Розв’язання.

Знайдемо значення x і у, при яких витрати підприємства будуть найменшими

; ; ,

; ; .

9.11. У приведеній нижче таблиці є дані про випуск хутряної продукції на фабриці за 7 років. Знайти параметри функції у= ах + в, що виражає динаміку зростання за кожен рік, використовуючи метод найменших квадратів.

x (рік)	1–й	2-й	3-й	4-й	5-й	6-й	7-й
у, млн.гр.	6.3	9.5	13.9	16.1	20.2	24.1	26.8

Розв’язання.

Метод найменших квадратів зводиться до розв’язування системи рівнянь

Виходячи з умови завдання, знайдемо необхідні суми

Підставимо отримані дані в початкову систему і розв’яжемо її

у = 2.8x + 5.4.

9.12. На виробництві використовується два види ресурсів в кількості x і у одиниць. Вартість одиниці кожного з ресурсів складає 1 і 2 гр. од. відповідно. Для придбання ресурсів виділено 10000 гр. од. Визначити оптимальну витрату ресурсів, що забезпечує підприємству досягнення максимального прибутку, якщо відомо, що сумарний прибуток z підприємства залежить від витрат ресурсів таким чином : z = 2x + 10y – y².

Розв’язання.

Складемо систему рівнянь і розв’яжемо її методом підстановки

;

Знайдемо частинну похідну першого рівняння і прирівняємо її до нуля

;

Відповідь: оптимальна витрата ресурсів буде: x – 9994 гр. од., у – 3 гр.од.

9.13. Знайти екстремум функції z=xy за умови, що x і y пов’язані залежністю 2x+3y-5=0.

Розв’язання. Розглянемо функцію Лагранжа . Маємо . З системи рівняння (необхідні умови екстремуму)

знаходимо, що λ=-5/12, х=5/4, y=5/6. Неважко бачити, що в точці (5/4; 5/6) функція z=xy досягає найбільшого значення

Задачі, рекомендовані до розв’язання на практичних заняттях з розділу 9

1. Дослідити на монотонність та екстремуми функції:

а) ;	е)
б) ;	ж) ;
в) ;	з) ;
г)	і) .
д)	к)

2. Знайти найменше і найбільше значення даної функції на даному відрізку:

а) , [-3, 2];

б) , [-2, 3];

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

3. Знайти інтервали опуклості і угнутості даних кривих, а також їх точки перегину:

а) ;	г) ;
б) ;	д) ;
в) ;	е) .

4. Побудувати графіки функцій:

а) ;	е)
б) ;	ж) ;
в) ;	з) ;
г) ;	і) ;
д)	к) .

5. Знайти екстремуми функцій двох змінних:

а) ;	е) ;
б) ;	ж) ;
в) ;	з) ;
г) ;	і) ;
д) ;	к) .

6. Знайти екстремум функції z=x²+ y² за умови, що x і y пов’язані залежністю x/4+y/3=1.

7. Знайти екстремум функції z=x²–y² за умови, що y=2x–6.

8. Знайти найменше і найбільше значення функції z=xy на колі

9. При яких значеннях х і у витрати підприємства будуть мінімальними, якщо річні витрати фірми можуть бути виражені функцією , де а, b, с, p, t – постійні.

10. У приведеній нижче таблиці є дані про випуск деякою компанією комп'ютерної техніки за 5 років. Знайти параметри функції у= ах + b, що виражає динаміку зростання за кожен рік.

x (рік)	1	2	3	4	5
у (млн.р)	4.1	5.4	7.2	8.7	9.9

Розділ 10. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ І КІЛЬКОХ ЗМІННИХ