6. Інтегрування деяких тригонометричних виразів

6.1. Інтеграли виду

за допомогою тригонометричних формул

зводяться до інтегралів

6.2. Невизначені інтеграли виду де m і n – натуральні числа, обчислюються за допомогою тригонометричних формул якщо m і n парні.

Якщо хоча б одно з чисел m і n – непарне, то від непарного степеня відділяється множник і вводиться нова змінна. Зокрема, якщо n=2k+1, то

Останній інтеграл знаходиться безпосередньо (як інтеграл від алгебраїчного многочлена).

6.3. Невизначений інтеграл де – раціональна функція від sinx і cosx, шляхом введення нової змінної за формулою (універсальна тригонометрична підстановка) зводиться до інтегралу

де R₁(t) – раціональний дріб.

7. Інтегрування деяких алгебраїчних ірраціональностей

7.1. Інтеграли виду (n - натуральне число), де - раціональна функція від х і , обчислюються за допомогою підстановки x=tⁿ (n - найменше спільне кратне показників всіх коренів, під якими х входить в підінтегральну функцію), яка раціоналізує даний інтеграл, тобто зводить його до інтегралу від раціонального дробу.

7.2. Інтеграли виду ( n- натуральне число) раціоналізуються підстановкою (n- найменше спільне кратне показників всіх коренів, під якими входить в підінтегральну функцію).

7.3. Інтеграли вигляду

“тригонометричними підстановками” зводяться до інтегралів функцій, раціонально залежних від синуса і косинуса. Для цього достатньо:

1) в інтегралі зробити підстановку (або );

2) в інтегралі зробити підстановку (або );

3) в інтегралі зробити підстановку (або ).

Слід мати на увазі, що в завданні № 1 наведено приклади на різні методи інтегрування, які треба обрати самостійно. Для отримання відповідних навичок необхідно опрацювати рекомендовану вище літературу.

§5. Основні теоретичні відомості до завдань № 4,5,6

1. Визначений інтеграл, його властивості та методи обчислення.

1.1.Означення визначеного інтеграла.

Нехай на відрізку задано функцію . Розіб’ємо відрізок на довільних частин точками ( ). На кожному відрізку ( ) оберемо довільну точку ( ) і утворимо суму , де . Ця сума називається інтегральною сумою функції .

Означення. Якщо існує границя , що не залежить від способу розбиття відрізка на частини та від способу обрання точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначається .

Число називається нижньою межею інтегрування, число — верхньою межею, називається підінтегральною функцією, проміжок ― проміжком інтегрування, ― змінною інтегрування. Вираз називається підінтегральним виразом.

Якщо визначений інтеграл існує, то функція називається інтегровною на відрізку .

Зауваження. Будь-яка неперервна на функція інтегровна на цьому відрізку.

1.2. Основні властивості визначеного інтеграла.

1) = = , тобто визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.

2) .

3) = - .

4) = + (якщо кожний з вказаних інтегралів існує).

5) = , де ― число.

6) = + , де точка ― довільна точка осі ОХ (якщо кожний з цих інтегралів існує).

7) Теорема про оцінку визначеного інтеграла.

Нехай і ― найменьше та найбільше значення на , тобто для всіх . Тоді

.

8) Теорема про середнє для визначеного інтеграла.

Нехай функція неперервна на відрізку . Тоді на знайдеться точка така, що

= , (тобто ).

Значення називається середнім значенням функції на відрізку .