Метод найменших квадратів наданий у главі іі (на прикладі) §4. Основні теоретичні відомості до завдання № 3

Означення. Первісною функцією для заданої функції f(x) називають таку функцію F(x), похідна якої дорівнює F(x).

Означення. Сукупність усіх первісних F(x)+С для заданої функції f(x) називають невизначеним інтегралом і позначають f(x) dx. Отже, f(x) dx = F(x)+С.

Знак означає операцію інтегрування, вираз f(x) dx називають підінтегральним виразом, функцію f(x) - підінтегральною, змінну x - змінною інтегрування.

2. Таблиця основних невизначених інтегралів

зокрема,

Якщо інтеграл І = f(x) dx не може бути обчислений безпосередньо за основними формулами, то введенням нової незалежної змінної у багатьох випадках вдається перетворити підінтегральний вираз f(x)dx, при якому інтеграл зводиться до табличного або до такого, спосіб обчислення якого уже відомий. Заміна змінної інтегрування і складає сутність методу, який називається методом підстановки.

3. Метод інтегрування підстановкою (заміною змінної)

Метод інтегрування підстановкою полягає у введенні нової змінної інтегрування (тобто підстановки). При цьому заданий інтеграл зводиться до нового інтегралу, який є табличним або таким, що до нього зводиться (у випадку “вдалої” підстановки).

Нехай треба обчислити інтеграл . Зробимо підстановку де - функція, яка має неперервну похідну. Тоді , звідки одержуємо формулу заміни змінної у невизначеному інтегралі

.

Вкажемо окремі важливі випадки використання цієї формули.

3.1. Невизначені інтеграли вигляду , вилученням повного квадрату у квадратному тричлені і введенням нової змінної зводяться до одного з табличних інтегралів.

3.2. Якщо підінтегральна функція є добутком двох множників, один з яких залежить від деякої функції φ(х), а другий є похідною φ(х), (з точністю до сталого множника), то доцільно зробити заміну змінної за формулою φ(х)=t.

4. Метод інтегрування частинами

Якщо u=u(x), v=v(x) – диференційовні функції від х, то з формули для диференціала добутку двох функцій d(uv)=udv+vdu одержимо формулу інтегрування частинами

Ця формула застосовується у випадку, коли підінтегральна функція є добутком алгебраїчної та трансцендентної функцій. В якості u, як правило, обирається функція, яка спрощується диференціюванням, в якості dv – частина підінтегрального виразу, що залишилася, яка містить dx та з якої можна визначити v шляхом інтегрування.

В деяких випадках формула застосовується декілька разів. Іноді шуканий інтеграл визначається з алгебраїчного рівняння, що одержане в результаті застосування формули інтегрування частинами.

5. Інтегрування раціональних функцій

Розглянемо невизначені інтеграли, які мають вигляд де R(x) – правильний раціональний дріб, тобто

Знаходження указаних інтегралів побудовано на розкладанні раціонального дробу у суму елементарних дробів, тобто дробів, які мають вигляд

де α, β­ ­– натуральні числа; a, p, q, A, B, C ­– дійсні числа ; p²-4q<0 (корені тричлена є комплексними).