Задачі, рекомендовані до розв’язання на практичних заняттях з розділу 10

1. Обчислити інтеграли, користуючись таблицею основних невизначених інтегралів та властивостями невизначених інтегралів.

2. Обчислити інтеграли:

3. Обчислити інтеграли за допомогою заміни змінної.

4. Обчислити інтеграли методом інтегрування частинами.

5. Знайти інтеграли від раціональних дробів.

6. Обчислити інтеграли від тригонометричних функцій.

7. Обчислити інтеграли від ірраціональностей.

8. Обчислити визначені інтеграли.

9. Знайти площу фігури, обмеженої даними кривими. Виконати малюнок.

10. Знайти довжину дуги кривої, заданої вказаним рівнянням.

від початку координат до т.А (ln 2, 1);

від А(0,1) до В(1,2);

від А(0,0) до В(1, ).

11. Знайти об’єм тіла, одержаного обертанням навколо вказаної осі фігури, що обмежена даними кривими. Зробити малюнок.

навколо осі ОХ;

навколо осі ОХ;

навколо осі ОХ;

навколо осі ОХ;

навколо осі OY.

12. Знайти площу поверхні, одержаної обертанням даної кривої навколо вказаної осі.

навколо осі ОХ;

навколо осі ОХ;

навколо осі ОХ;

навколо осі ОХ;

навколо осі ОХ.

13. Скільки вугілля добуде шахтар за три години роботи, якщо функція продуктивності праці має вигляд f(t)=20+2t (т/ч)?

14. Визначити приріст капіталу за три роки за даними чистими інвестиціями (t – час).

15. За даними інвестиціями (див.попередню задачу) знайти, за скільки років приріст капіталу становитиме 150000 грош. од.

16. Нехай f(x)= x²+10x – навантаження на електростанцію; х – години, що відлічуються від початку доби. Обчислити середні витрати електроенергії за 2 доби.

17. Знайти середнє значення витрат, якщо функція витрат задана рівнянням (х – обсяг виробництва), а обсяг випуску продукції змінюється від 1 до 4,5 одиниць. Знайти обсяг продукції, за якого витрати набувають середнього значення.

18. Продуктивність праці протягом трудового дня змінюється. Нехай функція продуктивності праці матиме вигляд: f(t) = 100 + 10t (дет/год), де t – відрізок часу від початку трудового дня. Скільки деталей зробить працівник за дві години праці і за другу годину?

19. Нехай f(t) = 20 + 2t (тонн/год) – функція продуктивності праці шахтаря (тонн/год). Знайти функцію, яка характеризує кількість вугілля, що добувається шахтарем за час t. Скільки вугілля буде добувати шахтар за 3 години праці. Обчисліть продуктивність праці в кінці третьої години праці.

20. Міська площа має форму еліпса, велика вісь якого 120 м., а мала – 100 м. Визначити сумарні затрати на асфальтування площі, якщо вартість асфальтування 1 кв. м. складає 20 грош. од.

21. Функція маргінальних витрат фірми має вигляд

V'(x) = 23,5 – 0,01х

Знайти зростання загальних витрат, коли виробництво зростає з 1000 до 1500 одиниць.

22. Знайти денне вироблення Р за робочий день тривалістю 8 годин, якщо продуктивність праці протягом дня міняється за емпіричною формулою

,

де t – час у годинах, р₀ – розмірність продуктивності (обсяг продукції в годину), t₀ – розмірність часу (год.).

23. Дослідити на збіжність дані невластиві інтеграли:

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)

24. Змінити порядок інтегрування. Область інтегрування зобразити на площині xOy.

1) a) ; b) ;

2) a) ; b) ;

3) a) ; b) ;

4) a) ; b) ;

5) a) ; b) .

25. Обчислити даний подвійний інтеграл.

1) .

2) .

3) , D : x=0, x=2, y=x, y=2^x.

4) , D : x=1, x=4, y=0, y=e^x.

5) , D : y=x²-2x-3, y=5.

26. Знайти середнє значення витрат, виражене в грошових одиницях, якщо об'єм продукції міняється від 0 до 2. Вказати об'єм продукції, при якому витрати набувають середнього значення.

27. Функція продуктивності праці має вигляд: . Визначити об'єм продукції, що вироблений за другу годину робочого дня.

28. Функція, що характеризує об'єм продукції: Знайти: функцію, яка характеризує продуктивність праці; об'єм продукції, що зроблений працівником за другу годину робочого дня і побудувати графіки.

29. Через деякий час після початку роботи продуктивність праці перестає рости і стає постійною. Продуктивність за цей час росте згідно із законом: і після цього вона залишається постійною протягом чотирьох годин і рівною 134. Загальна сума продукції, зроблена за восьмигодинний робочий день дорівнює 930. Знайти: кількість продукції, яку зробить працівник в останню годину дня; середню продуктивність праці за робочий день.

30. Функція витрат має вигляд: . Знайти середнє значення витрат, виражених в грошових одиницях, якщо об'єм продукції x міняється від 1 до 3 одиниць. Вказати об'єм продукції, при якому витрати набувають середнього значення. Побудувати на інтервалі (0, 3) графік функції f(x).

31. Нехай функція економічності виробництва має вигляд: (подітий./час). Скільки всього виробів буде проведено за четверту годину і за 4 години роботи.

32. Автомобіль проїжджає щодня шлях по трасі, який утворює криву, одиниця довжини 1 км., вісь ОХ збігається з лінією шосе. Скільки кілометрів між шосе і трасою? Побудуйте і досліджуйте графік кривої у = f(x).