Розділ 11. Числові і функціональні ряди Основні питання, що виносяться на практичні заняття за розділом 11:

1. Необхідна ознака збіжності числового ряду.

2. Дослідження знакододатних рядів на збіжність (Ознака порівняння. Ознака Даламбера. Радикальна ознака Коші. Інтегральна ознака Коші.)

3. Дослідження знакозмінних рядів на абсолютну та умовну збіжність.

4. Знаходження області збіжності степеневих рядів.

5. Розкладання функцій у степеневий ряд.

Після опрацювання розділу на практичних заняттях студент повинен

знати: базові поняття і положення розділу; необхідну ознаку збіжності числового ряду; достатні ознаки збіжності знакододатних числових рядів; порядок дослідження знакопочережних та знакозмінних числових рядів на абсолютну та умовну збіжність; формули для знаходження радіуса збіжності степеневого ряду; теорему Абеля; основні формули розкладання функцій у степеневий ряд; основні застосування числових та степеневих рядів.

вміти: досліджувати числові ряди на збіжність; знаходити область збіжності степеневого ряду; розкладати функції у степеневі ріди; виконувати наближені обчислення за допомогою степеневих рядів.

Рекомендована література:

[1], т. І, с. 335-345,с. 349-358

[3], с. 379-387, 388-406

Рекомендації до розв’язання типових прикладів розділу 11

11.1. Дослідити на збіжність числовий ряд

Розв’язання. Скористаємося ознакою Даламбера. Маємо:

, ,

,

тобто даний ряд збігається.

11.2. Дослідити ряд на збіжність: .

Розв’язання. Скористаємося необхідною ознакою збіжності:

Даний числовий ряд розбігається.

11.3. Дослідити ряд на збіжність: .

Розв’язання.

Знайдемо:

Отже, для вирішення питання про збіжність ряду застосувати достатню ознаку збіжності. Застосуємо ознаку порівняння.

Для порівняння використовуємо ряд: .

Обчислимо:

Отже, ряд поводиться так само, як гармонійний ряд , тобто розбігається.

11.4. Дослідити ряд на збіжність: .

Розв’язання. Використовуючи інтегральну ознаку збіжності, одержимо:

Інтеграл збігається, отже, даний ряд також збігається.

11.5. Дослідити ряд на збіжність:

Розв’язання. Застосуємо радикальну ознаку Коши:

Отже, ряд збігається.

11.6. Дослідити ряд на збіжність:

Розв’язання. Використаємо ознаку Даламбера:

; ;

Отже, ряд збігається.

11.7. Дослідити ряд на збіжність:

Розв’язання. Складемо ряд з модулів:

Застосуємо до нього ознаку Даламбера:

Отже, даний ряд збігається абсолютно.

Випишемо члени ряду, які більше за 0,01:

.

П’ятий член ряду

Якщо змінити суму ряду сумою перших десяти членів, то помилка буде менше .

11.8. Дослідити на збіжність числовий ряд

Розв’язання. Згідно з радикальною ознакою Коші, маємо:

,

тобто вихідний ряд збігається.

11.9. Дослідити на збіжність числовий ряд .

Розв’язання. Маємо: . Отже. ряд збігається.

11.10. Дослідити на збіжність числовий ряд .

Розв’язання. Маємо: . Отже, даний ряд розбігається.

11.11. Ряд збігається, тому що при будь-якому n і .

11.12. Розглянемо ряд .

Розв’язання. Оскільки при будь-якому n виконується нерівність

,

а ряд збігається, то даний ряд збігаєтьсяся абсолютно.

11.13. Дослідити на збіжність числовий ряд .

Розв’язання. .

Отже, не виконана необхідна умова збіжності . Даний ряд розбігається.

11.14. Розглянемо ряд .

Маємо:

.

Отже, даний ряд абсолютно збігається при < 1 або при .

При маємо ряд , котрий розбігається. При маємо ряд , котрий за ознакою Лейбніца збігається (умовно).

11.15. Дослідити на збіжність степеневий ряд .

Розв’язання. Маємо:

.

Даний ряд абсолютно збігається при або при ; при матимемо ряд , котрий розбігається.

11.16. Дослідити на збіжність степеневий ряд .

Розв’язання. Маємо:

.

Отже, цей ряд збігається тільки при .

11.17. Дослідити на збіжність степеневий ряд .

Розв’язання. Маємо:

Ряд збігається на усій осі (при будь-якому x).

11.18. Визначити область збіжності степеневого ряду:

.

Знайдемо радіус збіжності даного степеневого ряду за формулою:

; ;

;

Радіус збіжності даного степеневого ряду дорівнює 1.

Зобразимо область збіжності:

( ]

1 2 3

При – ряд збігається; при – ряд розбігається.

Дослідимо поведінку ряду на межах області збіжності.

При х=1: .

Ми одержали ряд: (гармонічний) з

Отже, ряд розбігається, тобто х=1 не входить в область збіжності початкового степеневого ряду.

При х=3: .

Ми одержали знакопочережний ряд. Ряд, складений з модулів, розбігається, а одержаний ряд збігається за ознакою Лейбниця, тому що

Отже, при х=3 даний ряд сходиться умовно.

Значить, область збіжності: (1; 3].

11.19. Обчислити з точністю до 10^-3.

Розв’язання. Розклавши в ряд sinx і поділивши почленно на , одержимо

Члени знакопочережного ряду, починаючи з четвертого, відкинуті, при цьому помилка не перевищує абсолютної величини першого з відкинутих членів ряду:

11.20. Знайти три перших відмінних від нуля членів розкладання в степеневий ряд рішення y=y(x) диференціального рівняння за початкової умови y(0)=1.

Розв’язання. Шукаємо рішення y(x) у вигляді

З початкової умови y(0)=1, з диференціального рівняння

Продиференціюємо рівняння ,

звідки .

Продиференціюємо ще раз: ,

звідки .

Таким чином, , тобто .

11.21. Обчислити з точністю до 0,001 .

Розв’язання Знайдемо найближче число 1027, з якого добувається корінь десятого ступеня (точно). Це 2¹⁰=1024. Запишемо даний нам вираз у вигляді:

.

Позначимо і розглянемо функцію . Для неї справедливо розкладання в ряд Маклорена, яке сходиться при :

.

Підставимо в це розкладання і одержимо:

.

Знайдемо перший додаток ряду, менший за 0,001. Це буде другий член ряду . Отже, і помилка менше, ніж .