Завдання №6 Тема: „Виробничі функції структурного типу та їх побудова”

Нехай - вектор випуску продукції, - вектор максимально допустимих об’ємів виробничих ресурсів, - технологічна матриця, що складається з невід’ємних елементів (матриця питомих виробничих затрат продукції і на випуск одиниці продукції j), - вектор питомих оцінок випущеної продукції. В залежності від змісту вектора с можна по різному конкретизувати мету досліджуваного виробничого об’єкта. Будемо вважати, що с – вектор питомих доходів від реалізації продукції. Тоді метою виробника є максимізація агрегованого продукту, яким є сумарний дохід <c, Враховуючи вказану мету та технологічні обмеження, пов’язані з наявним вектором виробничих ресурсів х, прийдемо до наступної задачі:

(6.1)

де Y(x)= . Вважаючи вектор х параметром, легко переконатися в тому, що задача лінійного програмування (6.1) неявно задає функцію

(6.2)

яка кожному ставить у відповідність невід’ємне значення <c, де - розв’язок задачі (6.1) при заданому х. Функція (6.2) визначена в області Ø . Вона є виробничою функцією максимального випуску і належить до класу виробничих функцій структурного типу. Потрібно:

1. Дослідити властивості виробничої функції (6.2) та уточнити її характеристики

2. При n=2 і заданих А, с побудувати функцію (6.2) уявному аналітичному вигляді.

Допоміжний теоретичний матеріал. Проблема побудови виробничих функцій, які у функціональній формі формалізують залежність результату виробництва від виробничих ресурсів, що забезпечують при вибраній технології функціонування виробничого процесу, належить до розряду актуальних. При побудові таких функцій можна виділити два основних підходи: економетричний (статистичний) і структурний. Ці підходи відповідають двом типам моделей економічних об’єктів – функціональними і структурному. Метою даного завдання є використання структурного підходу. Властивості функції (6.2) можна дослідити за допомогою її неявного задання (6.1). виявляється, що ця функція є угнутою (опуклою вгорі), неперервною у всіх внутрішніх точках області задання, монотонно неспадною по кожному з компонентів вектора х, додатно однорідною першого степеня і в загальному випадку кусково-лінійною [6-8, 15]. Оскільки функція (6.2) є лінійно однорідною першого степеня, то користуючись формулою (5.6), легко встановити, що для неї еластичність виробництва e(f)=1, крім того, =0, як і у випадку виробничої функції з постійними пропорціями. Зауважимо також, що в частинному випадку функція (6.2) може бути зведена до функції з постійними пропорціями, тобто задача (6.1) переходить у задачу (5.7) (при )

Метод побудови функції (6.2) уявному аналітичному вигляді [6] базується на результатах теорії двоїстості для задач лінійного програмування [1,4,5]. Двоїстою до (6.1) буде задача:

(6.3)

де . Для того, щоб виписати функцію (6.2) у явному аналітичному вигляді, потрібно знайти вершини множини , визначити області лінійності даної функції, що відповідають кожній з вершин та сформувати шукану аналітичну залежність, користуючись критерієм оптимальності розв’язку задачі (6.3) і умова двоїстості для задач (6.1) і (6.3). Визначення вершин множини зводиться до знаходження опорних розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь

(6.4)

де - допоміжний невід’ємний n – невимірний вектор ( у випадку, коли матриця А не має жодного базисного вектора – стовпця). Опорні розв’язки системи (6.4) можна знайти методом Жордана–Гауса, в якому провідний елемент вибирається за допомогою симплексних перетворень. Якщо - множина всіх вершин множини , які можуть бути оптимальними для задачі (6.3), то функція (6.2) має вигляд

(6.5)

де - згадані вище під області лінійності функції (6.5).

Наприклад, для задачі (6.1) при n=m=2, , маємо такі результати:

r=2, ,

Для задачі (6.1) при n=m=2, , , відповідно r=3, ,

Зауважимо, що сферою застосування функції (6.2) є, зокрема, задачі виробничого менеджменту та аналізу способів виробничої діяльності. Крім того, запропоновану методику можна використати як для побудови виробничих функцій оптимальних випусків, так і для побудови виробничих функцій оптимальних затрат, а також інших залежностей в економіці.

Варіанти вихідних даних для завдання №6

1). , 2). ,

3). , 4). ,

5). , 6). ,

7). , 8). ,

9). , 10). ,

11). , 12). ,

13). , 14). ,

15). , 16). ,

17). , 18). ,

19). , 20). , .