Основні питання, що виносяться на практичні заняття за розділом 10:

1. Обчислення невизначених інтегралів за допомогою метода безпосереднього інтегрування.

2. Обчислення інтегралів за допомогою заміни змінної.

3. Інтегрування частинами.

4. Обчислення невизначених інтегралів від функцій, що містять квадратний тричлен.

5. Розкладання правильного дробу на суму найпростіших.

6. Інтегрування раціональних дробів.

7. Інтегрування тригонометричних функцій.

8. Інтегрування ірраціональних функцій.

9. Обчислення визначеного інтеграла за допомогою заміни змінної.

10. Обчислення визначеного інтеграла за допомогою метода інтегрування частинами.

11. Геометричні застосування визначеного інтеграла.

12. Економічні застосування.

13. Невластиві інтеграли

14. Обчислення подвійного інтеграла.

Після опрацювання розділу на практичних заняттях студент повинен

знати: базові поняття і положення інтегрального числення; таблицю невизначених інтегралів; основні методи обчислення невизначених інтегралів, визначених інтегралів, невластивих інтегралів, подвійних інтегралів; основні застосування інтегрального числення при розв’язанні задач економічного змісту.

вміти: обчислювати невизначені інтеграли, визначені інтеграли, невластиві інтеграли, подвійні інтеграли; розв’язувати задачі економічного змісту із застосуванням інтегрального числення.

Рекомендована література:

[1], т. І, с. 268-284, 307.

[3], с. 284-304.

Рекомендації до розв’язання типових прикладів розділу 10

10.1. .

10.2. .

10.3. .

Розв’язання. Оскільки 3х²+6х+4=3(х²+2х+1)-3+4=3(х+1)²+1=3((х+1)²+1/3), при х+1= u одержимо

10.4. .

Розв’язання. Перепишемо даний інтеграл у вигляді .

Оскільки похідна виразу дорівнює 2/х, а другий множник 1/х відрізняється від цієї похідної тільки сталим коефіцієнтом 2, то треба застосувати підстановку =t. Тоді . Отже,

.

10.5. .

Розв’язання. Застосуємо підстановку x⁵=t; тоді 5х⁴dx=dt, x⁴dx=(1/5)dt, звідки

.

10.6. .

Розв’язання. Введемо підстановку , тоді і

.

10.7.

Розв’язання. Покладемо тоді , звідки

.

10.8. .

Розв’язання. Покладемо , тоді , звідки

.

10.9.

Розв’язання. Оскільки х³+1=(х+1)(х²-х+1), шукане розкладання має вигляд

де коефіцієнти А, В, С поки не визначені. Зводячи до спільного знаменника праву частину і порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, одержуємо

З цієї системи рівнянь знаходимо А=3, В=4, С=1. Отже,

Тоді

.

10.10.

Розв’язання.

звідки

або

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, одержуємо рівняння А+В=1, В+С-2А=1, А-2В+2С=1, з яких знаходимо А=1/3, В=2/3, С=1. Отже,

Тоді

10.11. .

Розв’язання.

10.12. .

Розв’язання.

10.13. .

Розв’язання.

Щоб знайти перший інтеграл, застосуємо підстановку

Отже,

10.14. .

Розв’язання.

10.15.

Розв’язання.

.

10.16.

Розв’язання.

Залишається повернутися до аргументу х; застосовуючи для цього формули тригонометрії, одержуємо

Тому

.

10.17.

Розв’язання.

Повертаємося до аргументу х; застосовуючи для цього формули тригонометрії:

Тому

10.18. Обчислити визначені інтеграли:

Розв¢язання.

10.19. Знайти площу фігури, обмеженої даними кривими. В кожному випадку виконати рисунок.

а) у =х², у = х +2

Розв’язання.

Щоб виконати малюнок, побудуємо дані криві та знайдемо абсциси точок перетину кривих, що обмежують фігуру, для цього розв¢яжемо рівняння

х² = х+2 :х²- х – 2 = 0, х₁ = -1, х₂ = 2.

Тоді за формулою (1) маємо:

б)

Розв¢язання. Виконаємо рисунок:

Очевидно, криві та перетинаються при х = 0. Щоб знайти абсцису точки перетину ліній     та     , розв¢яжемо рівняння :

,

звідки х = 4. Для визначення абсциси точки перетину ліній у =-х³ та у = х-2 розв¢язуємо рівняння –х³ = х-2 :

х³+ х -2 = 0; (х³-1)+(х-1) =0; (х-1)(х²+х+2)=0, звідки х = 1.

Через те, що нижня крива задається при різних х різними аналітичними виразами, розіб’ємо фігуру на дві частини вертикальною прямою х=1. Одержуємо:

10.20. Знайти довжину дуги кривої від точки А(1; 2) до точки

В(4; 4).

Розв’язання. Маємо:

10.21. Знайти об’єм тіла, одержаного обертанням навколо осі ОУ фігури, що обмежена кривою х²-4х+у²+3=0. Виконати рисунок.

Р озв¢язання. Перетворимо дане рівняння: (х-2)²+у²=1 , звідси бачимо, що крива є колом з одиничним радіусом та центром у точці (2; 0). Рисунок у даному випадку має вигляд:

Об¢єм тіла обертання знайдемо як різницю об¢ємів тіл обертання двох криволінійних трапецій навколо осі У. Одна з трапецій обмежена лініями х=0, у=-1, у=1, х=g_л(у), друга- лініями х=0, у=-1, у=1,х=g_пр(у), де Тому, керуючись формулою (3), маємо:

Одержаний інтеграл виражає площу півкруга радіуса 1, тому дорівнює  , звідси

10.22. Знайти площу поверхні, одержаної обертанням навколо осі ОХ однієї півхвилі синусоїди

Розв¢язання. Рисунок має вигляд:

Враховуючи симетрію поверхні відносно площини маємо:

Обчислимо одержаний інтеграл окремо. Оскільки

то

Отже,

10.23. Знайти шлях, який пройде тіло за 2 сек. від початку руху, якщо його швидкість

Розв’язання. Застосовуємо формулу (5):

10.24. Функція маргінальних витрат фірми має вигляд . Знайти зростання загальних витрат, коли виробництво зростає з 1000 до 1500 одиниць.

Розв’язання. За формулою зростання загальних витрат буде

Отже, витрати зростуть на 5500 гривень.

10.25. Визначити об’єм продукції, виробленої робітником за другий час робочого дня, якщо продуктивність праці характеризується функцією