2.2 Математическая постановка задачи

Постановка задачи включает в себя множество допустимых решений и числовую функцию, определенную на этом множестве, которая называется целевой функцией.

Нельзя отождествлять критерий (критерии) оптимальности и целевую функцию.

Целевая функция - это аналитическая зависимость между критерием (критериями) оптимальности и подлежащими оптимизации параметрами с указанием направления экстремума.

Отличие понятий «критерий» и «целевая функция» состоит в следующем:

1. Целевая функция может включать в себя более одного критерия.

2. Для целевой функции всегда и обязательно указывается вид экстремума:

Различают два вида задач оптимизации:

1 Задачу минимизации.

2 Задачу максимизации.

Чтобы решить задачу минимизации функции на множестве, необходимо найти такой вектор (а также соответствующее значение целевой функции), чтобы неравенство: выполнялось для всех. При этом называют оптимальным решением (точнее здесь - минимальным решением), а - оптимумом (минимумом).

Чтобы решить задачу максимизации функции на множестве, необходимо найти такой вектор (а также соответствующее значение целевой функции), чтобы неравенство: выполнялось для всех. При этом называют оптимальным (максимальным ) решением, а- оптимумом ( максимумом ).

В общем виде находится именно вектор, т.к., например, при решении двухпараметрической задачи, он будет включать в себя два параметра, трехпараметрической - три параметра и т.д.

2.3 Бинарное решение

Отметим еще раз, что генетические алгоритмы – это процедура, которая исследует пространство строк определенной длины для нахождения хромосом с относительно высокой величиной пригодности. При подготовке использования ГА к частной проблеме первый шаг состоит в определении пути представления задачи на языке, подобном хромосомам. Алгоритм действий представлен на изображении 2.2.1

Рис. 2.3.1-Обобщенная структура генетического алгоритма

Один из примеров решения по данному алгоритму можно связать с нахождением наилучшей бизнес-стратегии. В этой задаче менеджеру необходимо выбрать лучшую стратегию среди возможных трех бинарных решений: – цена технологии (50 тысяч или 100.); – скорость внедрения (быстро или медленно); – скорость окупаемости (медленно, быстро). Цель заключается в нахождении комбинации этих трех решений (бизнес-стратегий), которая обеспечивает наибольший доход. Здесь имеются три переменные (цена, скорость, окупаемость), каждая из которых может принимать одно из двух значений. Тогда каждую возможную бизнес-стратегию можно представить в виде строки длиной m = 3 с алфавитом K = 2. Для каждой переменной значения 0 или 1 присваиваются одному из возможных вариантов выбора. Пространство поиска в этой задаче состоит из 8 возможных бизнес-стратегий. Мы будем рассматривать 5 из них (Табл.2.3.1).

Табл. 2.3.1 Первая популяция

Номер технологии	Цена	Скорость внедрения	Скорость окупаемости	Бинарное представление
1	Высокая	Высокая	Высокая	011
2	Высокая	Высокая	Низкая	010
3	Высокая	Низкая	Высокая	001
4	Низкая	Высокая	Низкая	110
5	Низкая	Низкая	Низкая	100

Выбор строки, состоящей из нулей и единиц, и отображения значений переменных в нули и единицы на определенных позициях строки, определяют схему представления для этой задачи. Предположим, что при решении задачи уровень знаний менеджера в этой области бизнеса крайне низок, в частности, он не знает:

- Какая из трех перемен наиболее важна;

- Каковы величины максимального дохода при оптимальном решении и потерь при ошибочном решении;

- Какая единственная переменная дает наибольшее изменение в доходе.

Менеджер также не знает, приближается ли он к глобальному максимуму путем ступенчатого изменения одной переменной, фиксируя ее при лучшем результате, а затем повторяя аналогичную процедуру с другой переменной и т. д. Возможно, переменные связаны некоторой зависимостью таким образом, что для достижения оптимума вначале необходимо идентифицировать и зафиксировать частную комбинацию двух переменных, а затем изменять оставшуюся. У менеджера есть единственная обратная связь с внешней средой – это доход, получаемый каждым рестораном еженедельно. Так как большей информации о внешней среде у менеджера нет, он может испытывать различные начальные случайные стратегии в каждом из четырех ресторанов. Стратегии, показанные в табл.2.2.1, можно использовать как начальные. В действительности менеджер работает так же, как и ГА. Работа ГА начинается с попыток узнать что-либо об окружающей среде тестированием ряда случайно выбранных точек в пространстве поиска. Выполнение ГА начинается с нулевой генерации, т. е. с популяции, состоящей из случайно созданных особей. В нашем случае размер популяции M = 5. В каждой генерации каждая строка (особь) оценивается с точки зрения приспособленности (пригодности) к внешней среде. Пригодностью в рассматриваемом примере может быть доход, прибыль, полезность и другие подобные характеристики. В табл. 2.3.2 показаны значения функции пригодности f(a_i) для рассматриваемого примера, где в качестве f(a_i) принят десятичный эквивалент бинарной строки

Табл. 2.3.2 Значения функции пригодности f(a_i)

Номер строки	Генерация 0
	Строка аi	f(ai)
1	011	3	0,21
2	010	2	0,14
3	001	1	0,07
4	110	5	0,35
5	100	4	0,28
Сумма		15	1,00
Лучшее значение		5
Среднее значение		3
Худшее значение		1

Эта таблица показывает пригодность для каждой из восьми хромосом в случайной исходной популяции, разработанной для данной задачи. Анализируя табл. 2.2.2, менеджер узнает конкретные значения пригодности (дохода) для каждой из четырех точек (стратегий) в пространстве поиска. Единственной информацией, используемой менеджером при выполнении ГА, служит величина меры пригодности отдельных строк, представленных в популяции. ГА, как было изложено выше, преобразует одну популяцию в другую посредством генетических операторов. Применим к нулевой генерации вначале оператор селекции, который является аналогом дарвиновского оператора репродукции. Эту процедуру выполняем копированием строк текущей популяции в следующую генерацию с вероятностью, пропорциональной значению функции пригодности. Воспользуемся здесь алгоритмом рулетки, разделенной на восемь неравных частей, которые пропорциональны относительной пригодности каждой строки (см последний столбец табл. 2.2.2) и показаны на рис. 2.3.1. Поясним более подробно построение и селекцию в рассматриваемом примере.

Рис. 2.3.1-Диаграмма соотношения выживаемости членов популяции

Сумма значений пригодности всех строк составляет 15 единиц, при этом лучшая строка в текущей популяции имеет пригодность, равную 5. Следовательно, часть пригодности всей популяции, вносимой строкой 110, есть 0,35.

В этой схеме селекции хромосома 110 обладает вероятностью, равной 0,35, с которой она может быть отобрана на каждую из четырех позиций в новой популяции. Исходя из этого, можно ожидать, что строка 110 будет занимать две из пяти строк в новой генерации. Однако следует учесть, что ГА по своей природе носит вероятностный характер, поэтому есть шанс, что строка 110 может появиться три раза или один раз в новой популяции (есть гораздо меньший шанс появиться четыре раза или не появиться вовсе в новой генерации). Каждая строка в исходной популяции отображается сектором рулетки, чей размер пропорционален пригодности строки. Понятно, что последние строки с наименьшей пригодностью имеют меньшие шансы оказаться выбранными, а строка 1 – наибольшие. После пяти вращений колеса (поскольку размер популяции составляет M = 5) были отобраны такие строки: 1, 2, 5, 4 и 4. В результате селекции строка 3 не вошла в новую популяцию, а строка 4 попала дважды. Родительский пул (набор строк, из которых путем скрещивания будут создаваться потомки) после селекции показан в табл.2.2.3.

Таблица 2.3.3 Родительский пул

Номер строки	Строка ai	f(ai)
1	011	3
2	010	2
4	110	5
4	110	5
5	100	4
Сумма		19
Худшее значение		2
Среднее значение		3,8
Лучшее значение		5

Результатом селекции является улучшение средней пригодности популяции (3,8 вместо 3 в исходной популяции). Кроме того, здесь худшее значение пригодности составляет две единицы, а в исходной популяции – одну единицу. Такие улучшения в популяции типичны для схем селекции, потому что особи с низкой пригодностью имеют тенденцию к исключению из популяции, в то время как строки с высокой пригодностью – к созданию дуплетов в новой генерации. Конечно, пригодность, связанная с наилучшей строкой в популяции, не может улучшиться в результате селекции, так как никаких новых хромосом в результате селекции не создается. Перейдем к оператору скрещивания, который позволяет создать новые особи. В результате применения этого оператора в пространстве поиска формируются новые точки, которые проверяются с точки зрения их пригодности. Оператор скрещивания создает двух потомков, которые обычно отличаются от своих родителей и друг от друга. Каждый потомок содержит некоторый генетический материал, приобретенный им от каждого родителя. Задаемся вероятностью скрещивания, например р_с = 0,5, что означает: только две строки из пяти будут подвергаться скрещиванию. Допустим, что для этой процедуры отобраны первые две особи из родительского пула: 011 и 110. Точка скрещивания определяется случайно, к примеру, после второго бита, т. е. 01–1 и 11– 0. В результате скрещивания получили два потомка: 010 и 111.

Таблица 2.3.4 Родители и потомки

Номер строки	Строка ai	f(ai)
1	011	3
2	110	6
3	010	2
4	111	7
5	101	5
Сумма		23
Худшее значение		2
Среднее значение		4,6
Лучшее значение		7

Пять строк в последней таблице представляют собой новую популяцию, созданную в результате применения селекции и скрещивания. Эти пять особей есть первая генерация при использовании ГА. Сравним результаты новой популяции с результатами исходной:

– средняя пригодность популяции увеличилась с 3 до 4,6;

– лучшая строка улучшилась с 5 до 7;

– худшая особь стала равной 2 вместо 1.

Лучшее решение, соответствующее строке 111, обеспечивает наибольший доход и является оптимальной стратегией. Таким образом, в этой задаче, не прибегая к еще одному оператору – мутации, добились оптимального результата, который приводит к бизнес-стратегии:

- Низкая цена технологии

- Быстрая скорость внедрения

- Быстрая окупаемость технологии.