Тема: ”Моделі поведінки споживачів та їх застосування”

1.Якщо - функція попиту, побудована на основі неокласичної задачі споживання, то називається непрямою функцією корисності. Користуючись принципом вилучення податків типу рівності „жертв”, згідно з якими const для всіх I, де - частина доходу, що служить податку, на дохід I, визначити аналітичний вигляд функцій податків - (тобто залежність податків від доходу) у випадку:

а) квадратичної функції корисності

<l,x>= <Hx,x>+<l,x>, (3.1)

де H= -симетрична від’ємно визначена матриця, а вектор додатний;

б) логарифмічної функції корисності

(3.2)

де > ;

в) функції корисності з постійною еластичністю

(3.3)

де > < <

формули для P(I) вивести при n=2.

2. Для кожної з функцій корисності (3.1)-(3.3) дослідити властивості побудованих функцій P(I).

3. Для кожного з досліджуваних випадків розрахувати числові значення податків в точках

Допоміжний теоретичний матеріал. Насамперед відзначимо, що додаткові обмеження, які накладені для кожної з функцій корисності. Визначають змістовну область задання відповідної функції. Наприклад, для того, щоб квадратична функція корисності була неокласичною, достатньо, щоб матриця Гессе а вектор

де 0 R .

Зрозумілим є також обмеження на логарифмічну функцію корисності і функцію корисності з постійною еластичністю. При цьому зауважимо, що еластичність функції (3.3)визначається так:

.

Побудова залежності податків від доходу P(I) апріорі передбачає знаходження функції попиту , тобто розв’язування системи рівнянь (1.3). У випадку (1.3) функції попиту для кожного з товарів будуть лінійними відносно I, а побудова P(I) у кінцевому результаті зведеться до розв’язування квадратного рівняння

(c=const) (3.4)

відносно P(I).Зазначимо також, що можна вказати і на інший шлях знаходження P(I). Вважаючи I незалежною змінною, - залежною змінною, а всі зміни, що фігурують у (3.4),- параметрами, можна розглянути співвідношення (3.4) як неявне задання функції P=P(I). Продиференціювавши (3.4) по I, дістанемо вираз для P(I), тобто матимемо деяке диференціальне рівняння. В загальному випадку таке рівняння може бути складним.

Для функції (3.2) функції попиту також є лінійними відносно I. Підставивши їх у (3.4) та зробивши відповідні перетворення, можна одержати P(I) одним із вказаних вище способів.

Розв’язавши систему (1.3) для функції (3.3) та скориставшись отриманими функціями попиту і співвідношенням (3.4) , матимемо нелінійне відносно P(I) рівняння, яке легко розв’язується.

Виконання другого та третього пунктів даного завдання є елементарною задачею. При цьому у всіх розрахунках взяти

, де задані для всіх варіантів у таблиці 1.

Зауважимо, що необхідний теоретичний матеріал, який потрібно засвоїти студентам, є у раніше рекомендованій літературі.

Завдання №4 Тема: ”Функціональні моделі виробничих процесів. Степеневі виробничі функції”

У рамках неокласичної теорії виробництва виробничий процес моделюється, зокрема, як процес перетворення ресурсів у продукцію. Тоді, наприклад, у випадку одно продуктового виробництва однозначне відображення типу „зарплати-випуск” служить моделі виробничого процесу і називається виробничою функцією (функцією випуску). Для неокласичної степеневої двох факторної виробничої функції

: (4.1)

1. Перевірити гіпотези про „відсутність рогу достатку”, монотонності, угнутості, однорідності;

2. Знайти числові значення параметрів а, користуючись відповідними даними таблиці 3

3. На основі конкретної параметричної залежності (4.1) визначити основні характеристики виробничого процесу і дати економічну інтерпретацію отриманим результатам.

4. Показати, що двох факторна лінійно однорідна функція (4.1) (тобто при еквівалентна одно факторній виробничій функції у= , де Для перевірити виконання неокласичної гіпотез та виписати формули для середньої ефективності, граничної ефективності, еластичності випуску.

Допоміжний теоретичний матеріал. Для з’ясування сутності основних гіпотез (чи припущень), які відображають економічні закономірності виробництва, а також інших пов’язаних з ними питань слід ознайомитись з основами теорії виробничої функції [ 2, с.207-241], [19,с.41-49], [13,с16-28], [11,с.47-72, с. 90-104], [14, с.67-113], [20].

Задача ідентифікації параметрів а розв’язується наступним чином. Про логарифмувавши (4.1), перейдемо від (4.1) до еквівалентного співвідношення F=A+ (4.2)

де F=Inf, A=Ina, . Параметри (а значить і а= ) знаходимо, розв’язуючи систему лінійних алгебраїчних рівнянь (вона випливає з методу найменших квадратів):

(4.3)

де (під час проведення числових розрахунків взяти n=10). Як відомо, система (4.3) називається системою нормальних рівнянь і має єдиний розв’язок, оскільки її головний визначник відмінний від 0 ( а більш точно він є додатнім). Очевидно, співвідношення (4.1) – (4.3) легко переносяться на випадок m- факторної виробничої функції (m>2).

На основі побудованої неокласичної виробничої функції можна обчислити цілий ряд числових характеристик виробничого процесу. До найголовніших з них належать середня та гранична ефективності ( продуктивності) і-го ресурсу, еластичність випуску (або коефіцієнт еластичності) відносно і-го ресурсу, еластичності виробництва e(f), гранична норма заміщення j-го ресурсу і-им ресурсом, еластичність заміщення ресурсів і та j .Формули для обчислення вказаних характеристик мають вигляд:

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

З (4.8) однозначно випливає, що у загальному випадку всі характеристики є функціями відповідних аргументів. Характеристики (4.4)-(4.6) обчислюються при фіксованих значеннях всіх ресурсів, крім і-го, а характеристики (4.7), (4.8) – при фіксованих значеннях інших ресурсів, крім і-го та j-го. Економічний зміст (4.4) – (4.8) такий:

- середній випуск на малу одиницю і-го ресурсу;

- граничний приріст випуску на малу одиницю приросту і-го ресурсу;

- процентний приріст випуску на 1% приросту і-го ресурсу;

e(f) – сумарна еластичність виробництва;

- кількість одиниць і-го ресурсу, яка потрібна для вибувшої однієї малої одиниці j-го ресурсу, щоб випуск не змінився;

- процентний приріст відношення (ресурсів I та j) на 1% приросту граничної норми заміщення відповідних ресурсів.

Зауважимо також, що граничний (марженальний) аналіз виробництва вдається здійснити лише завдяки тому, що неокласичні виробничі функції є як мінімум двічі неперервно диференційовані. Зазначимо також, що при ресурси повністю заміщаються, а при ресурси зовсім не заміщаються.

Скориставшись властивістю лінійної однорідності функції, прийдемо до встановлення еквівалентності між функціями (4.1) при і , а отже і виконаємо останній пункт даного завдання

Варіанти вихідних даних для завдання №4 подані у таблиці 3

Таблиця 3

Варіант 1			Варіант 2
60.1	54.1	106.1	73.8	65.1	302.5
61.7	55.2	125.1	74.8	65.3	325.2
62.8	56.3	180.7	76.1	66.2	340.6
63.5	57.4	195.8	77.1	67.1	350.8
65.1	58.5	210.9	79.2	69.2	360.2
66.6	59.8	230.1	80.1	70.2	370.1
68.1	60.7	250.2	81.2	71.3	375.5
69.9	61.6	270.3	82.1	72.6	380.6
70.1	62.9	290.4	83.3	73.9	385.1
72.1	64.1	310.5	84.1	74.5	390.2

Продовження таблиці 3

Варіант 3			Варіант 4
70.1	60.5	122.5	85.2	74.5	310.3
71.3	61.6	144.6	87.1	76.2	330.4
72.4	62.7	166.7	88.2	78.1	350.5
73.5	63.1	188.8	90.1	80.1	370.6
75.1	64.2	199.9	91.1	82.2	390.8
76.2	65.5	210.1	92.2	83.3	394.4
77.7	67.2	230.2	93.1	84.2	399.1
79.2	69.1	250.1	95.1	86.6	402.2
71.2	71.1	270.2	96.2	87.1	403.9
83.1	73.2	290.3	97.5	88.4	405.1

Продовження таблиці 3

Варіант 5			Варіант 6
73.1	80.8	160.6	52.2	60.6	100.5
74.2	81.2	161.5	53.3	62.3	101.6
75.0	82.3	163.3	54.1	64.4	102.7
76.2	84.1	164.2	55.2	66.2	104.8
77.3	85.5	166.5	56.3	67.9	106.2
78.1	86.6	167.2	57.7	69.2	107.3
79.2	87.7	168.8	58.1	71.3	110.2
80.0	90.1	170.1	59.9	74.5	112.7
81.2	92.2	172.2	61.2	76.2	114.5
83.1	95.1	175.3	63.4	78.5	116.8

Продовження таблиці 3

Варіант 7			Варіант 8
73.1	80.8	160.6	52.2	60.6	100.5
74.2	81.2	161.5	53.3	62.3	101.6
75.0	82.3	163.3	54.1	64.4	102.7
76.2	84.1	164.2	55.2	66.2	104.8
77.3	85.5	166.5	56.3	67.9	106.2
78.1	86.6	167.2	57.7	69.2	107.3
79.2	87.7	168.8	58.1	71.3	110.2
80.0	90.1	170.1	59.9	74.5	112.7
81.2	92.2	172.2	61.2	76.2	114.5
83.1	95.1	175.3	63.4	78.5	116.8

Продовження таблиці 3

Варіант 9			Варіант 10
30.1	40.2	70.5	10.2	15.5	40.8
31.3	41.4	72.3	12.3	17.1	45.9
32.4	42.4	74.2	14.1	19.2	50.2
35.2	45.2	78.3	16.2	21.3	53.4
36.6	47.1	80.5	18.1	24.2	58.5
38.2	49.3	85.4	19.9	26.2	64.7
40.1	51.2	88.5	22.1	29.5	70.7
43.2	54.3	91.2	24.4	31.6	75.6
45.1	58.2	99.1	26.6	33.1	79.9
50.1	62.3	105.4	28.1	36.6	85.6

Варіанти 11-20 формуються з варіантів 1-10 шляхом заміни стовпчика „ ” на відповідний стовпчик, взятий з варіантів 10-1.