Задачі, рекомендовані до розв’язування на практичних заняттях з розділу 11

1. Використовуючи необхідну ознаку збіжності або ознаку порівняння для збіжності числових рядів, дослідити дані ряди на збіжність.

1) .	8) .
2) .	9) .
3) .	10) .
4) .	11) .
5)	12) .
6) .	13) .
7) .	14) .

2. Використовуючи одну з достатніх ознак збіжності, дослідити дані знакододатні числові ряди на збіжність.

1) .	11) .
2) .	12) .
3) .	13) .
4) .	14) .
5) .	15) .
6)	16) .
7)	17)
8)	18)
9)	19)
10)	20)

3. Дослідити дані знакопочережні ряди на умовну і абсолютну збіжність.

1) .	8) .
2) .	9) .
3) .	10) .
4) .	11)
5)	12)
6)	13)
7)	14)

4. Знайти область збіжності даних степеневих рядів.

1) .	11) .
2) .	12) .
3) .	13) .
4) .	14) .
)5 .	15) .
6) .	16) .
7) .	17) .
8) .	18) .
9)	19)
10)	20)

5. За допомогою розкладання в степеневий ряд обчислити з точністю до 0,001:

1) .	13) .
2) .	14) .
3) .	15) .
4) .	16) .
5) .	17) .
6) .	18) .
7) .	19) .
8) .	20) .
9) .	21) .
10) .	22) .
11) .	23) .
12) .	24) .

6. Знайти чотири перших члена розкладання в ряд розв’язку диференціального рівняння.

1) .	5) .
2) .	6) .
3) .	7) .
4) .	8) .

Розділ 12. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Основні питання, що виносяться на практичні заняття за розділом 12:

1. Розв’язання диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними.

2. Розв’язування однорідних рівнянь першого порядку.

3. Розв’язування лінійних рівнянь першого порядку.

4. Розв’язання лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами.

5. Розв’язання лінійних систем диференціальних рівнянь.

Після опрацювання розділу на практичних заняттях студент повинен

знати: базові поняття і положення розділу; основні методи розв’язання диференціальних рівнянь 1-го порядку та лінійних диференціальних рівнянь 2-го порядку; основні застосування теорії диференціальних рівнянь до розв’язання задач економічного змісту.

вміти: встановлювати тип диференціального рівняння 1-го порядку, розв’язувати диференціальні рівняння 1-го порядку трьох основних типів; розв’язувати лінійні диференціального рівняння 2-го порядку; розв’язувати задачу Коши для диференціального рівняння 1-го порядку та лінійного диференціального рівняння 2-го порядку.

Рекомендована література:

[1], т. І, с.315-326, с.327-331

[3], с. 410-423, 424-437.

Рекомендації до розв’язання типових прикладів розділу 12:

12.1. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння

,

що задовольняє початковій умові .

Запишемо дане рівняння в диференціальній формі¹

.

Тепер відокремимо змінні:

.

Виконуємо інтегрування цього рівняння:

,

,

.

Отримали загальний розв’язок вихідного рівняння.

Використаємо тепер початкові умови і визначимо довільну постійну:

, .

Отже, частинний розв’язок вихідного рівняння має вигляд

.

12.2. Розв’язати рівняння .

Дане рівняння - однорідне. Зробимо заміну , . Тоді

, .

Покладемо тепер і скоротимо обидві частини рівняння на . Далі матимемо

, .

Відокремлюючи змінні, послідовно знаходимо

,

, ,

+ln C, .

В останній вираз замість u підставимо значення . Одержимо загальний інтеграл

, .

Розв’язуючи його відносно y, знаходимо загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння:

.

12.3. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Приведемо задане порівняння до виду (4), для чого розділимо обидві його частини на . Отримаємо

.

Тут

, .

Загальний розв’язок даного рівняння у відповідності з формулою (7) має вигляд

. (8)

Знайдемо інтеграли, що входять в цей розів’язок. Маємо:

= = =

= ,

.

Тут знаки «+» і «-» з’являються в силу рівності . Після підстановки знайдених інтегралів в розв’язок (8), остаточно одержуємо загальний розв’язок вихідного рівняння:

.

12.4. Розв’язати лінійні однорідні диференціальні рівняння 2-го порядку:

а) у΄΄+ у΄-2y=0.

Характеристичне рівняння: к²+к-2=0.

Знаходимо корені: .

Загальний розв’язок у = C₁ e ^х + C₂ e^-2х.

б) у΄΄-4 у΄+4y=0.

Характеристичне рівняння: к²-4к+4=0. Корені к₁= к₂ =2. Загальний розв’язок

у = C₁ e^{2 х} + C₂ хe^2х = e^2x(C₁+ C₂х).

12.5. Модель природного росту випуску.

Будемо вважати, що деяка продукція продається за фіксованою ціною Р. Позначимо через Q(t) кількість продукції, реалізованої на момент часу t; тоді на цей момент часу отриманий доход, рівний PQ(t). Нехай частина зазначеного доходу витрачається на інвестиції у виробництво реалізованої продукції, тобто

I (t) = mPQ(t),

де m - норма інвестиції - постійне число, причому 0<m<1.

Якщо виходити з припущення про ненасичуваність ринку (чи про повну реалізацію виробленої продукції), то в результаті розширення виробництва буде отриманий приріст доходу, частина якого знову буде використана для розширення випуску продукції. Це приведе до зростання швидкості випуску (акселерації), причому швидкість випуску пропорційна збільшенню інвестицій, тобто

Q'=l,

де 1/l - норма акселерації. Остаточно одержимо

Q' = k, k = lm.

Це диференціальне рівняння являє собою рівняння першого порядку з відокремленими змінними. Загальний розв'язок цього рівняння має вигляд

,

де С - довільна стала. Нехай у початковий момент часу t=t₀ зафіксований (заданий) обсяг випуску продукції Q₀. Тоді з цієї умови можна виразити постійну С: , звідки . Звідси одержуємо частинний розв'язок рівняння - розв'язок задачі Коші: .

12.6. Динамічна модель Кейнса

Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає в себе основні компоненти динаміки видаткової і дохідної частин економіки. Нехай Y(t), E(t), S(t), I(t) - відповідно національний доход, державні витрати, споживання й інвестиції. Усі ці величини розглядаються як функції часу t. Тоді справедливі наступні співвідношення:

де a(t) - коефіцієнт схильності до споживання (0<a(t)<1), b(t) - автономне (кінцеве) споживання, k(t) - норма акселерації. Усі функції, що входять у систему, додатні.

Пояснимо зміст рівнянь системи. Сума усіх витрат повинна бути рівною національному доходу - цей баланс відбитий у першому рівнянні. Загальне споживання складається з внутрішнього споживання деякої частини національного доходу в народному господарстві і кінцевого споживання - ці складові показані в другому рівнянні. Нарешті, розмір інвестицій не може бути довільним: він визначається добутком норми акселерації, величина якого характеризується рівнем технології й інфраструктури даної держави, на граничний національний доход.

Будемо вважати, що функції a(t), b(t), k(t) і E(t) задані - вони є характеристиками функціонування й еволюції даної держави. Потрібно знайти динаміку національного доходу, чи Y як функцію часу t.

Підставимо вираження для S(t) із другого рівняння і для I(t) із третього рівняння в перше рівняння. Після приведення подібних одержуємо диференціальне неоднорідне лінійне рівняння першого порядку для функції Y(t):

Припустимо, що основні параметри задачі a, b, k - постійні числа. Тоді рівняння спрощуються до лінійного диференціального рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами:

Загальне рішення неоднорідного рівняння є сума якого-небудь його частинного розв'язку і загального розв'язку відповідного однорідного рівняння. Як частинний розв'язок рівняння візьмемо так званий рівноважний розв'язок, коли Y' = 0, тобто

.

Ця величина додатня. Загальний розв'язок однорідного рівняння дається формулою , так що загальний розв'язок рівняння має вигляд:

.

12.7. Неокласична модель зростання

Нехай Y = F(K,L) - національний дохід, де F - однорідна виробнича функція першого порядку (F(t,t) = t(K,L)), K - обсяг капіталовкладень (виробничих фондів), L - обсяг витрат праці. Введемо в розгляд величину фондоозброєності k = K/L, тоді продуктивність праці виражається формулою

Метою цієї задачі є опис динаміки фондоозброєності чи представлення її як функції від часу t. Будемо вважати, що виконано наступні припущення.

1) Має місце природний приріст у часі трудових ресурсів:

L' = α L.

2) Інвестиції витрачаються на збільшення виробничих фондів і на амортизацію, тобто

I = K' + βK,

де β - норма амортизації.

Тоді, якщо l - норма інвестицій, то I = l = K' + βK, чи

K' = lF(K,L) - βК.

З визначення фондоозброєності k випливає, що

ln k = ln K - ln L.

Диференціюючи цю рівність по t , маємо

.

Звідси одержуємо рівняння щодо невідомої функції k:

k' = lf(k) - (α +β)k,

Отримане співвідношення являє собою нелінійне диференціальне рівняння першого порядку з відокремленими змінними. Виділимо стаціонарне рішення цього рівняння; з умови k'=0 випливає, що

lf(k) - (α + β)k = 0,

тобто k = const - постійна величина, що є коренем цього нелінійного алгебраїчного рівняння.

12.8. Диференціальні рівняння другого порядку (модель ринку з прогнозованими цінами)

Розглянемо модель ринку з прогнозованими цінами. У простих моделях ринку попит та пропозиція звичайна вважають залежними тільки від поточної ціни на товар. Однак попит та пропозиція в реальних ситуаціях залежать ще і від тенденції ціноутворення і темпів зміни ціни. У моделях з безупинними і диференційованими за часом t функціями ці характеристики змальовуються другими похідними функції ціни P(t).

Розглянемо конкретний приклад. Нехай функції попиту D і пропозиції S мають наступні залежності від ціни P і її похідних:

D(t) = 3P'' - P' - 2P + 18,

S(t) = 4P'' + P' + 3P + 3.

Вказані залежності цілком реалістичні: пояснимо це на доданках з похідними функції ціни.

1. Попит "підігрівається" темпом зміни ціни: якщо темп росте (P">0), то ринок збільшує інтерес до товару, і навпаки. Швидкий ріст ціни відлякує покупця, тому доданок з першої похідної функції ціни входить зі знаком мінус.

2. Пропозиція в ще більшій мері підсилюється темпом зміни ціни, тому коефіцієнт при P" у функції S(t) більше, ніж у D(t). Зростання ціни також збільшує пропозицію, тому доданок, що містить P', входить у вираз для S(t) зі знаком плюс.

Потрібно установити залежність ціни від часу. Оскільки рівноважний стан ринку характеризується рівністю D = S, дорівняємо праві частини рівнянь. Після приведення подібних одержуємо

P" + 2P' + 5P = 15.

Співвідношення представляє лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку щодо функції P(t). Загальний розв'язок такого рівняння складається із суми якого-небудь його частинного розв'язку і загального розв'язку відповідного однорідного рівняння

P" + 2P' + 5P = 0.

Характеристичне рівняння має вигляд

.

Його корені - комплексно-спряжені числа: k_1,2 = 2i , і, отже, загальний розв'язок рівняння дається формулою

,

де С₁ і С₂ - довільні постійні. Як частинний розв'язок неоднорідного рівняння візьмемо розв'язок P=P_st - постійну величину як сталу ціну. Підстановка в рівняння дає значення P_st:

P_st = 3

Таким чином, загальний розв'язок рівняння має вигляд

.

Приведемо частинні розв'язки цієї задачі в двох варіантах: задача Коші і змішана задача.

1) Задача Коші. Нехай у початковий момент часу відома ціна, а також тенденція її зміни:

t = 0; Р = 4, Р' = 1.

Підставляючи першу умову в формулу (2.4), одержуємо Р (0) = С₁ +3 = 4, звідки С₁ = 1, тобто маємо

Р (t) = 3 + .

Диференціюючи, маємо звідси

Тепер реалізуємо другу умову задачі Коші: P'(0)=2C₂ -1 = 1, звідки С₂=1. Остаточно одержуємо, що розв'язок задачі Коші має вигляд

Р(t) = 3 +

чи в більш зручній формі:

.

2) Змішана задача. Нехай у початковий момент часу відомі ціна і попит:

t = 0; P = 4, D = 16.

Оскільки перша початкова умова така ж, як і в попередньому випадку, то маємо і тут теж саме рішення. Тоді похідні функції P(t) виражаються формулами

Звідси P'(0) = 2C₂ - 1 і P"(0) = -4C₂ - 3. Підставляючи ці рівності в другу умову задачі, тобто D(0) = 16, маємо з урахуванням виду D(t) з першої формули (2.1): С₂ = -1. Отже, рішення даної задачі має вид

чи в більш зручній формі:

.

12.9. Проінтегрувати диференціальне рівняння розширеного відтворення, вважаючи, що H, S і f - постійні.

Розв'язання. Диференціальне рівняння розширеного відтворення має вигляд:

Це диференціальне рівняння 1-го порядку з відокремленими змінними. Знайдемо його загальний розв'язок

Результат інтегрування прийнято записувати в такий спосіб:

.

Отже, загальний розв'язок диференціального рівняння розширеного відтворення має вигляд:

12.10.Нехай - еластичність виробничої функції y=f(x) відносно змінної х. Визначити функцію f(x), якщо її графік проходить через точку М(1;2).

Розв'язання. Для розв'язання цієї задачі варто використовувати формулу еластичності

Знайдемо загальний розв'язок отриманого рівняння

Так як графік функції повинен проходити через точку М(1;2), то необхідно знайти частинний розв'язок:

Відповідь: рівняння виробничої функції, графік якого проходить через точку М(1;2), має вигляд: .

12.11. Повні витрати виробництва є функцією обсягу виробництва х. Знайти функцію повних витрат y=f(x), якщо відомо, що граничні витрати для всіх значень х пропорційні середнім витратам. Коефіцієнт пропорційності дорівнює k, початкова умова: у(1)=1.

Розв'язання. Знайдемо функцію повних витрат у, розв'язавши диференціальне рівняння:

З огляду на початкову умову у(1)=1, знайдемо частинний розв'язок вихідного рівняння:

Відповідь: функція повних витрат має вигляд:

12.12. Через який проміжок часу відбудеться подвоєння сукупного суспільного продукту, якщо Н = 0.6, S = 0.5, f = 1?

Розв'язання. Розв'яжемо диференціальне рівняння розширеного виробництва

Підставимо відомі величини в отримане рівняння і знайдемо t:

Відповідь: подвоєння сукупного загального продукту відбудеться через проміжок часу t = 10 ln2.

12.13. Економісти встановили, що швидкість зростання інвестованого капіталу у будь-який момент часу t пропорційна величині капіталу із коефіцієнтом пропорційності рівним узгодженому відсотку R неперервного зростання капіталу. Треба знайти закон зростання інвестованого капіталу, врахуючи величину початкової (t = 0) інвестиції К₀.

Розв'язання. Спочатку побудуємо математичну модель цієї задачі. Позначимо: К(t) - величина інвестованого капіталу у момент t (шукана функція).

Тоді - швидкість зміни величини інвестиції,

За умовою задачі маємо:

Одержали задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку.

Загальним розв'язком диференціального рівняння буде функція

Згідно з початковою умовою при t = 0 маємо

Отже розв'язком задачі Коші буде функція

Це означає, що при умовах задачі інвестиції з часом зростають за експоненціальним законом.