§ 3. Основні теоретичні відомості до завдання № 1, 2

Дослідження функцій та побудова їх графіків

Схема дослідження функції на монотонність та екстремуми

1) D(y);

2) y´;

3) знайти критичні точки;

4) визначити проміжки знакосталості y´ Þ встановити проміжки монотонності y;

5) прослідкувати за зміною знака y´ при переході через критичні точки Þ встановити точки екстремуму.

Достатня ознака монотонності

Точка x₀ називається точкою максимуму функції f(x), якщо f(x0) – найбільше значення функції f(x) в деякому околі точки x0 .

Точка x₀ з області визначення функції f(x) називається критичною точкою функції f(x), якщо f´(x₀)=0 або f´(x₀) не існує .

Достатня ознака екстремуму

Якщо f´(x) при переході через критичну точку x₀ змінює свій знак на протилежний, то x₀ – точка екстремуму.

Схема розв´язання задачі на знаходження найбільшого та найменшого значення функції f(x) на відрізку [a;b]

1. знайти D(y), перевірити, що [a;b] є D(y);

2. ?;

3. знайти критичні точки функції f(x);

4. обрати ті з них, що належать [a;b];

5. обчислити значення f(x) в обраних критичних точках та на кінцях відрізка;

6. висновок.

Достатня ознака опуклості та угнутості

Точкою перегину графіка функції f(x) називається точка графіка, яка відокремлює опуклу частину від угнутої.

Р івняння похилої асимптоти:

, де

Схема дослідження функції та побудови графіка

І. Глобальне дослідження

1. D(y).

2. Парність, непарність, періодичність.

3. Точки перетину з осями; проміжки знакосталості функції.

4) Дослідження поведінки функції в околі точок розриву та граничних точок області визначення. Вертикальні асимптоти.

5) Поведінка функції при x→±∞. Похилі асимптоти.

6) Ескіз графіка за результатами 1)-5).

ІІ. Локальне дослідження

1) Дослідження на монотонність та екстремуми за допомогою y' (за окремою схемою).

2) Дослідження на опуклість, угнутість, точки перегину за допомогою y''.

3) Побудова графіка.

Дослідження на екстремум функції двох змінних

Означення. Функція z=f(x,y) має максимум в точці , якщо для усіх точок (x;y), достатньо близьких до точки і відмінних від неї.

Аналогічне означення - для мінімуму.

Максимум або мінімум функції називаються екстремумом.

Необхідна ознака екстремуму. В точках екстремуму функції кількох змінних її частинні похідні першого порядку або дорівнюють нулю, або не існують:

. (1)

Точки, в яких виконуються рівності (1), називаються стаціонарними. Рівності (1) є необхідними, але не достатніми умовами існування екстремуму. Це означає, що не усі точки, при яких виконується умова (1), є точками екстремуму.

Достатня умова екстремуму функції двох змінних.

Щоб визначити екстремум функції z=f(x,y) двох незалежних змінних, треба

а) Знайти стаціонарні точки (x;y), в яких функція може досягти екстремуму, для чого треба розв’язати систему рівнянь

б) Обчислити значення частинних похідних 2-го порядку в кожній стаціонарній точці (x,y), одержані числа позначити відповідно А, В, С:

в) Скласти вираз ∆=АС-В².

Якщо ∆0, то екстремум в стаціонарній точці є, причому при А0 - min, а при А<0 – max.

Якщо ∆<0, то екстремуму в стаціонарній точці немає.

Якщо ∆=0, то маємо сумнівний випадок і для його з’ясування треба проводити додаткові дослідження, які знаходяться поза навчальною програмою.