2.Решение задачи распределения ресурсов с помощью динамического программирования

Статические задачи распределения ресурсов возникают при одноразовом распределении ограниченных ресурсов X (капитальные вложения, сырье, оборудование, фонды и т.д.) между несколькими объектами i=1, 2,..., n (объединениями, предприятиями, проектами и т.д.). Эффективность использования ресурсов по объектам g_i(х_i) различна и для каждого объекта зависит только от объема выделенных ресурсов x_i. Необходимо таким образом распределить ресурсы между объектами, чтобы суммарная эффективность их использования была максимальной.

При изучении линейного программирования мы решали подобные задачи при линейной целевой функции и линейных ограничениях. Ряд задач распределения ресурсов (например, при аналитическом задании непрерывных целевых функций) может быть решен методами нелинейного программирования. Динамическое программирование позволяет решать статические задачи распределения ресурсов практически для любого класса целевых функций, в том числе и для целочисленных, разрывных, недифференцируемых.

При решении статической задачи распределения ресурсов методом динамического программирования за этап (шаг) принимается выделение ресурсов дополнительно одному объекту.

Решение задачи начинается с последнего шага – то есть с предположения, что у нас остался один объект для инвестирования (для вложения прочих распределяемых ресурсов). При этом находятся условно-оптимальное управление U_t (x_t1,x_t2, …, x_ti, …, x_tn) и значение критерия при выделении определенного количества ресурсов этому объекту W_t(S,U_t).

Обозначим значение критерия (условно-оптимального выигрыша) при распределении X ресурсов по k объектам W_k(X). Так как за этап (шаг) принимается выделение ресурсов дополнительно одному объекту, то W_k(X)=W_t(S,U_t). Тогда на первом этапе решения задачи – выделение средств одному предприятию (T=k=1) получим:

(7.7)

На втором этапе определяем условно-оптимальное распределение ресурсов при их выделении на два объекта. При общем количестве ресурсов X второму объекту выделяется x₂, а первому, следовательно, (X – x₂).

Тогда

(7.8)

Рассуждая аналогично, получим основное функциональное уравнение динамического программирования для данной задачи.

(7.9)

Пользуясь основным функциональным уравнением, постепенно находят условно-оптимальные значения х_k вплоть до подключения всех объектов (k = 1,2,..., n).

Соответствующее значение x_n, максимизирующее W_n(X), дает безусловно оптимальное управление. Далее, возвращаясь к (n-1)-му этапу и зная х_n, определяем оптимальное значение х_n-1 и так далее.

3.Пример выполнения лабораторной работы

Задание

Горно-обогатительному комбинату дополнительно выделено 8 комплектов (X=8) горного оборудования, которое надо распределить между тремя рудниками таким образом, чтобы общий прирост добычи был максимален. По горнотехническим условиям на руднике №1 можно дополнительно установить не более 3 комплектов оборудования, а на №2 и №3 - не более 4 (на каждом отдельно). Прирост добычи по рудникам g_i (в условных единицах) в зависимости от количества дополнительно выделяемого оборудования рассчитан методом вариантов и задан в таблице 7.1.

Таблица 7.1

Количество дополнительно выделяемого оборудования	Прирост добычи по рудникам
	№1	№2	№3
	g1(x)	g2(x)	g3(x)
1	2	3	4
1	1,2	1,1	1,2
2	2,1	2,1	2,2
3	3,0	3,1	3,2
4	-	3,9	4,0

Математическая модель рассматриваемой задачи имеет вид.

.

(7.10)

Первый этап решения задачи методом динамического программирования, заключается в определении эффективности использования ресурсов на одном объекте. Рассмотрим выделение ресурсов руднику №3. Эффективность использования ресурсов при различных состояниях системы выражается при этом данными таблицы 7.1 столбец 4.

На втором этапе рассмотрим распределение ресурсов между двумя (№3 и № 2) рудниками. Сначала определим состояния системы, характеризуемые количеством ресурсов, выделяемым на два рудника (Х=х₃+x₂). Максимальное количество ресурсов, которое можно выделить на последние два рудника, составит , а минимальное . Таким образом, на эти два рудника можно выделить 5, 6, 7 или 8 комплектов оборудования. Далее для каждого из состояний системы определяем возможные варианты распределения оборудования по рудникам. Например, при X=х₂+х₃=5 возможны следующие варианты: 1)х₂=1,х₃=4; 2)x₂=2, x₃=3; 3)x₂=3,x₃=2; 4) x₂=4,x₃=1.

Все состояния системы и возможные варианты распределения оборудования заносим в таблицу 7.2. В этой таблице определяется также составляющие слагаемые основного функционального уравнения, т.е. значения эффективности использования дополнительно выделяемого оборудования на каждом руднике и суммарная эффективность по обоим рудникам.

Для каждого из возможных состояний системы находим условно-оптимальное управление. Для этого в столбце 6 выбираем максимальное значение критерия, которое соответственно составляет (при X - 5, 6, 7, 8) 5,3; 6,3; 7,1; 7,9. Полученное максимальное значение критерия используем на следующем этапе решения задачи.

Таблица 7.2

X=x2+x3	x3	x2	g3(x3)	g2(x2)	W2= g3(x3)+ g2(x2)
1	2	3	4	5	6
5	4	1	4,0	1,1	5,1
	3	2	3,2	2,1	5,3
	2	3	2,2	3,1	5,3
	1	4	1,2	3,9	5,1
6	4	2	4,0	2,1	6,1
	3	3	3,2	3,1	6,3
	2	4	2,2	3,9	6,1
7	4	3	4,0	3,1	7,1
	3	4	3,2	3,9	7,1
8	4	4	4,0	3,9	7,9

Рассмотрим теперь распределение 8 комплектов оборудования между тремя рудниками. Все расчеты сведем в таблице 7.3.

Таблица 7.3

X=x1+x2+x3	x1	x2+x3	g1(x1)	W2(x2, x3)	W3(x1,x2,x3)
1	2	3	4	5	6
8	0	8	0	7,9	7,9
	1	7	1,2	7,1	8,3
	2	6	2,1	6,3	8,4
	3	5	3,0	5,3	8,3

Причем в столбце 5 таблицы 7.3 значения критерия эффективности при выделении оборудования рудникам №2 и 3, определяемые по результатам оптимизации на предыдущем этапе (из столбца 6 таблицы 7.2).

В столбце 6 находим значение критерия, соответствующее не только условно, но и просто оптимальному распределению оборудования.

Максимальная суммарная эффективность (8,4) достигается при выделении руднику №1 2-х комплектов оборудования, а рудникам №2 и 3 - 6 комплектов.

Возвращаясь назад, из данных таблицы 7.2 находим распределение ресурсов между рудниками №3 и 2, x₂+x₃ = 6. В столбце 6 находим, что при x₂+x₃ = 6 максимальное значение критерия 6,3 соответствует выделению и на рудник №3, и на №2 – 3-х комплектов оборудования. Таким образом, оптимальное распределение оборудования следующее: х₁=2, x₂=3, x₃=3, максимальный прирост добычи при этом составит 8,4 условных единиц.