которые не зависят от рассматриваемой точки и остаются одними и теми же во всем пространстве, а в произвольной криволи- нейной системе координат компоненты вектора привязаны к меня-

ющимся от точки к точке пространства векторам базиса ~e_i. Таким образом, компоненты вектора в криволинейной системе координат, в противоположность компонентам вектора в декартовой системе коор- динат, существенно связаны с точкой, в которой он рассматривается.

Таким образом, если мы говорим о векторе скорости ~v в каждой точке пространства, то это означает, что нам нужно рассматривать компоненты v¹, v², v³ и знать базис ~e₁, ~e₂, ~e₃, тогда вектор ~v будет определен по (2.7), где ~e_i являются базисными векторами, через кото- рые можно аналогично представлять любой вектор в данной системе координат. Рассмотрим, например ускорение

_{Ускорение.}

Ускорение ~a (от англ. acceleration) является вектором, заданным следующим образом:

~a =

^µ _∂~v ^¶

∂t _ξi

= aⁱ~e_i,

где aⁱ = aⁱ(ξ¹ , ξ², ξ³ , t) компоненты ускорения. Как и скорость ~v, ускорение ~a вычисляется для индивидуальной точки сплошной сре- ды. Определение ускорения связано с выбором системы координат наблюдателя x¹, x², x³, в которой рассматривается закон движения (2.2). Эта система координат может быть подвижной.

_{Соотношения}

a¹ =

^µ _∂v^{1 ¶}

∂t _ξi

, a² =

^µ _∂v^{2 ¶}

∂t _ξi

, a³ =

^µ _∂v^{3 ¶}

_,

^∂t _ξⁱ

справедливы только в декартовой системе координат и не справед- ливы в криволинейной.

_{Действительно, вектор ускорения ~a определяется как производ-}

^µ _∂~v ^¶

ная по времени t от вектора скорости: ~a =

_{лении компонент ускорения следует иметь в}

_∂t

_виду

, и при вычис-

_ч^ξi_{то точка среды}

с течением времени перемещается в пространстве, а векторы бази- са ~e_i криволинейной системы координат меняются от точки к точке пространства. В декартовой системе координат верны формулы

a¹ =

^µ _∂²_x ^¶

∂t²

, a² =

^µ _∂²_y ^¶

∂t²

, a³ =

^µ _∂²_z ^¶

_∂t^{2 .}

Во многих случаях исследования движений сплошной среды основ- ная задача об отыскании законов движения может заменяться зада- чей определения функциональных зависимостей компонент скорости vⁱ или ускорения aⁱ от ξ¹, ξ², ξ³ , и t.

2.2. Точка зрения Эйлера на изучение движения сплошной среды

_{Сущность точки зрения Эйлера.}

Если нас интересует не история движения индивидуальных точек сплошной среды, а то, что происходит в разные моменты времени в данной геометрической точке пространства, в которую приходят разные частицы сплошной среды, то это составляет сущность точки зрения Эйлера на изучение движения сплошной среды.

Например, изучение движения воды в реке можно производить либо прослеживая движение каждой частицы воды от верховьев до устья (это точка зрения Лагранжа), либо наблюдая изменения тече- ния воды в определенных местах реки (это точка зрения Эйлера).

_{Переменные Эйлера.}

Точка зрения Эйлера весьма часто употребляется в приложениях. Геометрические координаты пространства x¹ , x², x³ и время t на- зываются переменными Эйлера. С точки зрения Эйлера, движение считается известным, если скорость, ускорение, температура, плот- ность, давление и другие интересующие нас величины заданы как функции x¹, x², x³ и t. Функции ~v = ~v(x¹, x², x³, t), ~a = ~a(x¹, x² , x³, t), T = T (x¹, x², x³, t) и т.д. при фиксированных x¹, x², x³ и переменном t определяют изменения со временем скорости, ускорения, темпера- туры и т.д. в данной точке пространства для разных частиц, прихо- дящих в эту точку. При фиксированном t и переменных x¹, x² , x³ эти функции дают распределения характеристик движения в про- странстве в данный момент времени t; при переменных x¹, x², x³ и t они задают распределения характеристик движения в пространстве в разные моменты времени.

_{Различие между точками зрения Лагранжа и Эйлера.}

Таким образом, с точки зрения Лагранжа, нас интересуют зако- ны изменения скорости, ускорения, температуры и других величин в данной индивидуальной точке сплошной среды, а с точки зрения Эйлера мы интересуемся скоростью, ускорением, температурой и т.д. в данном месте пространства. С точки зрения Эйлера, мы выделя- ем некоторую область пространства и хотим знать все о частицах, которые в нее приходят.

Понятно, что математически точка зрения Эйлера отличается от точки зрения Лагранжа только тем, что в первой переменными яв- ляются координаты точек пространства x¹, x², x³ и время t, а во второй параметры ξ¹, ξ², ξ³, индивидуализирующие точку сплош- ной среды, и время t.

_{Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера.}

Закон движения континуума имеет вид

xⁱ = xⁱ(ξ¹, ξ², ξ³, t) (i = 1, 2, 3) (2.8)

в котором независимые переменные ξ¹, ξ², ξ³, t являются перемен- ными Лагранжа. Разрешив его относительно ξ¹, ξ², ξ³, получим

ξⁱ = ξⁱ(x¹, x², x³, t) (i = 1, 2, 3) (2.9)

т.е. перейдем к переменным Эйлера. При фиксированных x¹, x², x³ уравнение (2.9) указывает те точки (ξ¹, ξ², ξ³) сплошной среды, ко- торые в данный момент времени приходят в данную точку простран- ства.

_{Если скорость}

ускорение температура

~v = ~v(ξ¹, ξ² , ξ³, t),

~a = ~a(ξ¹, ξ², ξ³ , t), T = T (ξ¹, ξ², ξ³, t)

и другие величины заданы с точки зрения Лагранжа, т.е. как функ- ции ξ¹, ξ², ξ³ и t, то (2.9) дают возможность найти скорость, ускоре- ние, температуру, плотность, давление, и другие интересующие нас величины как функции переменных Эйлера x¹, x², x³ и t.

_{Таким образом, если известно движение среды с точки зрения}

Лагранжа и его надо определить с точки зрения Эйлера, то для это- го требуется только разрешить закон движения (2.8) относительно ξ¹, ξ² , ξ³, т.е. записать его в виде (2.9); переход от движения задан- ного по Лагранжу к описанию движения по Эйлеру сводится только к разрешению неявных функций.

_{Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа.}

Наоборот, пусть распределение скоростей в пространстве задано с точки зрения Эйлера. Как найти закон движения, т.е. перейти к описанию движения по Лагранжу?

Возьмем декартову систему координат x, y, z и пусть в ней из- вестны

u = u(x, y, z, t), v = v(x, y, z, t), w = w(x, y, z, t).

Компоненты скорости u, v, w есть производные от соответству- ющих координат x, y, z по времени t при постоянных ξ¹, ξ² , ξ³, ин- дивидуализирующих точку сплошной среды. Поэтому, если u, v, w заданы как функции переменных Эйлера x, y, z и t, то соотношения

_dx

= u(x, y, z, t), dt

_dy

= v(x, y, z, t), dt

_dz

_{= w(x, y, z, t)}

^dt

можно рассматривать как систему трех обыкновенных дифферен- циальных уравнений для неизвестных функций x, y, z. Решив эту

систему, мы найдем x, y, z как функции t и трех произвольных по- стоянных C₁, C₂, C₃, которые определяются по значениям x, y, z в некоторый момент времени t₀ и, следовательно, являются параметра- ми, индивидуализирующими точку сплошной среды, переменными Лагранжа.

Таким образом, в результате решения этой системы дифференци- альных уравнений находится закон движения (2.8), с помощью кото- рого можно перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа во всех формулах, определяющих распределения ~a, T и т.д. Следова- тельно, при заданном поле скоростей переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа связан, вообще говоря, с интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Ясно, что задания движения сплошной среды с точек зрения Ла- гранжа и Эйлера в механическом отношении эквивалентны друг дру- гу.

2.3. Некоторые характеристики скалярных и век- торных полей

Рассмотрим некоторые общие характеристики скалярных и вектор- ных полей на примере скалярного поля температуры T и векторного поля скорости ~v.

_{Индивидуальная и местная производные по времени.}

Распределение температур можно задать как с точки зрения Ла- гранжа:

T = T (ξ¹, ξ², ξ³, t),

так и с точки зрения Эйлера:

T = T (x¹, x², x³, t).

Если распределение T задано с точки зрения Лагранжа, то под- считать изменение температуры T в единицу времени t в частице сплошной среды просто. Оно будет равно производной

^µ _∂T ^¶

_.

^∂t _ξⁱ

Как вычислить ту же величину, если распределение температур задано как функция переменных Эйлера T = T (x¹, x², x³, t)? Очевид- но, для этого нужно перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа

T (x¹, x², x³, t) = T [x¹(ξ¹, ξ² , ξ³, t), x²(ξ¹, ξ² , ξ³, t), x³(ξ¹, ξ² , ξ³, t), t]

_{и воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции}

µ _∂T ¶

∂t _ξi

^µ _∂T ^¶

_{= +}

^∂t _xⁱ

∂T

∂x¹

^µ _∂x^{1 ¶}

₊

^∂t _ξⁱ

∂T

∂x²

^µ _∂x^{2 ¶}

₊

^∂t _ξⁱ

∂T

∂x³

^µ _∂x^{3 ¶}

_,

^∂t _ξⁱ

^,

_{где производные} ^∂x1

_∂x²

_,

∂x³

_{берутся при постоянных}

_ξ¹_{, ξ}²_{, ξ}³ _и,

следовательно, _∂t

_∂tк _∂t

ами скорости v¹, v², v³, соответ-

являются

_{ственно. Поэтому}

омпонент

^µ _∂T ^¶

∂t _ξi

^µ _∂T ^¶

₌

^∂t _xⁱ

_{+ v}^{i ∂T}

^∂xi

_{Заметим, что при заданной функции T = T (x}¹_{, x}² _{, x}³_{, t) для вы-}

_{числения} µ ^∂T ¶

_{нам не нужно полностью знать закон движения}

^∂t _ξi

_{сплошной среды, нужно знать только поле скоростей ~v.}

_{Производная} µ ^∂T ¶

^∂t _ξi

характеризует изменение температуры в

_{данной точке сплошной среды и называется индивидуальной, или}

субстанциональной, или полной производной температуры T по вре- мени t. Ее часто обозначают символом ^dT . Производная µ ^∂T ¶

_dt

характеризует изменение температуры в

точке

_{∂t xi}

данной

пространства

x¹, x², x³. Она называется местной или локальной производной и обозначается ^∂T . В общем случае индивидуальная производная ^dT

∂t

_{не равна местной производной} ^∂T

^dt

_{и отличается от нее на величину}

_{зависящую от движения среды в}^∂t_{рассматриваемой точке и называе-}

_{мую конвективной производной. Итак,}

_{dT ∂T}

₌

^{dt ∂t}

+ vⁱ

_∂T

_∂x^{i .}

Поверхности уровня.

_{Конвективная производная.}

3

Мы назвали конвективной производной температуры T по вре- мени t выражение ^X v^{i ∂T} , которому, используя понятие вектора-

∂xⁱ

_{градиента температ}ⁱ_у⁼_р¹_{ы и скалярного произведения можно придать}

_{другой вид:}

vⁱ

_∂T

_∂x^{i = ~v · gradT .}

Рис. 1.2.3. Поверхности равного уровня и вектор- градиент температуры.

Под производной всегда понимают предел отношения прираще- ния функции к приращению аргумента, когда приращение аргумен- та стремится к нулю. Какое же приращение функции берется в слу- чае определения конвективной производной? Запишем конвективную производную температуры в виде

^{~v∆t · gradT} _.

^∆t

Очевидно, ~v∆t равняется перемещению ∆~s (см. рис. 2.2.3) и

vⁱ

_∂T

_{∂xi = lim}

∆~s · gradT

_{= lim}

^{(gradT )s∆s} ₌ ^∂T

_lim

_{∆s ∆T}

_{= lim ,}

^{∆t→0 ∆t}

^{∆t→0 ∆t}

^{∂s ∆t→0 ∆t}

^{∆t→0 ∆t}

причем в данном случае приращение температуры ∆T происходит за счет перемещения частицы сплошной среды из одной точки про- странства в другую со скоростью ~v вдоль направления ~s (из точки A в точку B на рис. 2.2.3).

Рис. 2.2.3. К понятию конвективной производной.

В общем случае конвективная производная отлична от нуля, так как значения температуры в точках A и B разные. Она может быть

равной нулю при отсутствии движения, либо при отсутствии гради- ента температуры, т.е. когда температура в данный момент времени не меняется от точки к точке пространства (такое поле называется однородным), либо при движении вдоль поверхности уровня (изотер- мальной поверхности).

Формулы для компонент ускорения в декартовой системе коор- динат.

С понятиями индивидуальной, местной и конвективной производ- ных по времени тесно связано правило определения компонент уско- рения в том случае, когда скорость задана с точки зрения Эйлера. Пусть в декартовой системе координат заданы компоненты скорости v¹, v², v³ (или u, v, w) как функции переменных Эйлера.

Ускорение определяется для частицы сплошной среды, поэтому компоненты ускорения будут определяться как индивидуальные про- изводные по времени от соответствующих компонент скорости, т.е.

^µ _∂u ^¶

_du ^µ _∂u ^¶

_{∂u ∂u ∂u}

^a_x ⁼

_{= =}

^∂t _ξi ^dt

^∂t _xi

_{+ u + v + w ,}

^{∂x ∂y ∂z}

^µ _∂v ^¶

_dv ^µ _∂v ^¶

_{∂v ∂v ∂v}

^a_y ⁼

_{= =}

^∂t _ξi ^dt

^∂t _xi

_{+ u + v + w ,}

^{∂x ∂y ∂z}

^µ _∂w ^¶

_dw ^µ _∂w ^¶

_{∂w ∂w ∂w}

^a_z ⁼

_{= =}

^∂t _ξ^{i dt}

∂t _xi

_{+ u + v + w .}

^{∂x ∂y ∂z}

Эти формулы верны только в декартовой системе координат!

_{Установившиеся и неустановившиеся движения.}

Различные процессы и движения называются установившими- ся или стационарными, если все величины, характеризующие эти процессы или движения с точки зрения Эйлера, зависят только от x¹, x², x³ и не зависят явно от времени t. Таким образом, для устано- вившихся процессов и движений локальные производные по времени от всех величин равны нулю, т.е.

_{∂T ∂v}¹

₌

^{∂t ∂t}

_∂v²

₌

^∂t

_∂v³

₌

^∂t

= . . . = 0

В частности, поле температур установившееся, когда температу- ра зависит только от пространственных координат: T = T (x¹, x², x³); если же T = T (x¹, x², x³, t), то поле температур является неустано- вившимся. Установившиеся движения очень важны для приложений.

Заметим, что одно и то же движение может быть как установив- шимся, так и неустановившимся. Примеры.

Векторные линии; линии тока.

Семейства линий, касательные к которым в каждой точке про- странства совпадают в данный момент времени с направлением век- торного поля называются векторными линиями, а в случае поля ско- ростей линиями тока. Примеры. Визуализация. Силовые линии магнитного поля.

_{Уравнения линий тока.}

Для аналитического нахождения линий тока запишем условие то- го, что элемент

d~r = dxⁱ~e_i ≡ dx¹~e₁ + dx²~e₂ + dx³~e₃

взятый вдоль линии тока, и вектор скорости

~v = vⁱ~e_i ≡ v¹~e₁ + v²~e₂ + v³~e₃

_{параллельны друг другу:}

_{d~r = dλ · ~v.}

Здесь dλ некоторый скалярный параметр. В компонентах по- лучаем

или

_dxi

_dx¹

_v^{1 =}

_dx²

_v^{2 =}

_dx³

_v^{3 = dλ,}

_{= v}ⁱ _(x¹_{, x}²_{, x}³ _{, t), i = 1, 2, 3 (2.10)}

_dλ

Это и есть дифференциальные уравнения линий тока. Они отли- чаются от дифференциальных уравнений, определяющих закон дви- жения или траектории движения частиц сплошной среды, которые, очевидно, имеют вид

dxⁱ

dt

= vⁱ(x¹, x², x³, t). (2.11)

В уравнениях (2.11) время t входит как в правую, так и левую части, а в уравнениях (2.10) производные берутся по λ, а правые ча- сти зависят от t. При интегрировании (2.10) t следует рассматривать как постоянный параметр, а в уравнениях (2.11) t нужно считать переменным.

Таким образом, линии тока, вообще говоря, не совпадают с тра- екториями. Семейство линий тока xⁱ = xⁱ(c¹, c², c³, λ, t) зависит от времени и в разные моменты времени это семейство разное. Однако параметр t входит в правые части уравнений (2.10) и (2.11) толь- ко в случае неустановившихся движений. В случае установившихся движений разница между уравнениями (2.10) и (2.11) пропадает, она сводится только к разному обозначению параметра, по которому про- водится дифференцирование, что не играет никакой роли. Поэтому

в случае установившихся движений линии тока и траектории сов- падают.

Примеры линий тока и траекторий.

_{Рис. 3.2.3. Поступательное движение твердого тела по окружности.}

_{Существование линий тока.}

Перепишем дифференциальные уравнения линий тока (2.10) в ви- де

_{dx2 v2}

_{dx3 v3}

dx^{1 =} v^{1 ,}

_dx1 = _v1 . (2.12)

Задача Коши для системы (2.12) имеет единственное решение, когда правые части уравнений (2.12) и их производные по xⁱ непре- рывны. Таким образом, через каждую точку можно провести един- ственную линию тока.

_{Особые и критические точки.}

Однако возможны ситуации, когда все компоненты скорости vⁱ обратятся в нуль или бесконечность в некоторой точке x¹, x² , x³. Такие точки являются особыми точками дифференциальных урав- нений. В них может нарушаться теорема единственности и в них ли- нии тока могут пересекаться. Особые точки могут иметь тип центра, фокуса, седла, узла или быть более сложными. В потоке жидкости особые точки дифференциальных уравнений носят название крити- ческих точек. Например, критической точкой в потоке является точ- ка A точка встречи набегающего потока с крыловым профилем, в которой линия тока L разветвляется на две линии тока (рис. 4.2.3).

_{Поверхности тока, векторные поверхности.}

Здесь дело обстоит также, как в теории квазилинейных уравне- ний в частных производных первого порядка. Для нахождения по- верхности тока f (x¹, x², x³ ) = const воспользуемся тем, что gradf ,

Рис. 4.2.3. Критическая точка на профиле крыла.

направленный по нормали к f (x¹, x² , x³) = const будет перпендику- лярен вектору ~v, следовательно

gradf · ~v = 0,

что записывается в виде

∂f ∂f ∂f u + v + w

^{∂x ∂y ∂z}

= 0. (2.13)

то есть мы получили дифференциальное уравнение в частных про- изводных для нахождения функции f (x, y, z).

_{Трубки тока, векторные трубки.}

Если линия C замкнутая,то совокупность проведенных через ее точки линий тока образует трубку тока.

_{Потенциальное векторное поле, потенциальное течение.}

_ла.

Необходимое и достаточное условие существования потенциа-

Рис. 5.2.3. Течения от точечных источника и стока в пространстве.

Источник и сток в пространстве.

2.4. Элементы тензорного исчисления

Многие характеристики движения и процессов в сплошной среде име- ют более сложную тензорную, природу и их нельзя описать, пользуясь только скалярами и векторами. Поэтому рассмотрим неко- торые понятия тензорного исчисления более подробно.

В этом разделе будем использовать обозначения систем коорди- нат в виде ζ ¹, ζ ², ζ ³ или η¹ , η², η³. Отметим, что законы движения могут содержать координаты, но должны быть инвариантны отно- сительно выбора систем координат.

_{Задача тензорного исчисления.}

Прежде чем приступить рассмотрению аппарата тензорного ис- числения, постараемся уяснить себе в общих чертах его цели.

Исходным пунктом нам будет служить аксиоматика векторного исчисления. Векторное исчисление представляет собой важнейший пример геометрического исчисления: и объекты его и операции но- сят непосредственно геометрический характер. Всякое вычисление, проводимое в векторах, может быть истолковано как геометрическое построение.

Вместе с тем большую и часто ведущую роль в геометрии играет координатный метод. В этом случае геометрические образы изучают- ся не непосредственно геометрически, а методами алгебры (аналити- ческая геометрия) и затем анализа (дифференциальная геометрия). Сила этого метода основана на том, что он применяет к геометрии сильный, хорошо развитый вычислительный аппарат алгебры и ана- лиза. В результате удается ставить и решать вопросы, лишь малая часть которых укладывается в сравнительно узкие рамки прямых геометрических методов.

Однако эти успехи достаются не даром. В основе координатного метода всегда лежит условность, заключающаяся в приписывании каждой точке (или вектору и т.п.) координат, например, аффинных координат x¹, x², . . . , xⁿ. Но сама точка (или вектор) никоим образом не порождает эти n чисел; чтобы получит такой результата, нужно задаться некоторым базисом, т.е. некоторой аффинной координатной системой, а базис можно выбирать с большим произволом, зачастую вне связи с изучаемыми геометрическими образами.

Аналогично дело обстоит и во всех случаях применения коор- динатного метода: на изучаемую геометрическую (или физическую) картину накладывается случайный выбор системы координат, и те аналитические данные, которые мы получаем, отражают не только то, что нас интересует (геометрическую или физическую картину),

но и то, что нас вовсе не интересует (произвольный выбор системы координат), что без надобности усложняет результаты.

Приведем простой пример. В обычном пространстве в прямоуголь- ных декартовых координатах вектор, соединяющий точки M₁(1, −2, 3) и M₂ (2, −2, 5), имеет координаты (1, 0, 2). В этом результате то об- стоятельство, что вторая координата вектора равна нулю, является случайным, зависящим от выбора координатной системы. Напротив, выражение 1² + 0² + 2² не случайно дает 5. И в любой другой декар- товой системе координат при сохранении масштабов по осям коорди- нат мы получим тот же результат, хотя координаты вектора будут уже другие. Первое обстоятельство не имеет геометрического смысла для вектора самого по себе, не является инвариантным относитель- но выбора системы координат, а второе имеет (получается квадрат длины вектора, который сохраняется при выборе другой системы ко- ординат).

Возникает потребность и в сложных построениях или физических объектах научиться отделять геометрически (или физически) су- щественное от случайно привнесенного выбором координатной си- стемы.

Решением этой задачи и занимается тензорное исчисление. Общая схема его построения такова.

Строятся прежде всего тензоры, т.е. системы величин, отража- ющие определенные геометрические (или физические) конструкции и преобразующиеся по некоторому простому закону при переходе от одной координатной системы к другой. Далее, между тензорами вво- дятся операции и соотношения инвариантного характера, т.е. сохра- няющие свой вид при переходе в любую другую координатную си- стему. Таким образом, все соотношения пишутся в форме, пригодной не только в избранной, но и в любой координатной системе, а зна- чит, эти соотношения отражают геометрические (или физические) факты, независимые от выбора определенной координатной систе- мы; искажающее влияние случайного выбора этой системы тем са- мым устраняется.

_{Преобразование координат.}

Пусть имеются две системы координат: старая ζ ¹, ζ ², ζ ³ и новая η¹, η², η³ и законы движения можно рассматривать как относительно ζ ¹, ζ ², ζ ³, так и относительно η¹, η², η³. Пусть имеется соответствие между этими двумя системами

ζ ⁱ = ζ ⁱ(η¹, η², η³), (i = 1, 2, 3) (2.14)

называемое преобразованием координат. Будем рассматривать непре- рывные взаимно однозначные преобразования координат. Они об- разуют группу. Найдем соотношения, инвариантные относительно группы непрерывных взаимно однозначных преобразований. Выра- зим приращения старых координат ζ ¹, ζ ², ζ ³ через приращения новых координат ζ ¹, ζ ², ζ ³. Из (2.14) имеем



^ _dζ ¹

^

_

_∂ζ ¹

_{= dη}¹

∂η¹

₂

_∂ζ ¹

_{+ dη}²

2

∂η²

₂

_∂ζ ¹

3

_{+ dη}³

∂η³

₂

1

^ _dζ ² ₌ ^∂ζ

_dη¹ ₊ ^∂ζ

_dη² ₊ ^∂ζ

_dη³

_(2.15)

или



^

3

^ ^dζ

∂η

_∂ζ ³

_{= dη}¹

^∂η1

∂η

_∂ζ ³

_{+ dη}²

^∂η2

_i

∂η

_∂ζ ³

_{+ dη}³

^∂η3

_dζ ⁱ ₌ ^∂ζ

^∂ηj

dη^j (2.16)

где по j суммирование идет от 1 до 3, а i пробегает значения 1, 2, 3, что в дальнейшем не будет указываться, но будет подразумеваться.

Таким образом, в окрестности любой точки имеется связь между приращениями координат dζ ⁱ и dηⁱ. Производные ∂ζ ⁱ/∂η^j являются функциями координат точки, но в заданной точке они постоянны и (2.15) представляет собой линейную связь приращений координат dζ ⁱ и dηⁱ в данной точке. Введем обозначения:

_∂ζ ⁱ _i

^{· j}

_∂η^{j = a} ·

(из дальнейшего следует, что расстановка индексов вверху и внизу их порядок весьма важны).

^a

_{Величины} ^i·

^{· j}

образуют матрицу

ka^i·

_{· j} k = A

_{где первый индекс, i, соответствует ее строке, а второй, j столбцу.}

_{Из взаимной однозначности следует, что якобиан преобразования,}

_,

_{который равен определителю матрицы kai· k}

_{не равен нулю, то есть}

^{· j}

∆ = |a^i· |

^{· j}

= 0. Так как ∆ = 0, то линейные соотношения (2.15) можно

разрешить относительно dηⁱ и вместе с (2.15) записать формулы

i

_dηi ₌ ^∂η

_dζ ^j _{. (2.17)}

Введем матрицу

∂ζ ^j

^{· j}

B = kb^i· k

где

_bi·

_∂ηⁱ

^{· j =} _∂ζ ^{j .}

Матрицы A и B введены для прямого и обратного преобразова- ний. Они взаимно обратны, т.е. их произведение равно единичной матрице. Действительно,

_{A · B = kai· k · kbj· k = kai·}

_{· bj· k,}

^{· j · k}

_но

^{· j · k}

_{ai· j·}

_∂ζ ⁱ

_∂η^j

_∂ζ ⁱ

^Ѕ _{1 при i = k,}

^{· j · b· k =} _∂η^j _∂ζ ^{k =} _∂ζ ^{k =}

0 при i = k,

так как ζ ¹, ζ ², ζ ³, как и η¹, η², η³, являются независимыми координа- тами. В дальнейшем мы будем пользоваться символами Кронекера

^Ѕ _{1 при i = k,}

_Имеем

_δ^i·

_k ⁼

^·

0 при i = k.

^{° °}

^° 1 0 0 ^°

_{A · B = kδi· k =} ^° _{0 1 0} ^° _{= E}

_{· k} ^{° °}

^° _{0 0 1} ^°

^{° °}

где E единичная матрица. Очевидно, что определитель матрицы B

kb^i·

₁

^{· j k =} _∆ ^.

Эти рассуждения были проведены для трехмерного простран- ства, но они верны для любого n-мерного пространства и не требуют введения метрики, т.е. пространство ζ ¹, ζ ², ζ ³ может быть неметриче- ским пространством.

_{Векторы базиса.}

Напомним, что векторы базиса получаются после введения при- ращения координат точки d~r и рассмотрения приращений dζ ⁱ только одной из координат ζ ¹, ζ ², ζ ³:

_∂~r

_∂ζ ^{i = ~ei}

_{которые направлены по касательным к координатным линиям.}

В общем случае d~r направлен произвольно и по определению мож- но написать

^{d~r = dζ 1~e}₁ ^{+ dζ 2~e}₂ ^{+ dζ 3~e}₃ ^{≡ dζ i~e}_i^.

_{причем dζ} ⁱ _{называются компонентами d~r. Очевидно, векторы базиса}

~e₁, ~e₂, ~e₃ системы координат ζ ¹, ζ ², ζ ³ в системе координат ζ ¹, ζ ², ζ ³

всегда имеют компоненты (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), соответственно.

Векторы базиса можно ввести как в системе координат ζ ¹, ζ ², ζ ³, так и в системе координат η¹ , η², η³. В разных системах координат они будут разными в одной и той же точке. Обозначим векторы базиса в

системе координат η¹, η², η³ через ~e₁ ⁰, ~e₂ ⁰, ~e₃ ⁰, тогда в этой системе

координат будем иметь

_{d~r = dη}¹_~e1 ⁰ _{+ dη}²_~e2 ⁰ _{+ dη}³_~e3 ⁰ _{≡ dη}^j_~ej ⁰_.

Очевидно, что компоненты d~r и векторы базиса ~e_i зависят от вы- бора системы координат.

Преобразование векторов базиса и компонент d~r при переходе от одной системы координат к другой.

Выразим векторы базиса ~e₁ ⁰, ~e₂ ⁰, ~e₃ ⁰ в новой системе координат

η¹, η², η³ через векторы базиса ~e₁, ~e₂, ~e₃ в старой системе координат

ζ ¹, ζ ², ζ ³. Для этого воспользуемся определением векторов базисов ~e_i ⁰

и ~e_i:

_∂~r

_∂~r

_{∂ζ i} i

^{· j}

^~ej 0 ⁼ _∂η^{j =} _∂ζ ⁱ _∂η^{j = ~eia} · ^{. (2.18)}

_{В дальнейшем вместо преобразования ~ej 0 = ~eiai·}

_{мы будем ис-}

_{пользовать формально равносильную запись}

^{· j}

_~ej 0 _{= a}i· _~ei

_{, однако при}

_л

_{этом нужно иметь ввиду, что в первой из этих форму}· j _{вектор базиса}

~e_i умножается на матрицу A справа и суммирование проводится по первому индексу матрицы A (индекс i соответствует номерам строк) в полном соответствии с правилами умножения вектора на матрицу, то во второй формуле при записи ее в матричном виде следует иметь в виду, что для выполнения правил умножения матрицы на вектор матрица A должна быть на самом деле транспонирована, так как в

_{формуле ~ej 0 = ai· ~ei суммирование проводится по элементам некото-}

^j

_{рого выбранного}· j _{-того столбца матрицы}

_{A, т.е. по ее строкам.}

Согласно (2.17), для компонент d~r имеем связь

j

_dηⁱ _{= b}^i· _dζ ^j _{. (2.19)}

^·

Заметим, что векторы базиса ~e_i преобразуются по (2.18) с помо- щью матрицы A, а компоненты d~r по (2.19) с помощью матрицы B, обратной матрице A. Обратите внимание на расположение индексов в (2.18) и (2.19): в (2.18) суммирование происходит по верхнему индек- су, который соответствует строкам матрицы A (для этого и поставле- ны точки в индексах: верхний индекс первый (строка), а нижний

второй (столбец)), т.е. суммирование принципиально отличается от (2.15) или (2.16), где оно производится также с помощью матрицы A, но по нижнему индексу. В (2.19) суммирование производится по нижнему индексу, как и в (2.15) или (2.16), но в качестве матрицы преобразования используется матрица B, обратная к матрице A. То

есть фактически в (2.18) при переходе от векторов старого базиса к векторам нового базиса используется транспонированная матрица A, введенная для преобразования координат (2.15) (от старой системы координат ζ ¹, ζ ², ζ ³ к новой системе координат η¹, η², η³, хотя факти- чески (2.15) или (2.16) представляют собой выражения для старых координат через новые координаты).

Таким образом, из сравнения формул преобразования векторов базиса (2.18) и компонент d~r (2.19) (от старых координат к но- вым ) видно, что матрицы этих преобразований различны, а имен- но матрица преобразования (2.19) есть транспонированная обратная матрица преобразования (2.18) (такие преобразования называются контрагредиентными).

Формулы преобразования векторов базиса и компонент d~r

j

^{· j}

~e_j ⁰ = a^i· ~e_i, dηⁱ = b^i· dζ ^j

^·

являются фундаментальными для тензорного исчисления. Они ле- жат в основе всех остальных тензорных законов преобразования.

_{Инвариантность d~r относительно преобразований координат.}

Введенный нами объект d~r инвариантен относительно преобразо- ваний координат. Действительно

_{d~r = dηj~ej 0 = b}j· _{dζ ias· ~es = dζ i~ei,}

_{так как}

^{· i · j}

_{bj· s·}

_{s· j·}

^Ѕ _{1, i = s,} ^ѕ _s·

_{· ia j = a b =}

_{0, i = s = δ}

^{· · j · i · i}

Следовательно, выражение d~r через компоненты и векторы бази- са соответствующей системы координат не меняется при переходе от одной системы координат к другой; оно инвариантно относительно преобразований систем координат.

О ковариантных и контравариантных величинах. Ковариантными называются величины, преобразующиеся анало-

гично векторам базиса ~e_i (в соответствии с (2.18)). Контравариант- ными называются величины, преобразующиеся аналогично компо- нентам d~r (в соответствии с (2.19)). Подчеркнем, что преобразования, образующие ковариантные и контравариантные величины, являются взаимообратными.

Определение вектора.

По аналогии с d~r можно ввести объект A^~ , который выражается через базис следующим образом:

A^~ = Aⁱ~e_i,

и его компоненты Aⁱ при преобразованиях координат преобразуются контравариантным образом (как компоненты d~r):

_{A0j = bj· i}

^{· iA .}

Объект A^~ , инвариантный относительно преобразований коорди- нат:

_{называется вектором.}

A^~ = A^j~e_j = A⁰ⁱ~e_i ⁰, (2.20)

Инвариантность введенного вектора A^~ обеспечивается взаимооб- ратностью преобразований компонент вектора Aⁱ и векторов базиса

_~ei.

_{Вектор A}^~

_{может иметь любую геометрическую или физическую}

природу, но через векторы базиса он всегда определяется разложе- нием (2.20), в котором числа (функции) Aⁱ зависят от системы коор- динат. Можно сказать, что векторы базиса ~e_i управляют числами Aⁱ

_{и создают новый объект вектор A}^~ _.

_{Полиадные произведения векторов базиса.}

Какие еще можно ввести объекты помимо ~e_i, которые, управляя числами, позволили бы ввести еще более сложные понятия, инвари- антные относительно преобразований координат? В качестве таких объектов можно ввести

E₁ = ~e₁~e₁, E₂ = ~e₁~e₂, E₃ = ~e₁~e₃, E₄ = ~e₂~e₁,

E₅ = ~e₂~e₂, E₆ = ~e₂~e₃, E₇ = ~e₃~e₁, E₈ = ~e₃~e₂, E₉ = ~e₃~e₃

_{и рассмотреть объект}

T = T ⁱE_i (2.21) где T ⁱ числа, называемые компонентами введенного таким образом объекта T в базисе E_i (i = 1, 2, . . . , 9).

^{Базисные объекты E}_i ^{называются полиадными произведениями}

векторов базиса ~e_i (в данном случае их можно назвать диадными, так как каждое произведение состоит из двух векторов, но можно вводить и произведения многих базисных векторов вида E_s = ~e_i~e_j~e_k~e_l , в трехмерном пространстве s = 1, 2, . . . , 81). По определению, поли- адные произведения векторов базиса считаются линейно независи- мыми, т.е. равенство T = 0 возможно, только если все девять чисел

T ⁱ равны нулю. Вместо новых обозначений E_i удобно пользоваться непосредственно обозначениями ~e_k~e_j и писать равенство (2.21) в виде

T = T ^ij~e_i~e_j .

Полиадное умножение векторов представляет собой некоторую операцию над векторами, приводящую к новым объектам (не век- торам и не скалярам). Для определения этой операции укажем ее свойства.

Полиадное произведение является некоммутативным: ~e_i~e_j = ~e_j~e_i. По определению, операция полиадного умножения является ли- нейной, т.е. выполняется свойство дистрибутивности и порядок чис- ловых множителей в произведении несущественен, так что справед-

_{ливо равенство}

_{где a, b ∈ R.}

~e_i(a~e_j + b~e_k ) = a~e_i~e_j + b~e_i~e_k (2.22)

Полиадные произведения векторов базиса ~e_i~e_j , как и сами векто- ры базиса ~e_i, зависят от системы координат. Формула преобразова- ния объектов ~e_i~e_j можно получить, зная формулы преобразования

~e_i и воспользовавшись свойством линейности полиадного произведе- ния. Эти формулы имеют вид

_{~ei 0~ej 0 = a}p·_aq· _{~ep~eq . (2.23)}

^{· i · j}

Компоненты полиадных произведений ~e_i~e_j в соответствующей им системе координат можно записать в виде матриц, состоящих из од- ной единицы и остальных нулей. Например, в собственной системе координат компоненты ~e₁~e₂ образуют матрицу

0	1	0
0	0	0
0	0	0

^{° °}

^{° °}

^.

^{° °}

^{° °}

^{° °}

^{° °}

Пользуясь полиадными произведениями, можно вводить объек- ты, называемые тензорами.

Потребуем, чтобы T ^ij~e_i~e_j было инвариантно относительно преоб- разований координат, т.е.

T ^ij~e_i~e_j = T ^0ij~e_i ⁰~e_j ⁰, (2.24)

_{где T} ^ij _{и T} ^0ij _{относятся к разным системам координат. Отсюда и из}

правила преобразования полиадных произведений (2.23) ясно, что T ^ij должны преобразовываться при переходе к другой системе коор- динат по формулам

· p_b q _T

_{. (2.25)}

_T ^0ij _{= b}^{i· j· pq}

^·

Определение тензора. Инвариантный объект T^ˆ

_{= T = T} ^ij_{~ei~ej , компоненты которого}

_{преобразуются при переходе к другой системе координат по форму-}

лам (2.25), называется тензором второго ранга или второй валент- ности. Рангом или валентностью тензора называется число индек- сов его компонент. Очевидно, вектор есть тензор первого ранга.

Как и в случае вектора A^~ , инвариантность тензора T обеспечи- вается взаимообратностью преобразований полиадных произведений (2.23) и компонент тензора (2.25).

Аналогично тензору второго ранга можно ввести тензор любого ранга, например, тензор пятого ранга, как

T^ˆ = T = T ^ijklm~e_i~e_j~e_k~e_l~e_m = T ^0ijklm~e_i ⁰~e_j ⁰~e_k ⁰~e_l ⁰~e_m ⁰, (2.26)

где объектами, управляющими числами T ^ijklm, теперь являются по- лиадные произведения ~e_i~e_j~e_k~e_l~e_m, которые преобразуются аналогич- но (2.23), а компоненты тензора преобразуются аналогично (2.25).

Подчеркнем, что вектор и тензор определяются как объекты, неза- висящие от преобразований координат, а не просто как набор компо- нент, которые преобразуются по заданному закону.

_{Симметричные и антисимметричные тензоры.}

Компоненты тензоров T ^ij и T ^ijklm, введенные по формулам (2.24) и (2.26), преобразуются контравариантным образом и называются контравариантными компонентами тензора.

_{Если при перестановке какой-либо пары индексов значения ком-}

_{понент тензора T}^ˆ

_{≡ T сохраняется (например, T} ^ijklm _{= T} ^jiklm_{), то}

_{тензор называется симметричным по этим индексам.}

Если при перестановке какой-либо пары индексов значения ком- понент тензора T^ˆ меняют знак, сохраняясь по абсолютной величине

_{(например, T} ^ijklm _{= −T} ^jiklm_{), то тензор T}^ˆ

_{называется антисиммет-}

ричным по этим индексам. Из формул преобразования (2.25) компо- нент тензора видно, что свойство симметрии и антисимметрии тен- зора инвариантно относительно преобразований координат.

Если взять тензор T = T ^ij~e_i~e_j , то объект T^∗ = T ^∗ij~e_i~e_j , где T ^∗ij =

_T ^ji_{, тоже будет тензором, причем T = T}^∗ _{только для симметричного}

тензора.

_{Сложение тензоров и умножение на число.}

Суммой двух тензоров A = A^ijk~e_i~e_j~e_k и B = B^ijk~e_i~e_j~e_k одного ранга называется тензор, образованный сложением соответствующих компонент исходных тензоров

A + B = (A^ijk + B^ijk )~e_i~e_j~e_k .

Аналогично, объект C = k · A, образованный почленным умноже- нием компонент тензора A на k, также будет тензором.

_{Операции симметрирования и альтернирования.}

Операции получения из произвольного тензора T = T ^ij~e_i~e_j сим- метричного тензора

_{1 ij}

^{Ts =} ₂ ^(T

и антисимметричного тензора

_{1 ij}

^{Ta =} ₂ ^(T

_{+ T} ji

_ji

^T

⁻

)~e_i~e_j

)~e_i~e_j

_{называются операциями симметрирования и альтернирования.}

Заметим, что по определению тензор равен нулю, если все его компоненты равны нулю.

_{Формулы преобразования контравариантных векторов базиса.}

Векторы базиса, преобразующиеся по формулам (2.18):

^{· j}

~e_j ⁰ = ~e_ia^i·

называются ковариантными векторами базиса. Если имеется некото- рый произвольный тензор второго ранга κˆ = κ^ij~e_i~e_j , то в некоторой системе координат ζ ¹, ζ ², ζ ³ мы можем ввести

~e ⁱ = κ^ij~e_j , (2.27)

где, например, κ^1j~e_j ≡ κ¹¹~e₁ + κ¹²~e₂ + κ¹³~e₃ = ~e ¹ является суммой трех векторов базиса ~e_i, умноженных на числа κ¹ⁱ. Аналогично, в другой системе координат η¹ , η², η³ можно ввести

~e ^0p = κ^0pq~e_q ⁰.

Формулы преобразований компонент тензора κ^pq (2.25) и векто- ров базиса ~e_q (2.18) известны, с их помощью получим формулы пре- образования ~e ⁱ:

· i · j ^κ

a _q~e_k = b κ

~e_j = b ~e

(2.28)

_~e 0p _{= κ}0pq_~eq 0 _{= b}^p·_b^q·

ij k·

^·

^p· ij

^{· i}

^p· i

^{· i}

_{так как b}q· _{ak· = δk· . Видно, что ~e i преобразуются контравариантным}

образом. _{· j · q · j}

я контравариантными векторами базиса.

Они называютс

Заметим, что если ковариантные векторы базиса ~e_i зависели толь- ко от системы координат, то контравариантные векторы базиса ~e ⁱ за- висят и от системы координат, и от тензора κˆ , с помощью которого они образованы.

_{Ковариантные компоненты тензора κˆ .}

Зная контравариантные векторы базиса ~e ⁱ, можно найти ковари- антные векторы базиса ~e_i, т.е. можно разрешить (2.27) относительно

^k

~e_i. Для этого необходимо ввести матрицу kκ_ij k обратную матрице kκ^ij , что требует соблюдения условия detkκ^ij k = 0. Из алгебры из- вестно, что

κ_ij =

^kji _(2.29)

^∆

где k_ji дополнительные миноры матрицы kκ^ij k, а ∆ = detkκ^ij k. Таким образом, зная матрицу kκ^ij k, детерминант которой отличен от нуля, можно по (2.29) составить матрицу kκ_ij k и разрешить (2.27) относительно ~e_i. В некоторой системе координат ζ ¹, ζ ², ζ ³ будет иметь

~e_j = κ_ij~e ⁱ. (2.30) Аналогично в другой системе координат η¹, η², η³

ij

~e_j ⁰ = κ⁰ ~e ⁰ⁱ.

_{С помощью известных формул преобразований векторов базиса}

_{~ej (2.18) (~ej 0 = ~eiai· ) и ~e j (2.28) получим формулу преобразования}

компонент

κ_ij .

_j

^·

Действительно,

_{~ej 0 = κ0 ~e 0i = ai· ~ei = ai· κik~e k = ai· ak·κik~e 0l ,}

_откуда

^{ij · j · j}

^{· j · l}

_ij = a a

κ_pq (2.31)

^κ

0 ^{p· q·}

^{· i · j}

Видно, что если составить выражение κ_ij~e ⁱ~e ^j , где ~e ⁱ~e ^j поли- адные произведения контравариантных векторов базиса ~e ⁱ, которые преобразуются по формулам

_{~e 0i~e 0j = bi·}

_{j· k l}

^{· k b· l~e}

^{~e ,}

то оно будет представлять собой объект, который не зависит от вы- бора системы координат, т.к. κ_ij преобразуются ковариантным обра- зом, а полиадные произведения ~e ⁱ~e ^j контравариантным образом. Кроме того, из (2.27) и (2.30) следует, что

κ_ij~e ⁱ~e ^j = κ^ipκ^jq κ_ij~e_p~e_q = κ^pq~e_p~e_q .

_{Таким образом, κij можно назвать ковариантными компонентами}

рассмотренного выше тензора второго ранга κˆ базисе ~e ⁱ. Для простоты далее будем считать κˆ зором, т.е. κ^ij = κ^ji и, следовательно, κ_ij = κ_ji.

в контравариантном симметричным тен-

Ковариантные компоненты произвольного вектора.

_{Очевидно, для любого вектора A}^~ _{можно записать}

A^~ = A^j~e_j = A^j κ_ij~e ⁱ = A_i~e ⁱ,

если положить

A_i = κ_ij A^j (2.32)

Видно, что у контравариантных компонент A^j вектора A^~ , как и у контравариантных векторов базиса ~e ⁱ индекс опускается с помощью

_{ковариантных компонент тензора κˆ}

_{(2.32) и (2.30). Следовательно,}

A_i преобразуются так же, как и ~e_i, т.е. ковариантным образом:

_{A0 k·}

^{· i}

_i ^{= a}

^A_k ^;

Компоненты A_i называются ковариантными компонентами век-

_{тора A}^~

в контравариантном базисе ~e ⁱ. Следовательно, для каждого

_{вектора A}^~

_{можно ввести компоненты A}ⁱ_{, преобразующиеся с помо-}

щью матрицы B и называемые контравариантными компонентами, и компоненты A_i, преобразующиеся с помощью матрицы A и называ- емые ковариантными компонентами. В общем случае ковариантные и контравариантные компоненты различны A^j = A_j .

_{Ковариантные и смешанные компоненты тензора.}

Рассуждения, проведенные для вектора, можно распространить на тензоры любого ранга и получить, например, для тензора четвер- того ранга

T = T ^ijkl~e_i~e_j~e_k~e_l = T ^ijkl κ_ipκ_jq κ_kmκ_ln~e ^p~e ^q~e ^m~e ⁿ =

^{· pq·}

= T_pqmn~e ^p~e ^q~e ^m~e ⁿ = T ^ijkl κ_jpκ_kq~e_i~e ^p~e ^q~e_l = T ^{i·· l} ~e_i~e ^p~e ^q~e_l (2.33)

_{Компоненты Tpqmn называются ковариантными, а T i·· l}

_{смешан-}

ными (ковариантными по индексам и к

_{· pq·}

по ин-

p, q

онтравариантными

дексам i, l) компонентами тензора T. Формулы преобразования для смешанных компонент имеют вид:

_{T 0m·· s}

_{i·· l}

_{m· p·}

_{q· s·}

^{· nr· = T· pq·b· i a· na· r b· l}

т.е. преобразование ковариантное по нижним индексам n, r и кон- травариантное по верхним индексам m, s.

_{Жонглирование индексами.}

Операция, связанная с подъемом и опускание индексов, называ- ется операцией жонглирования индексами. Например, один и тот же тензор T можно представить в различной форме:

^{· j}

T = T_ij~e ⁱ~e ^j = T_ij κ_ik~e_k~e ^j = T ^k·~e_k~e ^j . (2.34)

_{т.е. вместо записи тензора T с помощью ковариантных компонент}

_о-

T_ij мы получили его выражение через смешанные компоненты T ^k·. Понятно, что опускание индексов (2.33) производится с помощью к· j

вариантных компонент κ_ij тензора κˆ , а поднятие индексов (2.34)

_{с помощью контравариантных компонент κ}^ij _.

Складывать и вычитать можно только компоненты тензоров в одинаковым строением индексов.

_{Общее определение тензора.}

Говорят, что дан k + l-валентный тензор T, k раз ковариантный и l раз контравариантный, если в каждой координатной системе, в случае преобразования векторов базиса по формуле

^{· j}

_~ej ⁰ _{= a}^i· _{~ei, (2.35)}

^{n T k}

_{нам заданы} ^k+l _чисел ^{j1 j2 ...jl} _{, занумерованных нижними индек-}

i₁ i₂ ...i_k

сами и l верхними индексами и преобразующихся при переходе от

одной координатной системы, заданной векторами базиса ~e_i к дру- гой, заданной векторами базиса ~e_j ⁰, в соответствии с законом

T _{0 q}1 _q2 _...ql

_q1 _·

_q2 _·

_ql _·

_{· i}1

_{· i}2

_{· i}k

_j1 _j2 _...jl

_p1 _p2 _...pk _{= b j}1 _{b j}2 _{. . . b· j}l _ap1 _·ap2 _{· . . . ap}k _·Ti1 _i2 _...ik _{. (2.36)}

^{· ·}

ⁱ1 ⁱ2 ^...i_k

Нижние индексы отличаются друг от друга местом написания; аналогично отличаются и верхние индексы. Все индексы пробегают значения 1, 2, . . . , n независимо друг от друга. Числа T ^{j1 j2 ...jl} будем называть координатами тензора в соответствующей системе коор- динат.

Смысл закона преобразования (2.36) состоит в том, что каждый нижний индекс участвует в преобразовании один раз по схеме кова- риантного тензора

_{T 0 · i}

p ^{= a}p·^Ti,

а каждый верхний один раз по схеме контравариантного тензора

j

_T ^{0 q} _{= b}^q· _T ^j

^·

Общее число индексов k + l называется валентностью тензора. Обратим особой внимание на тот факт, что в правой части (2.36)

суммирование происходит по всем k + l повторяющимся индексам, и, таким образом, каждая координата тензора в новой системе коорди- нат зависит от всех его координат в старой системе. Это означает, что в конечном счете тензор не сводится просто к совокупности отдель- ных чисел его координат, а представляет собой единое целое.

Последнее связано с тем, что каждый тензор отражает какой-то цельный геометрический или физический объект и распадается на свои координаты лишь условно, т.е. по отношению к той или иной координатной системе.

_{Длина вектора.}

Введем метрику пространства, т.е. укажем способ нахождения длин в пространстве. Для определения длины вектора достаточно определить скалярные произведения векторов базиса

~e_i · ~e_j = g_ij

которые, вообще говоря, в данной точке могут быть произвольными числами. По определению, квадрат длины вектора d~r равен

_|d~r|

_{= ds}

_{= d~r · d~r = dζ dζ ~e}i _{· ~e}j _{= dζ dζ}

_gij _(2.37)

2 2 i j i j

_{и, соответственно, квадрат длины любого вектора}

_|A~|

_{= A A g}ij

2 i j

Длина любого вектора выражается через его компоненты и ска- лярные произведения векторов базиса g_ij .

Условие инвариантности длины |d~r| относительно выбора систе-

_{мы координат имеет вид}

2

|d~r|

⁰

= g_pq dη^p

dη^q

^{· p}

^a

^{· q}

= g_ij dζ ⁱdζ ^j

_{= gij a}i· j·

dη^p

dη^q . (2.38)

_{Фундаментальный метрический тензор.}

Из (2.38) следуют формулы преобразования величин g_ij :

pq _{= a}

_{a g}ij _{. (2.39)}

^g

^{0 i· j·}

^{· p · q}

_{Таким образом, в силу инвариантности длины |d~r| величины gij}

следуют рассматривать как ковариантные компоненты тензора

gˆ = g_ij~e ⁱ~e ^j

_{который называется фундаментальным метрическим тензором.}

Согласно определению скалярного произведения тензор gˆ явля- ется симметричным тензором:

g_ij = g_ji.

Квадратичная форма (2.37) (относительно приращений коорди- нат dζ ⁱ) называется фундаментальной квадратичной формой, задаю- щей метрику, понимаемую как расстояние между близкими точками пространства.

_{Как известно из алгебры, всякую квадратичную форму с посто-}

янными коэффициентами можно привести к каноническому виду, т.е. в каждой выбранной точке можно найти такие координаты x¹, x² , x³, что квадратичная форма (2.37) запишется в виде суммы квадратов

ds² = (dx¹)² + (dx²)² + (dx³)², (2.40)

а матрица, задающая тензор gˆ, приведется к единичной матрице

1	0	0
0	1	0
0	0	1

° °

^{° °}

^.

^{° °}

^{° °}

^{° °}

^{° °}

Вообще говоря, выполнить такое преобразование сразу во всем пространстве нельзя, т.е., вообще говоря, нельзя найти такую систе- му координат x¹, x², x³ , чтобы квадратичная форма (2.37) во всем пространстве привелась к виду (2.40).

_{Если такая система координат существует, то пространство на-}

зывается евклидовым, если нет неевклидовым. Если в n-мерном пространстве квадратичную форму (2.37) с помощью вещественно- го преобразования координат можно во всем пространстве привести к виду ds² = α_i(dxⁱ)², где α_i = ±1, i = 1, 2, 3, . . . , n, и по крайней мере одно из α_i имеет знак, отличный от других, то пространство называется псевдоевклидовым.

Очевидно, наряду с ковариантными компонентами g_ij для тензора gˆ можно ввести контравариантные компоненты g^ij таким же спосо- бом, как для тензора κˆ . Необходимо только, чтобы detkg_ij k = 0.

_{Используя g}^ij _{, можно ввести контравариантные векторы базиса}

_~e ^j _:

~e ^j = g^ij~e_i, (2.41)

и жонглирование индексами проводить не с помощью тензора κˆ , а с помощью фундаментального метрического тензора gˆ (как это обычно и делается).

Взаимосвязь ковариантного и контравариантного базисов через метрический тензор gˆ.

Выясним свойства скалярных произведений контравариантных и ковариантных векторов базиса ~e ^j · ~e_p.

Из (2.41) получим

p

~e ^j · ~e_p = g^ij~e_i · ~e_p = g^ij g_ip = δ^j , (2.42)

_{то есть ~e} ¹ _{· ~e1 = 1, ~e} ¹ _{· ~e2 = 0, ~e} ¹ _{· ~e3 = 0, и т.д.}

_{Отсюда следует, что вектор базиса ~e} ¹ _{ортогонален площадке, об-}

разованной векторами ~e₂ и ~e₃, и т.д. Можно проверить, что для кон- травариантных векторов базиса верны следующие формулы:

_~e ¹ ₌ ^{~e2 × ~e3}

_{~e1 · (~e2 × ~e3)}

_{, ~e} ² ₌ ^{~e3 × ~e1}

_{~e1 · (~e2 × ~e3)}

_{, ~e} ³ ₌ ^{~e1 × ~e2} _,

_{~e1 · (~e2 × ~e3)}

(2.43)

_{а для ковариантных формулы:}

_~e ² _{× ~e} ³

_~e ³ _{× ~e} ¹

_{3 ~e} ¹ _{× ~e} ²

^{~e1 =} _~e ¹ _{· (~e} ² _{× ~e} ³₎ ^{, ~e2 =} _~e ¹ _{· (~e} ² _{× ~e} ³ ₎ ^{, ~e}

_{где знак × обозначает векторные произведения.}

_{= ,}

~e ¹ · (~e ² × ~e ³)

(2.44)

Говорят, что ковариантные и контравариантные векторы базиса взаимны. Ясно, что в декартовой ортогональной системе координат

~e ^j = ~e_j , следовательно, в такой системе координат нет разницы меж- ду ковариантными и контравариантными компонентами векторов и тензоров и поэтому написание индексов вверху и внизу в декартовой системе координат становится несущественным.

_{Смешанные компоненты метрического тензора.}

_{Из (2.42) ясно, что смешанные компоненты gi·}

_{фундаментального}

_{метрического тензора g}

_{(в дальнейшем}

· j

_{крышечку}

_{будем опускать) в}

_{любой системе координат образуют единичную матрицу:}

^°

_{° g1·}

_{1· 1·} ^{° ° °}

1	0	0
0	1	0
0	0	1

° ° °

^·

_{· 1} ^g_{· 2} ^g _{3 ° ° °}

_kgi·

^° _2·

_{2· 2· ° =}

_{= kδi·}

_(2.45)

^·

_{· j k =} ^° _{g· 1 g· 2 g 3} ^°

^° _{· j k}

_{° g3·}

_{3· 3· ° ° °}

^·

^{° · 1 g· 2 g 3 ° ° °}

_{Неопределенное умножение тензоров.}

Ранее мы уже познакомились с некоторыми операциями над тен- зорами, рассмотрим еще операцию умножения тензоров. Пусть име-

_{ется вектор A}^~

^{= Ai~e}_i ^{и тензор T = T k·~e}_k^{~e j ; формально образуем}

^{· j}

два объекта: один умножая A^~ на T справа , а другой умножая A^~ на T слева (важен не порядок умножения компонент тензоров это числа, и, следовательно, их умножение коммутативно, а порядок умножения векторов базиса). Получим:

_{B = Ai~eiT k·~ek~e j = AiT k·~ei~ek~e j}

и

_{B∗ = T k· j i}

^{· j}

_{i k· j}

^{· j}

_{i k· mj p}

^{· j ~ek~e}

^{A ~ei = A T· j ~ek~e}

^{~ei = A T· j ~ek g}

^~e_m^g_pi^{~e =}

^{· j}

^{= Aig}_pi^{T k·gmj~e}_k^~e_m^{~e p = A}_p^{T km~e}_k^~e_m^{~e p = T ik A}_j^~e_i^~e_k^{~e j .}

В последнем равенстве произведена замена индексов, по которым происходит суммирование (это немые индексы): k на i, m на k, и p

_{на j, чтобы полиадные произведения в B и B}^∗ _{формально совпали.}

_{Очевидно, что B и B}^∗ _{являются тензорами, но B = B}^∗_{. Эта опе-}

рация, приводящая к получению тензоров более высокого, чем ис- ходные, ранга, называется операцией неопределенного умножения тензоров. Ее результат зависит от порядка умножения. С помощью

неопределенного умножения векторов можно образовать тензор лю- бого ранга AⁱA^j A^k . . . ~e_i~e_j~e_k . . ., но не всякий тензор можно предста- вить как произведение векторов.

_{Число компонент тензора.}

Скаляр k можно рассматривать как тензор нулевого ранга, он характеризуется одним числом (3⁰ = 1), в трехмерном пространстве вектор тензор первого ранга имеет три компоненты (3¹ = 3), тензор второго ранга имеет 3² = 9 компонент и т.д., тензор ранга p имеет в трехмерном пространстве 3^p компонент, а в n-мерном про- странстве тензор ранга r имеет n^r компонент.

При наличии симметрии число независимых компонент сокраща- ется. В частности, двухвалентной симметричный тензор (T ^ij = T ^ji) имеет только шесть независимых компонент, а антисимметричный (T ^ij = −T ^ji) только три независимые компоненты.

_{Скалярные инварианты тензора.}

Вообще говоря, компоненты тензора зависят от выбора системы координат. Рассмотрим следующую задачу: найти такие функции

^{· j}

_Φ(T ^i· _{) от компонент тензора, которые будут инвариантны относи-}

тельно выбора системы координат, т.е.

_{Φ(T i· ) = Φ(T 0}i· _).

^{· j · j}

Такие функции компонент тензора называются инвариантами тен- зора. Они являются числами (константами) или функциями точек пространства, если мы рассматриваем тензорное поле. Именно такие функции компонент тензоров и векторов должны, наряду с другими инвариантными объектами, входить в математическую запись фи- зических законов, которая должна быть инвариантна относительно способов описания физического явления и, частности, не должна за- висеть от выбора системы координат. Аналогично можно определить инвариантные функции от компонент нескольких тензоров. Такие функции называются скалярами.

Укажем простые правила образования инвариантов вектора и тен- зора. Возьмем вектор

A^~ = Aⁱ~e_i = A_j~e ^j = Aⁱg_ij~e ^j

_{и составим скалярное произведение}

A^~ · A^~ = AⁱA^j~e_i · ~e_j = AⁱA^j g_ij = AⁱA_i.

_{Полученное выражение является инвариантом (в данном случае}

_{квадратом длины вектора}

_A^~_{), так как преобразования разноимен-}

ных (ковариантных и контравариантных) компонент вектора взаим- но обратны. У вектора (тензора первого ранга) только один незави- симый инвариант его длина, все остальные инварианты являются его функциями.

Теперь возьмем любой тензор второго ранга

T = T ^ij~e_i~e_j

и образуем свертку по обоим индексам с метрическим тензором T ^ij g_ij (сверткой называется операция суммирования по верхнему и ниж- нему индексам (и полученный таким образом результат)). Свертка даст число, которое не зависит от системы координат, так как преоб- разования компонент с верхними и нижними индексами (контравари- антных и ковариантных) взаимно обратны. Таким образом, получим линейный инвариант

^{ij i·}

^1·

_{T gij = T· i = T}

_{+ T 2·}

_{+ T 3·}

_{. (2.46)}

Свертки

^{· 1}

_{T i· j·}

^{· 2 · 3}

^{· j T· i ,}

_{· j} T_{· p}T_{· i} (2.47)

_{также будут инвариантами.}

_T i·

j· ^p·

Итак, для тензора второго ранга мы получили три инвариан- та: линейный, квадратичный и кубичный относительно компонент. В дальнейшем будет показано, что в случае симметричного тензо- ра второго ранга, особенно важного для приложений, все остальные скалярные инварианты будут функциями этих трех инвариантов.

_{Тензорная поверхность.}

Возьмем произвольную точку O и близкую к ней точку M . Про- ведем в точке O координатные линии ζ ¹ , ζ ², ζ ³ и рассмотрим вектор

O^~M = d~r = dζ ⁱ~e_i

и некоторый (симметричный!) тензор

T = T ^ij~e_i~e_j = T_ij~e ⁱ~e ^j .

Очевидно, T_ij ζ ⁱζ ^j является инвариантом и мы может составить уравнение

T_ij dζ ⁱdζ ^j ≡ T ⁰_ij dη ⁱdη ^j = c, (2.48)

где c некоторое произвольное число.

При фиксированном c и значениях T_ij , взятых в точке O, в малой окрестности точки O уравнение (2.48) определяет поверхность вто- рого порядка, которая называется тензорной поверхностью. Диффе- ренциалы dζ ⁱ или dη ⁱ можно рассматривать как координаты точек этой тензорной поверхности. Таким образом, каждому симметрично- му тензору T второго ранга можно поставить в соответствие поверх- ность второго порядка (2.48).

_{Главные оси и главные компоненты тензора.}

Как хорошо известно из линейной алгебры, уравнение любой по- верхности второго порядка с помощью преобразования координат можно привести к канонического виду, т.е.в точке O можно выбрать систему координат x¹, x², x³ так, что (2.48) примет вид

T₁₁(dx¹)² + T₂₂ (dx²)² + T₃₃(dx³)² = c. (2.49)

_{при этом система координат x}¹ _{, x}²_{, x}³ _{в точке O будут ортогональной.}

Следовательно, в каждой точке пространства можно ввести ортогональную систему координат так, что только три компо- ненты T₁₁, T₂₂, T₃₃ симметричного тензора второго ранга будут отличными от нуля. Такие оси называются главными осями тен- зора, а прямоугольная декартова система координат, оси которой на- правлены по главным осям, называется главной системой координат тензора. Очевидно, в главной системе координат разница между ко- вариантными и контравариантными компонентами пропадает

i

T ⁱⁱ = T_ii = T ⁱ = T_i

(здесь суммирование по повторяющемуся индексу отсутствует). Три, вообще говоря, различных и отличных от нуля компоненты тензора в главной системе координат называются его главными компонентами.

Теперь можно легко ответить на вопрос о числе независимых ин- вариантов симметричного тензора второго ранга. В главной системе координат все они должны быть функциями только трех компонент, и, следовательно, их число не может быть больше трех, а из запи- си инвариантов (2.46) и (2.47) в главной системе ясно, что все три найденных ранее инварианта независимы.

В дальнейшем нам потребуется еще ряд сведений из тензорного анализа, которые мы будем излагать по мере необходимости.

2.5. Теория деформаций

Зависимость векторов базиса сопутствующей системы от вре- мени.

Пусть относительно системы координат наблюдателя x¹, x², x³ дви- жется деформируемое тело. Рассмотрим два его произвольных поло-

_{жения и, в частности, положения точек M и M} ⁰ _{деформируемого}

_{тела в произвольные моменты времени t и t}⁰ _{(рис. 1.2.5). Пусть с}

точкой M связана сопутствующая система координат ξ¹ , ξ², ξ³. Век- торы базиса в точке M в момент t⁰ обозначим ~e_i ⁰, а в момент t ^b~e_i.

Очевидно, в сопутствующей системе координат будем иметь

^b

d~r = dξⁱ~e_i

и

^{d~r 0 = dξi~e}_i ^0.

_{Рис. 1.2.5. Движение деформируемой среды.}

Для исследования изменения расстояний между точками тела необходимо ввести метрические тензоры сопутствующей системы ко-

ординат в моменты времени t и t⁰. Пусть в момент t

|d~r| = ds, ds² = gˆ_ij dξⁱdξ^j , (2.50)

где

и в момент t⁰

_где

gˆ_ij = ^b~e_i · ^b~e_j ,

ij

|d~r⁰| = ds⁰, ds⁰² = g⁰ dξⁱdξ^j , (2.51)

⁰

^g_ij ^{= ~e}_i ⁰

· ~e_j ⁰,

_{в моменты времени t}

_{и t}⁰ _{в сопутствующей системе координат одинаковые, а компоненты}

ij

^gˆ_ij ^{и g0}

разные.

_{Коэффициент относительного удлинения.}

_{Коэффициентом относительного удлинения назовем отношение}

_{l =} ^{ds − ds0}

^ds0

_ds

₌

^ds0

− 1, (2.52)

_{где ds и ds}⁰ _{проходят в соответствующие моменты времени через}

одни и те же индивидуальные точки среды. Коэффициент относи- тельного удлинения l зависит от точки M и направления элемента, для которого он вычисляется, но не зависит от длины d~r. Отметим, что деформации и коэффициенты относительного удлинения l мож- но вводить, рассматривая два совершенно произвольных положения сплошной среды и что l для любого d~r можно вычислить, зная gˆ_ij ,

^g

ij

⁰ и направление d~r.

_{Тензоры деформаций.}

Введем обозначения

₁

^{εij =} ₂ ^{(gˆij − g ); (2.53)}

⁰

^ij

тогда из (2.50) и (2.51) будем иметь

_ds² _{− ds}⁰² _{= 2εij dξ}ⁱ_dξ^j _.

Из (2.53) видно, что ε_ij можно рассматривать как ковариантные компоненты тензора. Как известно, с помощью любого тензора вто- рого ранга можно по ковариантным компонентам некоторого тензора образовать его контравариантные компоненты. В метрическом про- странстве в качестве такого тензора принято использовать метриче- ский тензор g. В нашем случае можно поднимать индексы либо с

g^ij

_{помощью g}^0ij _{, либо с помощью b}

_{и потому по ковариантным ком-}

_{понентам εij можно образовать два набора контравариантных ком-}

_{понент:}

_{εij (индексы поднимаются посредством b}

_{) и ε}

_{(индексы}

_{b g}^ij

^0ij

_{поднимаются посредством g}^0ij _{). Это означает, что можно образовать}

два разных тензора:

^b

E^b = ε_ij^b~e ⁱ~e ^j и E ⁰ = ε_ij~e ⁰ⁱ~e ^0j ,

имеющих одинаковые ковариантные компоненты (2.53), но отнесен- ные к разным базисам ^b~e ⁱ и ~e ⁰ⁱ. Эти два тензора называются тен-

_{зорами деформаций. Контравариантные и смешанные компоненты}

ε^ij

_{тензоров E}^b _{и E} ⁰ _{разные, и мы установим для них обозначения b}

_{, ε}^0ij

_{и ε} ⁱ _{, ε0}ⁱ

_{соответственно; ε0}ⁱ

_{= ε} ⁱ

_{так как ε0}ⁱ

_{= εpj g0pi, а ε} ⁱ

_{= εpj gb0 pi}

g^0pi = b ^pi

_и ^{b j j} _.

j ^b j j ^b j

g

Тензоры деформаций являются основными характеристиками де- формаций, возникающих в телах, и их компоненты входят в основные уравнения, описывающие движение сплошной среды.

_{Начальное состояние и начальное состояние .}

Ясно, что в интересующий нас момент времени t величина де- формации зависит не только от рассматриваемого состояния тела, но также и от того, по отношению к какому состоянию эта дефор- мация вычисляется. Его можно выбирать по-разному, и мы не будем фиксировать этот способ определения, а назовем состояние среды, выбираемое для сравнения с данным состоянием, начальным и ука- жем на следующее возможное обстоятельство. Это начальное состо- яние не обязательно должно реально осуществляться.

Например, за начальное состояние можно принять такое мыслен- но введенное состояние, в котором структура каждого элемента сре- ды упорядочена и элемент предоставлен самому себе, т.е. на него не действуют никакие силы. Обозначим метрику в этом мысленно вве-

ij

_{денном состоянии через} ^g◦

, а векторы базиса сопутствующей систе-

^e_i

_{мы в начальном состоянии через ~}◦ _{. Очевидно, что введенная таким}

образом метрика может оказаться неевклидовой. Реальное же дви- жение сплошной среды происходит в евклидовом пространстве, и, следовательно, в общем случае может не существовать реального пе- рехода сплошной среды из начального состояния в рассматриваемое. Идеальное примысленное начальное состояние (в кавычках) мож- но использовать для оценки изменения метрики и введения тензора деформаций.

^◦

Пример: движение пленки в двумерном евклидовом пространстве, т.е. на плоскости.

В общем случае компоненты

^g_ij

могут зависеть от ξ¹, ξ² , ξ³ и t;

ij

_{если примысленное начальное состояние фиксировано, то} ^g◦

_{зависеть только от ξ}¹_{, ξ}²_{, ξ}³_.

могут

Геометрический смысл ковариантных компонент тензоров де-

_{формаций Eb и} ^◦ _.

_{Запишем к}

E

_{омпоненты}

_{метрических тензоров в следующем виде:}

gˆ_ij = ^b~e_i · ^b~e_j = |^b~e_i| · |^b~e_j | cos ψ_ij , (2.54)

где ψ_ij углы между векторами ^b~e_i и ^b~e_j , и

g_{◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦}

_ij ^=~e_i ^{· ~e}_j ^{= | ~e}_i ^{| · | ~e}_j ^{| cos ψ}_ij ^{, (2.55)}

^ψ

_где ^◦

^ij

_{углы между векторами ~}◦

^e_i

^e_j

^Ї _∂~r ^Ї

_{и ~}◦ _{. Составим соотношение}

^Ї i ^Ї

^|b~e_i^|

₌ ^{Ї ∂ξ Ї} ₌ ^|d~ri^|

_dsi

₌

_{= li}

_{+ 1 (2.56)}

^◦

_{| ~ei |}

^Ї ∂~r₀ ^Ї Ї ∂ξi Ї

_|d~r0i|

_ds0i

^{Ї Ї}

где ds_i и ds_0i элементы дуг координатных линий ξⁱ, а l_i ко- эффициенты относительных удлинений в направлениях ξⁱ. Теперь с помощью (2.56) из (2.54) можно получить

_{◦ ◦}

^gˆ_ij ^{= | ~e}_i ^{| · | ~e}_j ^{|(1 + l}_i^{)(1 + l}_j ^{) cos ψ}_ij ^{, (2.57)}

а с помощью (2.55), (2.57) и (2.53), приняв за состояние сплошной среды в момент t⁰ начальное состояние или начальное состояние

_g◦

_ij , получим следующие формулы:

_{◦ ◦ ◦}

^2ε_ij ^{= [(1 + l}_i^{)(1 + l}_j ^{) cos ψ}_ij ^{− cos ψ}_ij ^{]| ~e}_i ^{| · | ~e}_j ^{|, (2.58)}

которые удобны для геометрического истолкования ε_ij .

_{Проведем сначала геометрическое истолкование компонент тен-}

зора деформаций ε_ij с одинаковыми индексами. Из (2.58) имеем

_g◦

_откуда

^2ε_ii ^{= [(1 + l}_i^{)2 − 1]}

_ii, (2.59)

^s

l_i = 1 +

2ε_ii

_g^◦

− 1. (2.60)

ii

Если деформации малы, то ε_ij малы; разложив (2.60) в ряд, по- лучим

i

^'

_l ^εii _.

^g

^◦

ii

(2.61)

_{Кроме того, если в начальном состоянии мы выбрали декартову}

ii

_{сопутствующую систему координат, то} g^◦

= 1, и поэтому

l_i ' ε_ii, (2.62)

т.е. в случае бесконечно малых деформаций ковариантные компо- ненты тензоров деформаций с одинаковыми индексами совпадают с коэффициентами относительных удлинений вдоль декартовых осей координат в начальном состоянии.

Рассмотрим теперь геометрическое истолкование компонент ε_ij с различными индексами (i = j). Для этого ради простоты в началь- ном состоянии выберем в данной точке такую систему координат, в

^e_i

_{которой ~}◦

взаимно ортогональны, т.е.

Тогда, положив

◦ _π ψ_ij = ₂ .

_π

^ψ_ij ⁼

₂ ^{− χij ,}

из (2.54), (2.55) и (2.53) получим

2ε_ij = |^b~e_i| · |^b~e_j | sin χ_ij ,

или

_2εij

_(2.63)

^{sin χ}_ij ^{= √}

^gˆ

ii

_,

^pgˆ_jj

откуда видно, что в общем случае углы, бывшие прямыми в началь- ном состоянии , после деформации перестают быть прямыми и ко- вариантные компоненты ε_ij с различными индексами (i = j) харак- теризуют скашивание первоначально прямого координатного угла. Если деформации бесконечно малы и система координат в началь-

_{ном состоянии декартова, то} ^g◦

_{ii= 1 и gˆii}

_{= 1 + O(δ) (δ некоторая}

бесконечно малая величина). С помощью разложения в ряд можно легко получить

или

^{sin χ}_ij ^{' 2ε}_ij ^{, (2.64)}

χ_ij ' 2ε_ij . (2.65)

Вычисление компонент тензоров деформаций по закону движе- ния.

Рассмотрим теперь вопрос об определении ковариантных компо- нент тензора деформаций ε_ij по известному закону движения

xⁱ = xⁱ(ξ¹ , ξ², ξ³, t), ξⁱ = ξⁱ(x¹ , x², x³, t), (2.66)

или

0 _{= x (ξ , ξ}

_{, ξ , t}0_{), ξ}

_{= ξ (x}0_{, x}0_{, x}0_{, t}0_{) (2.67)}

x^{i i 1 2 3}

i i 1 2 3

_{в известной метрике gij}

_{пространства наблюдателя x}¹_{, x}²_{, x}³_{. Под-}

черкнем, что время t рассматривается нами как параметр при пре- образовании координат от сопутствующей системы к системе наблю- дателя. Если начальное состояние соответствует положению среды в момент t₀, то преобразование координат от системы наблюдателя к лагранжевой системе для начального состояния определяется фор- мулами (2.67). В сопутствующей системе ковариантные компоненты тензора деформаций определяются равенствами

^b

_εij

₁ ◦

ij ij

^g

⁻

= (gˆ ),

²

где gˆ_ij метрика актуального пространства в сопутствующей систе- ме. Так как

^gˆ_ij ^{dξidξj = g}_pq ^{dxpdxq ,}

_то

_∂x^p _∂x^q

^{gˆij = gpq} _∂ξⁱ _∂ξ^{j ,}

_{и, следовательно в сопутствующей системе координат}

^b

^εij

₁ ^µ

⁼ ₂ ^gpq

∂x^p ∂x^q

_∂ξⁱ _∂ξ^{j −}

¶

^◦

^gij

, (2.68)

_{где производные ∂x}^p_/∂ξⁱ _{могут быть определены из (2.66).}

Если переход от системы наблюдателя x¹, x², x³ к начальному со- стоянию определен формулами (2.67), то в лагранжевой системе на- чального состояния имеем

₁ ^µ _{∂xp ∂xq} ^¶

_ε^◦_{ij =}

_{gˆij − gpq} ⁰

⁰ _{, (2.69)}

2 ∂ξⁱ ∂ξ^j

0

где производные ∂x^p/∂ξⁱ определены из (2.67).

_{Вектор перемещения.}

_{Рассмотрим ситуацию, когда начальное состояние может реаль-}

^◦

_{но осуществляться и его метрика}

^g_ij

_{, как и метрика}

_gˆij

_{, являет-}

_{ся евклидовой. В этом случае можно ввести вектор перемещения w~}

_{(рис. 2.2.5):}

~r = ~r₀ + w~ , (2.70)

где ~r₀ и ~r радиус-векторы относительно системы отсчета x¹, x² , x³ одной и той же точки M сплошной среды в начальный момент t₀ и в данный момент t, соответственно.

Рис. 2.2.5. Вектор перемещения.

С помощью (2.70) можно найти связь между векторами базисов

^◦

^b~e_i и ~e_i и с ее помощью написать формулы для компонент тензора деформаций ε_ij . Дифференцируя (2.70) по ξⁱ, получим

_∂w~

_∂~r

_{∂~r0 ◦}

_∂ξ^{i =} _∂ξ^{i −} _∂ξ^{i = b~ei− ~ei,}

откуда

_{◦ ∂w~}

_{◦ ∂w~}

_{поэтому}

^{b~ei =~ei +} _∂ξ^{i , или}

^{~ei= b~ei −} _∂ξ^{i , (2.71)}

_{◦ ◦ ◦}

_∂w~

_{◦ ∂w~}

_∂w~

_∂w~

^{gˆij = b~ei · b~ej =~ei · ~ej + ~ei ·} _∂ξ^{j + ~ej ·} _∂ξ^{i +} _∂ξ^{i ·} _∂ξ^j

_и

_g◦ ◦ ◦

_∂w~

_∂w~

_∂w~

_∂w~

^{ij =~ei · ~ej = b~ei · b~ej − b~ei ·} _∂ξ^{j − b~ej ·} _∂ξ^{i +} _∂ξ^{i ·} _∂ξ^j

_{Следовательно}

_{1 g◦}

₁ ^·_◦

_∂w~

_{◦ ∂w~}

_∂w~

_∂w~ ^ё

^{εij =} ₂ ^{(gˆij −}

^{ij ) =} ₂

^{~ei ·} _∂ξ^{j + ~ej ·} _∂ξ^{i +} _∂ξ^{i ·} _∂ξ^{j =}

₁ ^· _∂w~

₌

_{· b~ej +}

∂w~

_{· b~ei −}

∂w~

_∂w~ ^ё

_·

_{. (2.72)}

2 ∂ξⁱ

∂ξ^j

∂ξⁱ

∂ξ^j

Формулы (2.72) верны при любом выборе криволинейных лагран- жевых координат ξ¹, ξ², ξ³. Заметим, что в выражении (2.72) для ком- понент ε_ij входят только первые производные вектора перемещения

_{w~ по координатам ξ}¹_{, ξ}²_{, ξ}³_{, которые характеризуют относительные}

смещения точек сплошной среды.

Ковариантное дифференцирование компонент тензоров и векто- ров и его свойства.

Обычные производные от компонент не определяют изменения самого вектора, так как при переходе от одной точки пространства к другой, вообще говоря, меняются векторы базиса и привычная фор- мула

_{∂w~ ∂ k}

_∂w^k

_∂x^{i =} _∂x^{i (w ~ek ) =}

_∂x^{i ~ek}

верна только в декартовой системе координат, так как базисные век- торы ~e₁ = ^~i, ~e₂ = ^~j, ~e₃ = ^~k не изменяются от точки к точке. В криволинейной же системе координат возможна ситуация, в которой производные от компонент постоянного вектора не будут равняться нулю.

В произвольной криволинейной системе координат η¹, η², η³ век- торы базиса ~e_i переменны, и поэтому нужно написать

_∂w~

_∂η^{i =}

_∂w^k

_∂η^{i ~ek + w}

_k ^∂~ek

_∂ηi . (2.73)

Очевидно, по определению можно принять, что производная ∂~e_k /∂ηⁱ также представляет собой вектор, характеризующий свойства криво- линейной системы координат. Разложим этот вектор по базису ~e_j и

^Γ

обозначим компоненты этого разложения символами ^j ki

_{∂~ek j}

^Γ

Величины ^j ki

_∂ηi = Γ_ki~e_j . (2.74)

_{являются функциями координат η}¹_{, η}²_{, η}³ _{и назы-}

ваются символами Кристоффеля или, иначе, коэффициентами связ-

_{ности. На основании (2.74) равенство (2.73) принимает вид}

_∂w~

_∂η^{i =}

_∂w^k _k

_∂η^{i ~ek + w}

ki

Γ^j ~e_j .

Второй член представляет собой сумму по k и j. Поменяем в этой сумме взаимно обозначения индексов суммирования k на j и j на k. Тогда можно написать

_∂w~

_∂wk

j k ^µ _∂wk j k ^¶

∂η^{i =}

_∂ηi ~e_k + w Γ_ji~e_k =

_∂ηi + w Γ_ji

~e_k . (2.75)

_∂wk

Коэффициенты с двумя индексами (i и k) при ~e_k , т.е.

ji

_∂ηⁱ

_{+ w}^j _Γ^k _,

имеют специальное обозначение ∇_iw^k ; они называются ковариант- ными производными контравариантных компонент вектора w~ :

_∂wk

^∇_i^{wk =}

_{Рассмотрим свойства ∇iw}^k _.

ji

∂ηⁱ

_{+ w}^j _Γ^k _{. (2.76)}

_{В декартовой системе координат (η}ⁱ _{= x}ⁱ_{), поскольку ∂~ek /∂x}ⁱ _{= 0,}

^Γ

т.е. ^k ji

= 0, получим

∇_iw^k =

∂w^k

∂ηⁱ

_∂w^k

⁼ _∂x^{i ,}

и ковариантная производная совпадает с обычной производной ком- понент вектора по координате.

Ковариантные производные образуют компоненты тензора. В са- мом деле, пусть ζ ¹, ζ ², ζ ³ новая, а η¹, η², η³ старая системы коор- динат. Тогда

_∂w~

_{∂w~ ∂η}ⁱ

_∂w~

_i k _,

_∂ζ ^{k =} _∂ηⁱ _∂ζ ^{k =} _∂η^{i a·}·

т.е. ∂w~ /∂ηⁱ преобразуются как ковариантные компоненты вектора с помощью матрицы A, с помощью которой преобразуются коорди- наты: ηⁱ = ηⁱ(ζ ¹, ζ ², ζ ³) (старые выражаются через новые) (в формуле (2.14) в разделе 2.4 обозначения были противоположные). Поэтому объект образованный из ∂w~ /∂ηⁱ и векторов контравариантного бази- са ~e ⁱ

∂w~ T = _∂ηi

~e ⁱ

будет инвариантным. Но из (2.75) и (2.76) мы имеем

T = ∇_iw^k~e_k~e ⁱ, (2.77)

т.е. T является тензором второго ранга, смешанными компонентами которого являются ковариантные производные ∇_iw^k .

Заметив, что производные ∂w^k /∂ηⁱ не являются компонентами тензора. Действительно, если под знак производной ∂/∂ηⁱ вместо w^k подставить их выражение в новой системе координат

k

_{wk = w0j ∂η}

_∂ζ ^{j ,}

то по ηⁱ нужно будет дифференцировать не только w^0j , но и ∂η^k /∂ζ ^j , и мы не получим тензорного закона преобразования для ∂w^k /∂ηⁱ.

Из определения ковариантной производной очевидно, что кова- риантные производные от скаляра ϕ совпадают с обычными произ- водными

_∂ϕ

^{∇iϕ =} _∂ηⁱ

и определяют вектор, который является вектором-градиентом ска- лярного поля ϕ.

Аналогично можно определить ковариантную производную кон- травариантных компонент тензора. Покажем, как это делается на примере тензора второго ранга H = H ^jk~e_j~e_k . Проведем вычисления следующим образом:

_∂H

_∂η^{i =}

_∂H ^jk

_∂η^{i ~ej~ek + H}

_{jk ∂~ej}

_∂η^{i ~ek + H}

^jk_~e ^∂~ek ₌

^{j ∂ηi}

_∂H ^jk

₌

_{~ej~ek + H} jk _Γl _{~el~ek + H} jk_{~ej Γ}l _{~el .}

_∂η^{i ji ki}

Во второй сумме (каждое слагаемое представляет собой сумму по повторяющимся индексам) поменяем местами обозначения индексов суммирования l и j, а в третьей l и k, после чего получим

_∂H

_∂η^{i =}

^µ _∂H ^jk

_∂η^{i + H}

li

^lk Γ^j + H

¶

^Γ

jl k li

~e_j~e_k = ∇_iH

^jk~e_j~e_k ,

где, по определению, величина

_∂H ^jk

^∇i

_H ^jk ₌

^∂ηi

li

+ H ^lk Γ^j

li

_{+ H} jl _Γk

(2.78)

называется ковариантной производной контравариантных компонент тензора второго ранга H .

Легко видеть, что для тензора второго ранга H можно ввести тензоры третьего ранга по формулам

_или

T₁ =

_{∂H i}

_∂η^{i ~e}

= ∇_iH

^jk~e_j~e_k~e ⁱ,

или

T₂ = ∇_iH ^jk~e ⁱ~e_j~e_k ,

T₃ = ∇_iH ^jk~e_j~e ⁱ~e_k ,

_{которые, вообще говоря, будут различны.}

Также строится ковариантная производная контравариантных ком- понент тензора любого ранга.

Из определения ковариантной производной (ее линейности по ком- понентам вектора) следует, что ковариантная производная от суммы контравариантных компонент равна сумме ковариантных производ- ных:

∇_i(v^k + w^k ) = ∇_iv^k + ∇_iw^k .

Правило дифференцирования произведений в ковариантном смыс- ле совпадает с правилом дифференцирования произведений в обыч- ном смысле. Покажем это на примере вычисления ∇_i(v^j w^k ). Вспом- ним, что произведения v^j w^k представляют собой компоненты тензора второго ранга и используем правило (2.78) ковариантного дифферен- цирования контравариантных компонент тензора. Получим:

_{∂(vj wk )}

^∇_i^{(vj wk ) =}

li

^µ _∂vj

∂ηⁱ

^¶

_{+ v}^l _w^k _Γ^j

li

^µ _∂wk

_{+ v}^j _w^l _Γ^k ₌

li

li

¶

⁼ ∂ηⁱ

_{+ v}^l _Γ^j

_w^k _{+ v}^j

∂ηⁱ

_{+ w}^l _Γ^k ₌

= (∇_iv^j )w^k + v^j (∇_iw^k ), (2.79)

что и доказывает требуемое утверждение. Аналогично доказывают- ся правила ковариантного дифференцирования произведения любого числа сомножителей.

_{Если вектор задан не контравариантными, а ковариантными ком-}

_{понентами w~}

_{= wj~e} ^j _{, то, как можно показать, ковариантная произ-}

_{водная ковариантных компонент вектора имеет вид:}

_∂wj k

^∇_i^w_j ⁼

_∂η^{i − wk Γji. (2.80)}

Аналогично можно ввести ковариантную производную от кова- риантных компонент любого тензора.

Заметим, что ∇_iw_j являются ковариантными, а ∇_iw^j смешан- ными компонентами одного и того же тензора второго ранга

_∂w~

^{T =} _∂ηⁱ

^{~e i = ∇}_i^w_j^{~e j~e i = ∇}_i^wj~e_j^{~e i.}

Отсюда следует, что компоненты метрического тензора g_ij и g^ij , несмотря на то, что они зависят от η¹, η² , η³, должны вести себя по отношению к ковариантному дифференцированию как постоянные величины. Другими словами, их можно вносить и выносить за знак

∇_i, не меняя результата.

Действительно, между ∇_iw^j и ∇_iw_k , как между различными ком-

понентами одного и того же тензора, существует связь:

∇_iw^j = g^jk ∇_iw_k , (2.81)

но

и, следовательно, т.е. ∇_ig^jk = 0.

w^j = g^jk w_k , (2.82)

∇_i(g^jk w_k ) = g^jk ∇_iw_k ,

^{Аналогично получится, что}

∇_ig_jk = 0,

если вместо (2.81) взять ∇_iw_k = g_kj ∇_iw^j , а вместо (2.82) w_k = g_kj w^j .

_{Свойства символов Кристоффеля.}

Символы Кристоффеля не являются компонентами какого-либо тензора. Это следует из того, что в одном и том же пространстве они в декартовой системе координат равны нулю, а в криволинейной отличны от нуля.

В евклидовом пространстве символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам:

_{Γi i}

_kj ^{= Γ}_jk ^.

Это следует из существования в евклидовом пространстве радиуса- вектора ~r(η¹, η², η³) и того, что ~e_j = ∂~r/∂η^j , откуда

_∂~ej

_∂2~r

_∂2~r

_∂~ek

_{и, значит,}

∂η^{k =} ∂η^k ∂η^{j =} ∂η^j ∂η^{k =} ∂η^{j , (2.83)}

_{Γi i}

_jk^~ei ^{= Γ}_kj^~ei^.

Символы Кристоффеля вычисляются по компонентам метриче- ского тензора g по формулам:

is

^∂g_jk

₁ ^µ _∂gjs

_Γi

_∂gks

^¶

_{. (2.84)}

^{jk = 2 g}

^{∂ηk +}

^{∂ηj −}

^∂ηs

Выражение тензора деформаций через компоненты вектора пе- ремещения.

_{Вернемся теперь к формулам (2.72)}

_{1 g◦}

₁ ^·_◦

_∂w~

_{◦ ∂w~}

_∂w~

_∂w~ ^ё

^{εij =} ₂ ^{(gˆij −}

^{ij ) =} ₂

^{~ei ·} _∂ξ^{j + ~ej ·} _∂ξ^{i +} _∂ξ^{i ·} _∂ξ^{j =}

₁ ^· _∂w~

₌

_{· b~ej +}

∂w~

_{· b~ei −}

∂w~

_∂w~ ^ё

_·

2 ∂ξⁱ

∂ξ^j

∂ξⁱ

∂ξ^j

и выведем формулы, выражающие компоненты тензора деформа- ций через компоненты вектора перемещения. Вектор перемещения w~

^b_i ^e_i

_{можно представить как в актуальном ~e , так и в начальном ~}◦ _бази-

w^k

се, и, соответственно, ввести два сорта компонент одного и того же вектора w~ , а именно wˆ^k и ◦ :

◦ _◦

^{w~ = wˆkb~e}_k ^=wk~e_k ^.

_{Можно ввести и два сорта ковариантных производных:}

^◦

_∂w~

_◦ k _◦

_∂ξ^{j =∇iw ~ek (2.85)}

и

_∂w~

∂ξ^{j = ˆ b}

^◦

∇_iwˆ^k~e_k . (2.86)

_{Первая из ковариантных производных вычисляется в начальном}

ij

_{пространстве, и в ней символы Кристоффеля вычисляются по g}^◦ _{, а}

^◦

вторая в актуальном пространстве, и в ней символы Кристоффе- ля вычисляются по gˆ_ij . Подставим (2.85) в первое равенство (2.72), получим

k

^◦

_{1 ◦} ^◦ _g◦

_{◦ k g◦}

_{◦ k ◦}

_{l g◦}

^{εij =} ₂ ^{[(∇iw )}

_kj ⁺⁽∇_j ^{w )}

_ki ⁺⁽∇_i^w

^· ∇_j ^{w )}

_kl ^].

Используя свойство метрического тензора, что его компоненты можно, не меняя результата, вводить под знак ковариантной произ- водной, будем иметь

^◦

_{1 ◦ w◦}

_{+ ◦ w◦}

_{+ ◦ w◦}

_{· ◦ wk ]. (2.87)}

^{εij =} ₂ ^{[∇i j}

∇_{j i}

∇_{i k} ∇_j

Аналогично с помощью (2.86) и второго равенство (2.72) можно получить

1

^∇i j

∇j i

∇i k

∇j _ˆk

^{εij = 2 [ ˆ wˆ + ˆ}

wˆ − ^ˆ wˆ

· ^ˆ w

]. (2.88)

_{В случае бесконечно малых относительных перемещений после}

отбрасывания квадратичных по w~

членов получим

_{1 ◦ w◦}

_{+ ◦ w◦ ) = 1 ( ˆ wˆ + ˆ}

_{wˆ ). (2.89)}

^{εij =} ₂ ^{(∇i j}

∇_{j i}

₂ ^{∇i j}

^∇_{j i}

Очевидно, что ε_ij совпадают с компонентами симметризованного тензора ∇_iw_j~e ⁱ~e ^j .

_{В декартовой системе координат}

₁ ^µ _∂wj

_∂wi ^¶

ε_ij = ₂

∂x^{i +} ∂x^j

. (2.90)

Подчеркнем, что формулы (2.72) и (2.87) для компонент тензора деформаций справедливы только тогда, когда можно ввести вектор

_{перемещения w~}

_{для всех точек движущейся среды, тогда как тен-}

_{зор деформаций и его компоненты определяются по метрикам ds}²

0

_{и ds}²

_{по формулам (2.53) и (2.68) независимо от предположения о}

существовании вектора перемещения.

2.6 Тензор скоростей деформаций 59

2.6. Тензор скоростей деформаций

_{Определение тензора скоростей деформаций.}

_{Тензор деформаций}

₁

^{εij =} ₂ ^{(gˆij −}

^◦

^g_ij ) (2.91)

_{вводится в связи с двумя состояниями сплошной среды: рассматри-}

ваемым состоянием

_g◦

gˆ_ij и, вообще говоря, начальным состоянием

_g◦

_{ij . Если начальное состояние}

_{ij реализуется в действительности,}

_{то существует вектор перемещения w~}

_{всех точек сплошной среды из}

начального состояния, достигаемого в момент времени t₀ в рассмат- риваемое состояние в момент t. Можно рассмотреть еще состояние

^gˆ

_{среды, описываемое компонентами метрического тензора} ⁰

_ij

_{в мо-}

мент t + ∆t, близкий к моменту t. Тогда можно ввести компоненты тензора деформаций по отношению к состояниям среды в моменты t и t + ∆t. Обозначив эти компоненты через ∆ε_ij , будем иметь

₁

ij

^{∆εij =} ₂ ^(gˆ0

_{1 p}

^{− gˆij ) =} ₂ ^{(∇iwj + ∇j wi + ∇iw}

· ∇_j w_p], (2.92)

где w~ = w_i^b~e ⁱ, а ковариантные производные вычисляются в начальном пространстве gˆ_ij . Формула (2.92) справедлива потому, что существует перемещение w~ из состояния в момент t в состояние в момент t + ∆t. Очевидно, что

^{w~ = ~v∆t = v}_i^{b~e i∆t,}

т.е. w_i = v_i∆t имеет порядок ∆t и является бесконечно малым пере- мещением, если ∆t мало. Поэтому

_lim

^∆t→0

∆ε_ij

∆t

¹

= ₂ (∇_iv_j + ∇_j v_i) = e_ij . (2.93)

Величины e_ij являются компонентами симметричного тензора, который называется тензором скоростей деформаций. Если поле ско- ростей ~v известно, то компоненты e_ij можно вычислить по формулам

₁

(2.93). Очевидно, что формулы e_ij =

вид в любой подвижной

₂ ^{(∇ivj + ∇j vi) сохраняют свой}

системе координат при уче-

криволинейной

те того, что вектор ~v определен с помощью системы наблюдателя и сопутствующей системы.

Связь компонент тензоров деформаций и скоростей деформа- ций.

Из (2.92) видно, что для компонент тензора скоростей деформа- ций верна формула

_{eˆ =} ^{1 gˆij} _{, (2.94)}

^ij _{2 dt}

_{справедливая в сопутствующей системе координат.}

ij

_{Из (2.93) с помощью (2.91), если начальное состояние g}^◦

_{не зави-}

сит от времени t, следуют формулы, связывающие компоненты тензо- ров деформаций и скоростей деформаций в сопутствующей системе координат:

eˆ_ij =

^εˆij _{. (2.95)}

_dt

_{Подчеркнем еще раз, что равенство (2.95) верно только тогда,}

ij

_когда g^◦

_{всегда.}

= const по времени, а равенство (2.94) по определению верно

Тензоры деформаций и скоростей деформаций являются разны- ми тензорами, но e_ij ∆t являются компонентами тензора бесконечно малых деформаций, соответствующего перемещению за время ∆t, т.е.

e_ij ∆t = ε_ij . (2.96) Заметим, что тензор деформаций E вводится в результате сравне-

ния двух состояний сплошной среды, а тензор скоростей деформаций является характеристикой данного состояния в данный момент вре- мени.

Аналогично тензору скоростей деформаций можно ввести другие тензоры, компоненты которых являются производными от ε_ij по t более высоких порядков. Можно рассмотреть также тензоры, компо- ненты которых являются производными от ε_ij по пространственным

^{координатам, например тензор ∇}_k ^ε_ij^{~e k~e i~e j .}

2.7 Формула дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему 61

2.7. Формула дифференцирования по времени интеграла, взятого по подвижному объему

Пусть имеется произвольная функция f (она может быть и тензо- ром), зависящая от координат точек пространства и времени t. Рас- смотрим интеграл

^{Z Z Z}

f (x, y, z, t) dτ (2.97)

V

по подвижному объему V . Вычислим производную

_d ^{Z Z Z}

dt

V

f (x, y, z, t) dτ, (2.98)

где не только подынтегральная функция f , но и область интегриро- вания V зависят от t.

Рис. 1.2.7. Дифференцирование по времени интегра- ла, взятого по подвижному объему.

_{По определению производной (рис. 1.2.7), обозначив V} ⁰ _{= V (t +}

∆t), можно записать

_d ^{Z Z Z}

dt

V (t)

f (x, y, z, t) dτ =

_{= lim}

^RRR

V (t+∆t)

_{f (x, y, z, t + ∆t) dτ −} ^RRR _{f (x, y, z, t) dτ}

_{V (t)}

₌

^∆t→0 ∆t

^RRR _{[f (x, y, z, t + ∆t) − f (x, y, z, t)] dτ +} ^RRR _{f (x, y, z, t + ∆t) dτ}

_V

= lim

^∆t→0

Z Z Z

∆t

_{∂f (x, y, z, t)}

^V 0 ^\V ₌

ZZ

⁼ _∂t ^{dτ + ⊂⊃ f vn dσ, (2.99)}

V Σ

_{так как объем V (t + ∆t)\V (t) состоит из элементарных цилиндров}

_{(см. рис. 1.2.7)}

dτ = v_ndσ∆t

_{а при ∆t → 0 поверхность Σ}⁰_{, ограничивающая объем V} ⁰ _{= V (t + ∆t)}

стягивается к Σ, а

_{f (x, y, z, t + ∆t) → f (x, y, z, t).}

так как подынтегральная функция есть непрерывно дифференциру- емая функция времени.

Применив к последнему интегралу (2.7) формулу Гаусса-Остро- градского, получим

_d ^{Z Z Z}

dt

V

f (x, y, z, t) dτ =

Z Z Z

V

^· _∂f

∂t

^ё

+ ∇_i(f vⁱ)

dτ. (2.100)

Область интегрирования V подвижна, и, естественно, результат дифференцирования зависит от поля скоростей ~v, с которыми дви- жутся точки объема V .

_{Очевидно, всегда верно кинематическое равенство}

_где

_{∂f ∂f}

^∇i

_{+ (f v}ⁱ_{) =}

^{∂t ∂t}

+ vⁱ∇_if + f ∇_ivⁱ =

^∇i

_{+ f v}ⁱ_{, (2.101)}

^dt

^df

_{df ∂f}

₌

^{dt ∂t}

+ vⁱ∇_if (2.102)

есть выражение полной производной от функции f по времени t в произвольной системе координат.

_{Поэтому формулу (2.100) можно записать еще в виде}

_d ^{Z Z Z}

dt

V

f (x, y, z, t) dτ =

^{Z Z Z}

V

^· _df

dt

^ё

+ f ∇_ivⁱ

dτ. (2.103)

Применим формулу (2.100) к частному случаю. Пусть

₁

f = , V

где V = V (t) некоторый объем сплошной среды. Очевидно, что в этом случае функция f зависит от переменного объема V области интегрирования (2.97), т.е. она зависит от t и не зависит от координат. Ясно, что всегда верно кинематическое тождество

^{Z Z Z}

V

_dτ

_{= 1}

^{V (t)}

Формула дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему 63

(так как ^RRR dτ = V (t)) и из (2.100) получим

V

или

Z Z Z

V

₁

^{h ∂} _V

∂t

^µ ₁

^{+ ∇i} _V

₁

ⁱ

¶

vⁱ dτ = 0 (2.104)

^{Z Z Z}

_V

^{h d} _V

dt

₊ ¹ _{div ~v}ⁱ _{dτ = 0. (2.105)}

^V

Это тождество может быть записано как для всего объема V дви- жущейся среды, так и для любой его части.

Применяя (2.105) к бесконечно малому объему ∆V , получим

₁

⁺

^d _∆V ¹

dt ∆V

div ~v = 0, (2.106)

где div ~v взята в той точке, к которой стягивается ∆V . Подчеркнем, что это равенство верно для любых сред и никак не связано со свой- ствами движущейся среды. В частности, оно верно и для нематери- альных сред, например для пространства параметров.