Завдання 2.1

Визначити класи функцій алгебри логіки, до яких належить задана за допомогою таблиці функція трьох змінних (табл.TZ.2), і її функціональну повноту. Двійкові коди цифр у графі «f» табл. TZ.2 потрібно написати вертикально, старший розряд наверху.

a b c	f
0 0 0	1ц. 4л.
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0	2ц. 7л.
1 0 1
1 1 0
1 1 1

Д - 73₁₀ =0111 0001₂

І - 75₁₀ = 0010 0101₂

Виконання завдання

а b c	f
0 0 0	0
0 0 1	1
0 1 0	1
0 1 1	1
1 0 0	0
1 0 1	1
1 1 0	0
1 1 1	1

Функціонально повним є такий набір ФАЛ, який містить хоча б одну функцію, яка:

• не зберігає константу «0»;

• не зберігає константу «1»;

• не є монотонною;

• не є самодвоїстою;

• не є лінійною.

1. Оскільки на нульовому наборі f(0,0,0) = 0, то функція зберігає константу «0»

2. Оскільки на одиничному наборі f(1,1,1) = 1, то ця функція зберігає константу «1»

3. ФАЛ називається монотонною, якщо при будь-якому зростанні кількості «1» у послідовності сусідніх (тобто таких, які відрізняються тільки в одному розряді) наборів змінних (х₀,х₁,х₂,…х_n) значення функції не зменшується.

abc	f		abc	f		abc	f		abc	f		abc	f		abc	f
000	0		000	0		000	0		000	0		000	0		000	0
001	1		001	1		010	1		010	1		100	0		100	0
011	1		101	1		011	1		110	0		101	1		110	0
111	1		111	1		111	1		111	1		111	1		111	1

Оскільки на четвертій послідовності сусідніх наборів функція не є монотонною, то вона не є монотонною взагалі.

4. ФАЛ називається самодвоїстою, якщо на кожній парі протилежних наборів (х₀,х₁,…,х_n) та (/х₀, /х₁,…,/х_n) вона приймає протилежні значення.

abc	f	abc	f
000	0	111	1
001	1	110	0
010	1	101	1
011	1	100	0

Оскільки на третій парі функція приймає однакові значення («1» - «1») тоді ця функція не є самодвоїстою.

5. ФАЛ називається лінійною, якщо її можна зобразити поліномом Жегалкіна без добутків змінних

f (x_0, x₁ ,…,x_n ) = a_{0 *} x₀ # a_{1 *} x₁ #...#a_{n *} x_n

* - позначення операції І;

# - позначення операції додавання за модулем 2.

Для визначення лінійності функції подамо її у вигляді полінома Жегалкіна:

F = /a/bc # /ab/c # /abc # a/bc # abc =

= (a # 1)(b # 1)c # (a # 1)b(c # 1) # (a # 1)bc # a(b # 1)c # abc =

= (ab # a # b # 1)c # (ac # a # c # 1)b # abc #bc # abc # ac # abc =

= abc # ac # bc # c # abc # ab # bc # b # abc # bc # abc # abc # ac =

abc # abc abc # abc # abc ( = abc)

ac # ac ( = 0)

bc # bc # bc ( = bc)

c ( = c)

ab ( = ab)

b ( = b)

= abc # bc # ab # c # b

Оскільки поліном містить добутки змінних, то функція не є лінійною

Отже, з п’яти необхідних виконуються тільки три умови. Функція зберігає константи «0» і «1», тому вона не утворює функціонально повну систему.

Завдання 2.2

Мінімізувати за допомогою методу Квайна-Мак-Класкі-Петрика функцію 5-ти змінних. Побудувати таблицю, яка ілюструє процес знаходження простих імплікант, і таблицю покриття. За допомогою метода Петрика визначити всі мінімальні розв’язки.

Варіант В2. Цифрова комбінація: 1ц1л 2ц1л 1ц2л 2ц2л 1ц3л 2ц3л 1ц4л 2ц4л

1 7 3 3 1 6 7 3

Функція, яку потрібно мінімізувати задана в таблиці 2.2.1.

Таблиця 2.2.1

№ набору	a b c d e	f
0	0 0 0 0 0	0
1	0 0 0 0 1	0
2	0 0 0 1 0	0
3	0 0 0 1 1	1 (x)
4	0 0 1 0 0	0
5	0 0 1 0 1	1
6	0 0 1 1 0	1 (x)
7	0 0 1 1 1	1
8	0 1 0 0 0	0
9	0 1 0 0 1	0 (x)
10	0 1 0 1 0	1
11	0 1 0 1 1	1
12	0 1 1 0 0	0 (x)
13	0 1 1 0 1	0
14	0 1 1 1 0	1
15	0 1 1 1 1	1 (x)
16	1 0 0 0 0	0
17	1 0 0 0 1	0
18	1 0 0 1 0	0 (x)
19	1 0 0 1 1	1
20	1 0 1 0 0	0
21	1 0 1 0 1	1 (x)
22	1 0 1 1 0	1
23	1 0 1 1 1	0
24	1 1 0 0 0	0 (x)
25	1 1 0 0 1	1
26	1 1 0 1 0	1
27	1 1 0 1 1	1 (x)
28	1 1 1 0 0	0
29	1 1 1 0 1	0
30	1 1 1 1 0	1 (x)
31	1 1 1 1 1	1

Кожний третій набір для функції f має невизначене значення, починаючи з першого згори одиничного значення.