6.2. Диференціальні рівняння 1-го порядку.

У загальному випадку диференціальне рівняння першого порядку може бути записано у вигляді

.

Рівняння виду

(1)

або

, (2)

а також рівняння, котрі за допомогою алгебраїчних перетворень приводяться до рівнянь (1) або (2), називаються рівняннями з відокремлюваними змінними.

Відокремлювання змінних в рівняннях (1), (2) виконується за таким способом. Припустимо, що , і розділимо обидві частини рівняння (1) на . Для рівняння (2) обидві його частини помножимо на dx і розділимо на . В результаті отримаємо рівняння з відокремленними змінними

, ,

котрі інтегруються за формулою

, .

.

Означення. Рівняння

, (4)

л інійне стосовно невідомої функції y та її похідної , називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Такого типу рівняння може бути розв’язано методом варіації довільної сталої за таким способом. Замість сталої C в розв’язку однорідного рівняння введемо нову функцію , і в якості розв’язку неоднорідного ріняння (1) будемо розглядувати

, (5)

де будемо розшукувати невідому функцію .

Диференціювання (5) дає

. (6)

Підставляючи (5) і (6) в дане рівняння, одержимо

,

тобто

 .

Інтегруванням останнього результату знаходимо

.

Отже, загальний розв’язок рівняння (4) завжди може бути записаний у вигляді

, (7)

де C  довільна стала.

6.3. Диференціальні рівняння 2-го порядку.

Лінійне диференціальне рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами має вигляд:

у΄΄+р у΄+qy=0, (1)

де р і q – сталі дійсні числа.

Будемо шукати частинний розв’язок у вигляді y = e^kx, тоді

у΄= k e^kx , у΄΄= k² e^kx

к² e^kx+рк e^kx+ q e^kx=0

e^kx(к²+ pk+ q)=0

k²+pk+ q=0 (2)

Рівняння (2) називається характеристичним. Розв’язавши його, знайдемо два частинні розв’язки рівняння (1): .

Розглянемо 3 випадки:

1. Корні характеристичного рівняння дійсні, різні.

Тоді у₁ = e^k1x , у₂ = e^k2x і загальний розв’язок:

у=С₁ e^k1x + С₂ e^k2x, с_1, с₂ – довільні сталі.

2. Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні, кратні. Якщо k є двократний корінь характеристичного рівняння, то йому відповідають два різних частинних розв’язки, а саме

у₁ = e^kx , у₂ = хe^kx.

Загальний розв’язок буде у= e^kx(С₁+ С₂х), с_1, с₂ – довільні сталі.

3. Корені характеристичного рівняння комплексні:

к₁=α+βі; к₂= α-βі, де .

Тоді частинні розв’язки: у₁ = e^(α+βі)х, у₂ = e^(α-βі)х.

Користуючись показниковою формою комплексного числа і його похідними, можемо записати

у₁ = e ^αхcosβх, у₂ = e ^αхsіnβх.

Загальний розв’язок: у=e ^αх(с₁ cosβх+ с₂sіnβх), с_1, с₂ – довільні сталі.

§7. Основні теоретичні відомості до завдання № 9 Числові ряди

Нехай дана нескінченна послідовність чисел , , . . . , . . .. Складений з цих чисел символ

,

називається числовим рядом, а числа , , . . . , . . .  членами цього ряду.

Довільний член ряду називається загальним членом. Сам по собі символ реального сенсу не має, бо вимагає визначення самого поняття суми нескінченного ряду чисел.

Сума n перших членів ряду

називається n-ою частинною сумою ряду.

Розглянемо послідовність частинних сум ряду

;

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Означення 1. Якщо існує границя послідовності часткових сум ряду, то ця границя називається сумою ряду, а ряд збіжним і пишуть

.

Якщо ж границя послідовності часткових сум ряду не існує, то ряд називається розбіжним.

Деякі властивості рядів

Теорема. Якщо кожний член ряду помножити на одне й те ж число, то характер збіжності ряду не зміниться.

Теорема. Збіжні ряди

,

можна почленно додавати і віднімати, так що ряд

, (5)

збігатиметься, а його сума відповідно дорівнюватиме .

Теорема. Якщо до ряду приписати або відкинути кілька перших членів, то характер збіжності ряду не зміниться

Необхідна ознака збіжності рядів.

Теорема. Якщо ряд

(6)

збігається, то границя його загального члена дорівнює нулю, тобто

.

Наслідок. Якщо границя загального члена відрізняється від нуля або не існує, то ряд розбігається.

Достатні ознаки збіжності рядів

П орівняльна ознака збіжності знакододатного ряду

Я кщо

то

1) якщо ряд (2) - збіжний, то і ряд (1) - збіжний;

2) якщо ряд (1)-розбіжний, то і ряд (2)-розбіжний.

П орівняльна ознака у граничній формі

Я кщо

то ряди (1) та (2) збіжні або розбіжні одночасно.

Ознака Даламбера

Нехай

Т оді 1) при ряд збігається

2) при ряд розбігається.

Радикальна ознака Коши

Нехай Тоді

1) при ряд збігається

2) при ряд розбігається.

І нтегральна ознака Коши

Я кщо функція f(x) неперервна, додатна і спадає на проміжку

Т о ряд збігається або розбігається одночасно з невластивим інтегралом

Знакозмінні числові ряди

Теорема. Якщо збігається ряд, складений з модулів членів даного знакозмінного ряду, то даний знакозміний ряд – збіжний.

При цьому знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним.

Знакопочережний ряд

Д е додатні числа.

Т еорема (Лейбница). Якщо абсолютні величини членів знакопочережного ряду

утворюють спадну послідовність

що має границею нуль, то ряд збігається

Степеневий ряд

Означення. Степеневим називається ряд вигляду:

, (1)

де числа називають коефіцієнтами степеневого ряду.

Зокрема, при маємо степеневий ряд виду:

(2)

Означення. Множина усіх значень x, для яких степеневий ряд збігається, називається областю збіжності даного ряду.

Властивість:

Областю збіжності степеневого ряду може бути лише суцільний проміжок.

Наприклад, геометрична прогресія є степеневим рядом, члени якого визначені на всій осі. Областю збіжності ряду є інтервал або . Для кожної точки x, для якої , сума ряду дорівнює . При цей ряд розбігається.

Т еорема.

Д ля кожного степеневого ряду існує таке число що ряд абсолютно збігається в інтервалі і розбігається при

Число R називається радіусом збіжності ряду і знаходиться за формулами

1