Завдання №11 Тема: „Моделі встановлення рівноважної ціни”

1. а) Нехай задані функція попиту на товар та функція пропозиції одно продуктової фірми . На основі „павутиноподібної” моделі з дискретним часом побудувати та реалізувати алгоритм знаходження рівноважної ціни . Значення рівноважної ціни обчислити з точністю до (за початкову ціну взяти будь-яке додатне число). Процес знаходження проілюструвати графічно. б) Підібрати опуклу вниз функцію пропозиції для якої процес знаходження рівноважної ціни згідно з „павутиноподібною” моделлю є розбіжним. Рівняння розв’язати одним з ітераційних методів розв’язування скалярних нелінійних рівнянь [3,8].

2. а) Побудувати модель встановлення рівноважної ціни з неперервним часом (модель Еванса), якщо відомі результати спостережень і відповідно попиту і пропозиції деякого товару на ринку. Визначити рівноважну ціну і переконатися , що . Б) Для побудованих у підпункті а) прямих сукупного попиту і сукупної пропозиції проілюструвати дискретний аналог моделі Еванса та утворення послідовності цін, збіжної до рівноважної ціни .

3. Привести приклад функції надлишкового попиту для якої модель Самуельсона (модель встановлення рівноважної ціни на ринку багатьох товарів) має рівноважний вектор цін і процес формування цін є глобально стійким.

Допоміжний теоретичний матеріал. Існують різні моделі встановлення рівноважної ціни на ринку одного товару. До таких моделей належать, зокрема „павутиноподібна” модель з дискретним часом та модель Еванса з неперервним часом.

Нехай та - визначені і неперервні при всіх функція попиту та пропозиції. Крім того,

Логічно вважати функцію опуклу (опуклу вниз), а функцію - угнуту (опуклу вгору). Стан рівноваги характеризується рівністю попиту і пропозиції:

(11.1)

У випадку, коли рівняння (11.1) не вдається розв’язати точно, алгоритм знаходження рівноважної ціни включає в себе такі етапи

1. У початковий момент часу фіксується початкова ціна . Якщо то . У протилежному випадку переходимо до пункту 2.

2. Якщо то ціна спадає до величини , для якої . Далі, враховуючи, що ціна зростає до величини , при якій і т. д. Це приводить нас до ітераційного процесу

(11.2)

який збігається до рівноважної ціни тобто

(11.3)

Якщо то ціна зростає до величини ,для якої Потім ціна спадає до величини , при якій

І т.д. Це знову приводить нас до ітераційного процесу (11.2), для якого виконується (11.3).

3. Ітераційний процес завершується, якщо

де - задана точність обчислень.

Якщо функція є опуклою, то процес (11.2) може бути розбіжним. В цьому випадку слід скористатись відомими методами розв’язування скалярних нелінійних рівнянь, наприклад, методом простої ітерації, методом хорд (січних), методом дотичних (Ньютона), комбінованим або іншими методами. Вибір методу суттєво залежить від деяких допоміжних властивостей, якими задовольняють функції і . Процес розв’язування рівняння (11.1), тобто рівняння складається з двох етапів: відокремлення кореня рівняння (встановлення відрізка мінімальної довжини, в якому міститься корінь) та уточнення кореня (безпосереднє його знаходження одним із згаданих вище методів).

Модель Еванса, як і багато інших моделей встановлення рівноважної ціни, базується на припущенні: зміна ціни залежить від різниці між попитом і пропозицією. Зокрема, зміна ціни з часом прямо пропорційна цій різниці з деяким коефіцієнтом

Якщо і (при нульовій ціні попит перевищує пропозицію), то при відомому модель Еванса з неперервним часом формалізується у вигляді наступної задачі Коші:

(11.4)

Розв’язком задачі (11.4) є функція

(11.5)

Для функції (11.5)

(11.6)

де і є стаціонарною (рівноважною) точкою. Співвідношення (11.6) означає, що не залежить від початкової ціни , а процес формування цін є глобально стійким [2].

У випадку, коли відомі результати спостережень та при побудова моделі (11.4) практично зводиться до побудови прямих ліній і , тобто до ідентифікацій параметрів . Системи нормальних рівнянь (які випливають з методу найменших кадрів) для знаходження параметрів та відповідно мають вигляд

(11.7)

та

(11.8)

Розв’язавши системи (11.7), (11.8), ми одержимо ідентифіковану модель Еванса. Графічна ілюстрація дискретного аналогу цієї моделі та процесу утворення послідовності цін, збіжної до рівноважної ціни p, є елементарною задачею.

Для випадку n – товарного ринку (n 2) аналогом моделі Еванса служить моделі Самуельсона.

(11.9)

де - однозначна та неперервна при всіх функція надлишкового попиту, а - так званий коефіцієнт регулювання ціни на і – ий товар. Доповнивши (11.9) початковими умовами

(11.10)

отримаємо задачу Коші (11.9), (11.10) для знаходження конкретної траєкторії p(t). Важливим результатом дослідження моделі Самуельсона є наступне твердження.

Теорема: Нехай для моделі динаміки цін (111.9) виконуються умови:

1) ;

2) вектор – функція E(p) однозначна, неперервна на Р і нерозкладна;

3) виконується закон Вальраса у вузькій формі, тобто

;

4) функція E (p) є додатно однорідною нульового степеня, тобто

при

5) існує рівноважний вектор цін

6) функція Е (р) обмежена знизу Р.

Тоді процес формування цін (11.9) є глобально стійким, тобто при довільному

Зауважимо, що функція Е (р) називається нерозкладною, якщо для будь – яких векторів з того, що і Ø, випливає, що для всіх , причому принаймні для одного такого і дана умова має вигляд строгої нерівності.

Таким чином, успішне застосування моделі Самуєлбсона зв’язано з побудовою функції Е (р) яка задовольняла б умови сформульованої вище теореми. Для поглибленого вивчення моделей встановлення рівноважної ціни рекомендується література [2, 19].

У таблиці 5 пропонується конкретні функції і для побудови „павутиноподібної” моделі встановлення рівноважної ціни.

Таблиця 5

Варіанти	Функції
1
2
3		Іn
4		Ig
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Варіанти вихідних даних для побудови моделі Еванса подані у таблиці 6.

Таблиця 6

Таблиця 6

Варіант 1		Варіант 2		Варіант 3
120,6	60,2	150,5	52,7	129,9	20,5
115,7	65,3	140,4	57,2	100,8	30,4
100,5	68,4	130,3	60,6	90,9	35,6
102,8	70,1	120,2	65,4	80,2	40,2
98,6	80,2	110,8	70,2	78,3	42,6
92,4	81,3	100,1	72,8	75,4	48,7
90,9	82,4	90,9	78,8	60,7	50,6
85,8	100,1	89,9	85,5	56,5	55,2
80,2	101,2	88,8	90,9	52,3	60,6
75,3	102,3	40,1	100,2	42,4	65,9

Продовження таблиці 6

Варіант 4			Варіант 5		Варіант 6
170,7	80,8	190,9		70,1	200,7	82,2
165,6	90,9	188,2		72,3	198,6	84,4
150,5	92,3	185,3		75,2	195,4	85,7
145,4	95,4	180,4		80,4	190,2	86,8
130,3	98,2	175,5		84,5	188,7	89,9
120,2	105,4	170,4		88,6	185,6	93,2
110,1	108,2	165,3		90,4	180,4	99,1
100,2	115,4	160,2		92,5	175,1	101,2
98,4	117,1	105,3		95,1	170,7	103,5
90,5	120,2	90,1		97,7	168,2	108,7

Продовження таблиці 6

Варіант 7		Варіант 8		Варіант 9
220,9	90,3	100,1	9,9	180,1	120,2
218,2	92,4	97,7	13,3	175,5	125,5
214,1	94,6	92,5	20,2	172,2	130,2
210,2	99,8	90,6	25,8	170,1	133,8
200,3	102,7	82,7	31,7	167,7	139,9
195,5	104,8	72,6	66,6	163,9	1452,7
190,4	111,9	62,5	72,2	159,1	146,6
188,9	118,2	51,9	78,8	155,5	150,5
185,1	120,3	47,7	83,3	150,1	155,2
180,2	122,4	44,4	90,7	148,2	160,1

Продовження таблиці 6

Варіант 10
60,9	10,1
57,8	20,2
53,7	30,3
50,6	40,4
45,5	60,6
40,4	80,8
37,2	110,3
30,1	140,4
29,2	170,5
20,5	180,2

Варіанти 11-20 можна сформувати, наприклад, з варіантів 1-10 шляхом зміни стовпчика на відповідний стовпчик іншого варіанту.

Завдання 12