8.2 Бинарный алгоритм вычисления нод

Бинарный алгоритм вычисления НОД, как понятно из названия, находит наибольший общий делитель, а именно НОД двух целых чисел. В эффективности данный алгоритм превосходит метод Евклида, что связано с использованием сдвигов, то есть операций деления на степень 2-ки, в нашем случае на 2. Компьютеру проще поделить (умножить) на 2, 4, 8 и т.д., чем на какое-либо другое число. Но в тоже время бинарный алгоритм уступает алгоритму Евклида в простоте реализации. Для дальнейшего усвоения материала следует ознакомиться со свойствами, которыми обладает НОД двух чисел A и B. Потребуются не все свойства, а только три следующих тождества:

1. НОД(2A, 2B) = 2НОД(A, B)

2. НОД(2A, 2B+1) = НОД(A, 2B+1)

3. НОД(-A, B) = НОД(A, B)

Теперь рассмотрим этапы работы алгоритма. Они основываются на приведенных свойствах наибольшего общего делителя.

1. инициализируем переменную k значением 1. Ее задача – подсчитывать «несоразмерность», полученную в результате деления. В то время как A и B сокращаются вдвое, она будет увеличиваться вдвое;

2. пока A и B одновременно не равны нулю, выполняем

   • если A и B – четные числа, то делим надвое каждое из них: A←A/2, B←B/2, а k увеличивать вдвое: k←k*2, до тех пор, пока хотя бы одно из чисел A или B не станет нечетным;

   • если A – четное, а B – нечетное, то делим A, пока возможно деление без остатка;

   • если B – четное, а A – нечетное, то делим B, пока возможно деление без остатка;

   • если A≥B, то заменим A разностью A и B, иначе B заменим разностью B и A.

3. после выхода из 2-ого пункта, остается вернуть в качестве результата произведение B и k: НОД(A, B)=B*k.

Код программы на C++:

int NOD(int A, int B) //бинарный алгоритм вычисления НОД

{

int k=1;

while ((A!=0) && (B!=0))

{

while ((A%2==0) && (B%2==0))

{

A/=2;

B/=2;

k*=2;

}

while (A%2==0) A/=2;

while (B%2==0) B/=2;

if (A>=B) A-=B;

else B-=A;

}

return B*k;

}

void main() //главная функция

{

int A, B;

cout<<"A > "; cin>>A;

cout<<"B > "; cin>>B;

cout<<"НОД("<<A<<", "<<B<<")="<<NOD(A, B);

}

Код программы на Pascal:

var A, B: integer;

function NOD(A, B: integer): integer; {бинарный алгоритм вычисления НОД}

var k: integer;

begin

k:=1;

while (A<>0) and (B<>0) do

begin

while (A mod 2=0) and (B mod 2=0) do

begin

A:=A div 2;

B:=B div 2;

k:=k*2;

end;

while A mod 2=0 do A:=A div 2;

while B mod 2=0 do B:=B div 2;

if A>=B then A:=A-B

else B:=B-A;

end;

NOD:=B*k;

end;

begin {основной блок программы}

write('A > '); read(A);

write('B > '); read(B);

write('НОД(', A, ', ', B, '): ', NOD(A, B));

end.

Интересен тот факт, что алгоритм был известен еще в Китае 1-го века н. э., но годом его обнародования оказался лишь 1967, когда израильский программист и физик Джозеф Стейн опубликовал алгоритм. Ввиду этого встречается альтернативное название метода – алгоритм Стейна.