Розв’язання. Шуканий об’єм обчислюється за формулою . В нашому випадку

10.26. Чисті інвестиції задані функцією Визначити:

а) приріст капіталу за три роки;

б) через скільки років приріст капіталу буде складати 50000.

Розв’язання.

а) За формулою для обчислення на проміжку часу від t₁=0, до t₂=3:

б) Позначимо шуканий проміжок часу через Т, тоді

Підставимо =50000 і :

;

; ; (рок.).

10.27. Припустимо, що річний дохід D = f(t) – це функція часу t, і – норма відсотку, відсотки нараховуються неперервно. Знайти дисконтований обсяг доходу, отриманого за 10 років, якщо f(t)= a, де а – 100 тис. грошових одиниць, і – 5% (0,05).

Розв'язання. На відрізку часу дисконтований дохід буде мати вигляд

Відповідь: дисконтований обсяг доходу за 10 років дорівнює ~ 800 тис. грошових одиниць.

10.28. Знайти середнє значення витрат K(x)=3x²+4x+1, виражених у грошових одиницях, якщо об’єм продукції х змінюється від 0 до 3 одиниць. Вказати об’єм продукції, при якому витрати приймають середнє значення.

Розв’язання. Скористаємося п. ІV. 4. Згідно з теоремою про середнє значення

.

В нашому випадку

тобто середнє значення витрат дорівнює 16.

Визначимо, при якому об’ємі продукції витрати приймають це значення, тобто розв’яжемо рівняння

3x²+4x+1=16 або 3x²+4x–15=0.

Ураховуючи, що об’єм продукції не може бути від’ємним, з останнього рівняння маємо (одиниць продукції).

10.29. Виробництво деякого обладнання характеризується темпом зростання його випуску

,

де – приріст випуску цього устаткування за проміжок часу , 1/у – рівень його виробництва за одиницю часу на момент часу t. Знайти загальну кількість устаткування, зробленого до моменту часу t, припускаючи, що К – відома постійна величина, одиницею часу є рік, а в початковий момент часу t = 0 рівень щорічного виробництва устаткування складав у₀.

Розв'язання. Перейдемо до границі при , припускаючи, що вона існує. Будемо також важати, що у є неперервною функцією від часу t. Відповідно до визначення похідної функції

Інтегруючи цю рівність у межах від 0 до t, одержуємо

, або ,

звідки .

Сумарна кількість устаткування, випущеного за проміжок часу t, дається визначеним інтегралом

Наприклад, при К = 0,05 (5% щорічного темпу росту) загальна кількість устаткування, випущеного за 10 років, складе

,

причому рівень виробництва за зазначений період часу збільшиться майже на 65%.

10.30. Встановити, при яких значеннях α інтеграл є збіжним, а при яких – розбіжним.

Розв’язання. Припустимо, що α≠1. Тоді

Отже, якщо α>1, то

тобто даний інтеграл збігається; якщо α<1, то

тобто інтеграл розбігається. При α=1 маємо

тобто даний інтеграл розбігається.

10.31. Обчислити де D={(x,y) : 1£x£2 ; 1£y£2}.

Розв’язання. Зобразимо область D:

Тоді

10.32. Обчислити де D={(x,y) : 0£x£4; 1£y£e}.

Розв’язання. Зобразимо область D:

10.33. Обчислити якщо область D обмежена прямими

y=x, y=2x, x=3.

Розв’язання. Побудуємо область D:

Область є правильною у напрямі осі Оy. Тоді

10.34. Обчислити де область D обмежена прямою y=x-4 і параболою y²=2x.

Розв’язання. Побудуємо область D:

Область є правильною у напрямі осі Ох. Знайдемо точки перетину параболи і прямої:

10.35. Змінити порядок інтегрування в інтегралі:

Розв’язання. Рівняння ліній, що обмежують область інтегрування: Побудуємо ці лінії і область D.

Зафіксуємо у. Знайдемо межі внутрішнього інтеграла, розв’язуючи рівняння параболи відносно х:

Межі зовнішнього інтеграла знайдемо як найменше і найбільше значення у в області D: y_найм.=0, у_найб.=4. Маємо:

10.36. Змінити порядок інтегрування в інтегралі

Розв’язання. Рівняння ліній, що обмежують область інтегрування: x=0, x=1, y=x²-1, y= . Побудуємо ці лінії і область D:

Зафіксуємо y. З рисунку видно, що ліва частина контуру області – одна лінія, а саме x=0. Права частина утворена з двох ліній, що задаються різними рівняннями:

y=x²-1, y= .

Тому слід розбити область D на дві частини D₁ і D₂ так, щоб кожна з них справа була обмежена лінією, що визначається єдиним аналітичним виразом. Тоді x=0, - рівняння входу і виходу для області D₁, а x=0, - рівняння ліній входу і виходу для області D_2. Маємо

.

Зауваження. Якщо область D не є правильною ні в напрямі осі ОХ, ні в напрямі осі ОY, при обчисленні подвійного інтеграла по цій області ії слід розбити на частини, кожна з яких є правильною в деякому напрямі. Шуканий подвійний інтеграл обчислюють, додаючи результати інтегрування по правильних областях.

10.37. Обчислити об’єм тіла, що обмежене параболоїдом обертання та площинами x=z, y=1, x=0, y=0, z=0.

Розв’язання. Зобразимо дане тіло:

Тут - рівняння верхньої поверхні; область інтегрування D - прямокутник. Тоді маємо:

10.38. Знайти середнє значення витрат f(х)= 3х² + 4х + 2, виражених в грошових одиницях, якщо об'єм продукції х змінюється від 0 до 3 одиниць. Вказати об'єм продукції, при якому витрати набувають середнього значення.

Розв’язання.

Обчислимо середні витрати за формулою

f(c)= .

Тоді

f(c)= .

Знайдемо об'єм продукції, при якому f(х) набуває середнього значення.

3x² + 4x + 2 = 17 x₁ = 5 / 3, x₂ = - 3.

10.39. Визначити об'єм продукції, що зроблено працівником за п'яту годину робочого дня, якщо продуктивність характеризується функцією:

f(t)=

Розв’язання.

V=
Відповідь: за п’яту годину робочого дня працівник зробить 5 одиниць продукції.

10.40. Нехай f(t)= 20 + 2t (тон/у годину) – функція продуктивності праці шахтаря. Знайти функцію, яка характеризує кількість вугілля, що здобувається шахтарем за час t. Скільки вугілля добуде шахтар за три години роботи? Розрахуйте продуктивність праці в кінці третьої години роботи.

Розв’язання.

Знайдемо функцію, що характеризує кількість вугілля, що здобувається, за час t

V(t)=

Обчислимо кількість вугілля, що здобувається за три години праці

V(3)=

Визначимо продуктивність праці, що досягається к третій годині праці

f(3)= 20 + 2·3 = 26

Відповідь: функція, яка характеризує кількість вугілля, що добувається за час t має вигляд: V(t) = 20t + t²; за три години праці шахтар добуде 69 тон вугілля; продуктивність праці в конці третьої години праці, буде дорівнювати 26 тон/у годину.

10.41. Міська площа має форму еліпса, велика вісь якого 120 м, а мала – 100 м. Визначити сумарні витрати на асфальтування площі, якщо вартість асфальтування 1 м² складає 20 гр. од.

Розв’язання.

Для обчислення площі складемо рівняння еліпса

Обчислимо четверту частину загальної площі

= 750 π

Отже, сумарні витрати на асфальтування площі складуть P_заг = 750 π •4•20 188 495 гр.од.