1. Перспективные проекции геометрических фигур

Сущность способа построения перспективных проекций плоских фигур и объёмных геометрических тел основан на применении центрального проецирования (см. раздел 1.2). Для построения перспективы геометрического объекта, например в виде треугольника ABC, на картинной плоскости П_K проекций (картине) из некоторой точки S (точки зрения) проводят проецирующие лучи i, j и k (лучи зрения) к вершинам A, B и C треугольника (рис. 1.1). На плоскости П_K находят точки пересечения этих лучей с картиной. Последовательно соединяя найденные точки A_K,

B_K и C_K получают искомое изображение (перспективу) треугольника ABC на плоскости.

Рис. 1.1

1. Виды перспективных изображений. В зависимости от вида поверхности, на которой получают перспективные изображения, их разделяют на линейные (изображения на плоскости), панорамные (изображения на цилиндрической поверхности) и купольные (изображения на поверхности сферы).

Линейная перспектива является основой реалистического художественного рисунка и широко применяется на этапах эскизного проектирования промышленного и ландшафтного дизайна, дизайна интерьера и экстерьера. Ограничимся рассмотрением получения изображений геометрических фигур в линейной перспективе.

Изображения предметов, выполненных в линейной перспективе, отличаются большой наглядностью. Перспектива предмета в основном соответствует тому, что видит глаз человека, т.е. она фиксирует кажущиеся изменения величины и формы изображаемого предмета, связанные с его расположением и удалённостью от наблюдателя. Вызвано это тем, что процесс зрения в геометрическом смысле тождественен методу центрального проецирования.

2. Элементы линейной перспективы. Основными элементами линейной перспективы (рис. 1.2) являются: вертикально расположенные картинная плоскость П_K (картина) и плоскость Ν, в которой находится глаз наблюдателя; горизонтально расположенные предметная плоскость Τ и плоскость горизонта Η; hh=H Π_K – линия горизонта; OO= Τ Π_K – основание картины; S – центр проецирования (точка зрения); SP – центральный или главный луч (перпендикуляр к Π_K из точки зрения S); P – главная точка картины (центр картины); SP – главное расстояние; A – проецируемая точка объекта; A_T, S_T – соответственно основания точек A и S

(ортогональные проекции, вторичные проекции); A_KB – перспектива вторичной проекции A_Τ точки A; A_K – перспектива точки A; A_KΤ – точка пересечения отрезка прямой A_TS_T с основанием картины OO.

1.1. Перспектива точки

Положение точки в предметном пространстве вполне определяют её аксонометрическая A и вторичная A_T проекции (рис. 1.3, а). Для нахождения перспективы A_K точки A необходимо точки A_T и S_T соединить отрезком прямой, найти точку A_KT пересечения его с основанием OO картины и из этой точки восстановить перпендикуляр к нему до пересечения его с проецирующим лучом SA (лучом зрения) в точке A_K.

Рис. 1.3

На пересечении отрезка SA_T с перпендикуляром A_KT A_K находится перспектива A_KB вторичной проекции A_T точки A. Следует отметить, что построение перспективы A_K точки A нужно начинать с построения перспективы A_KB вторичной проекции A_T точки A. При этом, как видно из рис. 1.3, б, на картинной плоскости Π_K, расположенной фронтально, перспективы A_K и A_KB всегда находятся на одном перпендикуляре к основанию OO картины.

Точка A предметного пространства может быть расположена вблизи от Π_K и выше Τ, на бесконечно удалённом расстоянии от Π_K и на плоскостях Π_K или Τ.

1. Перспектива точки, расположенной в ближнем пространстве выше предметной плоскости Τ. Построение перспективы A_K точки A, расположенной недалеко от плоскости Π_K и выше плоскости Τ, показано на рис. 1.3, а. Перспектива A_KB вторичной проекции A_T точки A на картинной плоскости Π_K (рис. 1.3, б) расположена вместе с перспективой A_K на одном перпендикуляре к основанию OO картины.

2. Перспектива бесконечно удалённой точки, расположенной выше предметной плоскости Τ. Пусть точка A, расположенная на луче зрения SA, удаляется от картинной плоскости Π_K в положение A¹, A² и т. д., стремясь к бесконечности (рис. 1.3, а). При перемещении точки из положения A в положение A¹ перспектива точки A¹останется в точке A_K, а перспектива вторичной проекции поднимется вверх к линии горизонта hh на величину Δz и угол φ¹ наклона луча, определяющего перспективу вторичной проекции, станет меньше угла φ.

По мере дальнейшего удаления точки A от Π_K в положение A² величина Δz увеличится, а угол φ² ещё более уменьшится. При удалении точки A в бесконечность угол φ будет равен нулю, а луч, направленный из точки S в бесконечно удалённую вторичную проекцию точки , будет параллелен плоскости Τ и пересечёт картинную плоскость Π_K на линии горизонта hh в точке (рис. 1.3 а, б).

Таким образом перспектива бесконечно удалённой вторичной проекции точки предметного пространства всегда находится на линии горизонта. Очевидно, что чем дальше точка расположена от картинной плоскости Π_K, тем больше расстояние от перспективы вторичной проекции точки до основания OO картины и наоборот.

3. Перспектива точки, расположенной на картинной плоскости Π_K. Если точка A расположена на картинной плоскости Π_K, то перспектива A_K совпадает с самой точкой (рис. 1.4 а, б). Очевидно, что независимо от места расположения точки A на картинной плоскости Π_K перспектива A_KB вторичной проекции также совпадает с вторичной проекцией A_T и всегда расположена на основании OO.

A≡A_K

Рис. 1.4