Симметрия – основное свойство кристаллов.

Симметрия “правит” миром кристаллов. Это наиболее общая закономерность, присущая строению и свойствам кристаллического вещества. Именно симметрия определяет законы расположения структурных элементов в пространственной решетке, взаимное расположение граней макроскопического кристалла, диктует, по каким направлениям и какие физические свойства могут быть в кристалле. Именно знание элементов симметрии кристалла позволяет выявить в нем специфические кристаллографические направления, вдоль которых наблюдаются максимальные значения физических свойств (прочности, теплопроводности, электропроводности и т.д.). Прогнозирование свойств кристаллов, областей применения позволяет осуществить их симметрия. Поэтому симметрия является наиболее общим свойством кристаллического тела, а ее исследование – одной из важнейших задач кристаллографии. Свойство симметрии является проявлением общих фундаментальных законов природы.

В переводе с греческого симметрия означает соразмерность, симметрией называют своеобразную закономерность, которая наблюдается в расположении предметов или их частей на плоскости или в пространстве; иными словами симметрия – способность кристалла закономерно повторять свои части в пространстве. Следовательно, симметричная фигура состоит из равных, правильно повторяющихся частей и может совмещаться сама с собой в результате симметричных преобразований. Операции, или преобразования симметрии – это отражения, вращения, переносы, приводящие фигуру к самосовмещению. Геометрические образцы (точки, прямые плоскости), характеризующие отдельные симметричные преобразования, называются элементами симметрии.

Симметрические преобразования можно разделить на два типа: 1) конечные, или точечные, при которых хотя бы одна точка фигуры остается на месте, и 2) бесконечные, или пространственные, при которых не остается на месте ни одна точка фигуры. Конечные симметрические преобразования соответствуют симметрии идеальных кристаллических многогранников, бесконечные – симметрии структур.

Для обозначения симметричных преобразований и соответствующих им элементов симметрии в кристаллографии пользуются условными символами. В табл. 1 приведены две наиболее распространенных системы обозначений: 1) международная символика и 2) символика, основанная на формулах симметрии.

Элементы симметрии и симметричные преобразования. Простые и сложные элементы симметрии..

Как уже отмечалось, форма кристаллов является следствием их трехмерно-периодического атомного строения. Поэтому симметрия внешней формы кристаллических многогранников определяет в конечном счете и симметрию их физических свойств. Симметричность любой фигуры, в том числе и многогранника, выявляется с помощью элементов симметрии. В кристаллических многогранников присутствуют следующие элементы симметрии: центр симметрии, оси симметрии и плоскости симметрии.

Центр симметрии (С или 1)

Центр симметрии называется точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через эту точку прямая по обе стороны от нее на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. В кристаллах, имеющих центр симметрии, противоположные грани попарно равны и параллельны (рис. 23, б), т.е. такие кристаллы сложены из параллельных граней, одинаковых по размером и форме и развернутых друг относительно друга на 180⁰. Чтобы убедиться в наличии центра инверсии, нужно положить кристалл или его модель на стол; если при любых положениях кристалла сверху оказывается грань равная и параллельная (обратно параллельная), то центр симметрии присутствует. Если хотя бы для одной грани не найдена соответствующая ей грань, то центр симметрии отсутствует (рис. 23, а).

Плоскость симметрии (Р или m)

Плоскость симметрии называется воображаемая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное отражение. Плоскости симметрии проходят либо вдоль ребра кристалла, образуя при этом равные углы с обеими гранями, либо через биссектрису угла между пересекающимися ребрами кристалла, либо перпендикулярно одной из граней кристалла, разделяя ее на две зеркально равные части. На рис. 24 показаны плоскости симметрии в кристаллическом многограннике.

Оси симметрии (L_n или n)

Осью симметрии называется такая воображаемая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол фигура смаосовмещается. Порядок оси симметрии n определяет количество самосовмещений фигуры при ее повороте на 360⁰. Угол поворота, при котором происходит самаосовмещение, называется элементарным углом поворота α. Порядок оси симметрии однозначно связан с элементарным углом поворота, выраженным в градусах, соотношением n = 360⁰ / α

В кристаллических многогранниках присутствуют лишь оси симметрии первого, второго, четвертого и шестого порядков. Элементарный угол поворота для этих осей составляет 360, 180, 120, 90 и 60⁰ соответственно. Так как в кристаллах можно провести бесчисленное множество осей симметрии первого порядка (фигура произвольной формы, будучи повернутой вокруг произвольной оси на 360⁰, обязательно самосовместится), то эти оси в кристаллах не определяются.

В кристаллах отсутствуют оси симметрии 5-го и выше шестого порядка, что обусловлено закономерным внутренним строением кристаллов. При наличии, предположим, в кристаллах осей симметрии 5-го, 7-го и 8-го порядков, материальные частицы должны были бы располагаться в вершинах правильных пяти-, семи- или восьми- угольников. При таком расположении узлов плоская сетка не может быть построена без просветов (рис. 25). Наличие таких просветов создавало бы возможность перемещения частиц, т.е. привело бы к неустойчивости структуры. В то же время правильные треугольники и шестиугольники, а также квадраты и прямоугольники это позволяют (рис. 25). Оси симметрии проходят через середины граней и ребер, а также через середину грани и ребра или вершину, через вершины. На рис. 26 приведены примеры проведения осей симметрии в кристаллическом многограннике.

Инверсионные оси (L_n или n)

Инверсионной осью симметрии называется такая прямая, при повороте вокруг которого на некоторый угол с последующим отражением в центральной точке фигуры – центре инверсии, как в центре симметрии, фигура самосовмещается. Центр инверсии, участвующий в качестве составной части инверсионной оси, может и не является самостоятельным элементом симметрии.

В кристаллах существуют инверсионные оси 1, 2, 3, 4 и 6-го порядков; инверсионных осей 5 и выше 6 порядка в кристаллах не существует.

Инверсионная ось 1 эквивалентна центру симметрии, а инверсионная ось 2 эквивалентна плоскости симметрии, поэтому в кристаллах определяют инверсионные оси 3, 4 и 6. Необходимо отметить, что ось 3 совпадает с простой поворотной осью симметрии третьего порядка при наличии в кристаллическом многограннике центра симметрии; самостоятельного значения ось 3 не имеет. Вследствие этого характерными элементами симметрии для кристаллов является инверсионные оси 4-го и 6-го порядков (рис. 27).

Четверная инверсионная ось совпадает с простой двойной осью симметрии при отсутствии центра симметрии. Например, в тетрагональном тетраэдре (рис. 27, б), состоящем из четырех одинаковых граней в форме равнобедренных треугольников, оси LL является осью второго порядка. При повороте вокруг нее на 180⁰ многогранник самосовмещается, а грань ABD переходит на место грани ВАГ. В то же время, если грань ABD повернуть на 90⁰ вокруг оси LL, то она займет положение A₁B₁D₁. При отражении в центральной точки фигуры грань совместится с положением грани DEB (при этом точка A₁ совместится с D_{1 ,} В₁ – с E и D₁ – с B). Повторив такую же операцию со всеми гранями тетраэдра, убедимся, что он самосовмещается. При повороте тетраэдра на 360⁰ получим четыре таких совмещения. Следовательно, ось LL – инверсионная ось четвертого порядка, являющаяся одновременно и осью L₂.

Действие инверсионной оси шестого порядка аналогично действию оси симметрии третьего порядка и перпендикулярной ей плоскости симметрии. Например, в тригональной призме (рис. 27, а) прямая LL является осью L₃, перпендикулярно ей приходит плоскость симметрии. Одновременно LL является инверсионной осью шестого порядка. Так, при повороте вокруг оси на 60⁰ и последующего отражения в центральной точке фигура самосовмещается.

Рассмотрим эти совмещения на примере ребра AB. Поворот ребра на 60⁰ вокруг оси LL приводит его в положение A₁B₁, отражение ребра в центре инверсии совмещает его с ребрами EH. Проделав аналогичную операцию с другими ребрами, увидим, что призма самосовместиться. Таким образом, ось LL представляет собой шестерную инверсионную ось.

Резюмируя все вышесказанное, можно записать: L₁ = C; L₂ = P; L₃ = L₃ · C; L₄ = L₂; L₆ = L₃ + P.

Таким образом, все симметричные преобразования, характерные для кристаллических многогранников, подразделяются на простые и сложные. К простым симметрическим преобразованиям, выполняемым за одну операцию, относятся поворот, отражение в плоскости, отражение в центральной точке фигуры. Сложным симметрическим преобразованиям соответствуют инверсионные оси симметрии, эти преобразования выполняют за две операции: поворот + отражение в центре инверсии.

Число всевозможных сочетаний элементов симметрии строго ограничено. Максимально возможное число элементов симметрии, содержащихся в кристаллических многогранниках, приведено ниже:

Плоскостей симметрии . .. . . . . . 9

Осей симметрии:

второго порядка . . . . . . . . . . . 6

третьего порядка . . . . . . . . . . . 4

четвертого порядка . . . . . . . . . 3

шестого порядка . . . . . . . . . . . 1

Инверсионных осей симметрии:

третьего порядка . . . . . . . . . . . 4

четвертого порядка . . . . . . . . . 3

шестого порядка . . . . . . . . . . . 1

Вполне понятно, что в одном кристаллическом многограннике не могут присутствовать одновременно все указанные элементы симметрии.