1.3. Формула Ньютона-Лейбниця.

Нехай ― первісна для функції на відрізку , тобто = для . Тоді

= - = │ .

1.4. Методи обчислення визначеного інтеграла.

При обчисленні визначеного інтеграла (за допомогою формули Ньютона-Лейбніца) використовують ті ж методи, що і для невизначеного інтеграла. Розглянемо основні з них.

1) Метод заміни змінної. Нехай виконуються умови :

а)функція є неперервною на ; б)функція та ії похідна є неперервними на відрізку , причому ; в) є монотонною на . Тоді

= .

Звертаємо увагу на те, що при переході до нової змінної у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування.

2) Метод інтегрування частинами. Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла має вигляд:

2. Геометричні застосування визначених інтегралів.

2.1 Обчислення площин плоских фігур.

Площа S криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком неперервної і невідємної функції y=f(x), заданої на а; b, знизу – відрізком а; b, з боків-вертикальними прямими х = а та х = b (мал.1), обчислюється за формулою:

                           

Мал.1.

У загальному випадку, коли фігура обмежена зверху кривою

знизу кривою з боків – прямими х = а, х = b (див.мал.2), її площа обчислюється за формулою

                             (1)

2.2 Обчислення довжин дуг кривих.

Довжина дуги кривої у = f (x) обчислюється за формулою

                          (2)

2. Економічні застосування визначених інтегралів.

Нехай V(x) - функція загальних витрат на виробництво х одиниць продукції, - функція маргінальних витрат. Тоді визначений інтеграл

дорівнює зміні загальних витрат при зростанні кількості виробленої продукції від a до b одиниць.

Звідси випливає важливий наслідок:

Зміна виробничих витрат при зростанні виробленої продукції від a до b одиниць дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції маргінальних витрат , відрізком a,b та прямими x=a та x=b.

Аналогічно, якщо та - функції маргінального доходу та прибутку відповідно, то зміни доходу та прибутку при зростанні реалізації виробленої продукції від a до b одиниць обчислюється за формулами

§6. Основні теоретичні відомості до завдання № 8

6.1 Основні поняття й означення.

Означення. Рівняння називається диференціальним відносно деякої функції, якщо воно містить хоча б одну похідну цієї функції.

Означення. Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, що входить в диференціальне рівняння.

Означення. Розв’язком (або інтегралом) диференціального рівняння називається будь-яка дійсна функція , визначена на деякому інтервалі (a; b), яка разом зі своїми похідними перетворює дане диференціальне рівняння у тотожність (при цьому похідні функції припускаються існуючими).

Зверніть увагу на поняття загального та частинного розв’язку рівняння.