Добавил:

Yanus Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Haustova_Kichigina-alg

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

456.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

АВ = a

+ 4b, BC = - a

- b,

2 , (a, b ) = 3p/ 4 .

Вычислить прa

b , если

11. Даны векторы a

− n, b = m

4n .

, ( m , n ) = 3π / 4.

12.

При каком положительном значении параметра

b = ℓp + 2q имеют одинаковую длину, если

13.

Даны векторы

= m

+ 2n, b

−5n .

ℓ векторы a = p − q							и
	= 0,5	,	p q ?

	Найти					,	если

				a	+ b

= 1/

= 1/ 4 , ( m , n ) = π / 4 .

14.

В треугольнике АВС найти длину

АС , если

АВ =

b, СВ

= a + b,

(a,

) = p/ 6.

= 3,

= 1,

15. Даны векторы

b = -

Найти

если

a = 7m + 2 n,

- n .

-b

= 1 (3

=1 4, ( m, n ) = π / 4 .

16. Дан вектор b = 3m

- n . Найти косинус угла между векторами b

m , если

= 1

= 1/ 2, ( m, n ) = 3π / 4 .

17.

b =

прa 3b ,

Даны

векторы

+ 2 n,

- n .

Найти

если

=1/ 4, , ( m, n ) =3π 4 .

18.

Даны

векторы

Найти

a = m +

2 n,

= 2m - n .

× b + a × m

a × n,

= 1

= 1 4, ( m, n ) = 5π / 4 .

19. Даны векторы

a =

p + ℓq,

b = 3p + q. При каком значении параметра

ℓ

(p,

q ) = 3p/ 4?

вектор a ^ b , если

= 2,

20. Дано:

= 3,

век-

= 5, ( m, n ) =

. При каком значении параметра α

взаимно перпендикулярны?

торы m + αn

и 2m − n

21.

Дан вектор a = 2m + n,

где

и n -

единичные векторы, образующие

угол 1200 . Найти косинус угла между векторами a

и m .

22.

прa

(a −3m) ,

Даны

векторы

a =

2 n, b

= 2m - n .

Найти

если

= 1/ 2 , ( m, n ) = 5π / 4.

= 1 18 ,

вектор a = m + 3n.

прm (a + n) ,

= 1

= 1/ 4,

23.

Дан

Найти

если

8 ,

( m, n ) = π / 4 .

+3b , если

24. Даны векторы

a =

m + 2 n,

= 2m

- n .

Найти длину вектора 2a

= 1/ 4 , ( m, n ) = 5π / 4 .

1 18 ,

25.

Даны

векторы

a = m

2 n, b

- n .

Найти

× a

-b × a ,

если

= 1/ 4 , ( m , n ) = π / 4 .

1 18 ,

образуют угол p/ 3 . Зная, что

= 4, найти длину

26. Векторы

и b

вектора с = 3a +3b .

27. При каком значении параметра a ¹ 0 вектор a = αp + 5q

будет единичным,

если

= 3,

= 1/ 2,

(p,

q ) = 2p/ 3?

28. При каком значении α

векторы p

= 2a + 3b, q

= aa + 3b имеют одинако-

= 2, (a,

) = 3p/ 4 ?

вую длину, если

29. В треугольнике АВС найти косинус внутреннего угла при вершине В, если

АВ =

- 2n, BC

= 2m -n , где

= 2,

( m , n )=1200 .

30.

Даны векторы

При каком значении параметра

S = 2m

+an, t

= 3m

- 2n .

α вектор

если

= 1,

2 , ( m ,

n ) = 3π / 4 .

S ^ t ,

Задача 13. При решении этой задачи будем использовать свойства векторного

произведения двух векторов. Модуль векторного

произведения двух векторов

= 0. По свойствам векторного произведения

a ´ b

sin a , b, поэтому

a ´ a

a ´ b = -b ´ a , (aa + bb)´ c = a × a ´ c + b × b ´ c. Площадь параллелограмма,

постро-

Площадь треугольника, построен-

енного на векторах

a и b , равна

´ b

ного на векторах

и b :

SТ =

a ´ b

Пример 13.

ABCD даны

параллелограмме

векторы

AB = 2m - n

CA ´ BD

= 4,

AD = m +

3n. Найти

если

(m, n ) =

Это условие в

параллелограмме

ABCD

вектор

AC = AB + AD = 2m - n

+ m

3n =

+ 2n.

Тогда

Вектор

CA = -2n

- 3m .

= AD - AB = m +

- 2m

+ n

= 4n

- m;

CA ´ BD = (− 2n − 3m)× (4n − m) = −8n × n + 2n × m − 3m × 4n + m × m =

= 2n × m + 12n × m = 14n × m;

CA ´ BD

14n

´ m

= 14

× sin

= 14 × 4× 2 ×

= 28 2.

Контрольные варианты к задаче 13

1. На векторах

и b =

построен треугольник. Найти его пло-

a = 2m

− 5n

3m + n

= 1,

щадь, если

3 ,

(m, n) =

2. Даны векторы

Найти модуль век-

a =

m + 3n ,

b = 4m

− n

= 3m

+ n.

торного произведения

если

= 2,

= 3 ,

+ b)× c,

(m, n ) =

3. Даны векторы

Найти

, если

= 2m

+ n ,

b = m + 2n.

× b

5m × n

= 1, ,

= 3 ,

(m, n) =

AB =

и BC =

4. В треугольнике ABC даны векторы

m − 6n

+ 2n. Найти

AB × CA

= 2,

, если

3 ,

(m, n) =

5. В параллелограмме

ABCD даны векторы AB =

n − 0,5m

AD = 5,5m.

Найти

AC × BD

, если

= 3,

= 2,

(m, n)

a = 5m + 2n и

6. Найти площадь треугольника, построенного

на

векторах

1 ,

(m, n) = π / 6.

3 ,

b = 3m

+ n , если

7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

AB = 5n

+ 4m

= 2,

(m, n) = π / 6.

3 ,

AD = 2m

− n , если

8. Даны векторы

= 2,

= 1,

a = 3m −

4 n,

b = m + 12n , где

(m, n) = π / 4.

Найти

a × (a + b)

9. В параллелограмме

ABCD даны векторы

AB = 3a

AD = a

− 2b.

Найти

AC × BD

, если

(a, b) = π / 3.

10. Даны векторы

a =

m + 4n

= −m

+ 3n.

Найти

2b)× b

если

= 5,

= 1, (m, n) = π / 4.

11. Даны векторы

b =

Найти

= 2m

− n ,

4m − n ,и

= m + 2n.

+ b)× c

если

(m, n) = π / 6.

12. Даны векторы

= 3m

− n ,

b = − m

+ 2n. Найти

a × b +

5m × n

− 3n × m

= 2,

если

(m, n) = π / 6.

13. В параллелограмме ABCD даны векторы

−

AB = n

0,5m

и AD = 5,5m.

AC × BD

= 2,

Найти

, если

(m, n) = 5π / 6.

14. В треугольнике ABC даны векторы

AB = −6n + m

и BC = 3m

2n.

AB × CA

Найти

если

(m, n) = π / 6.

15. Даны векторы

3m + n

= m −

3n. Найти

× b

+ 3m

× n − 2n × m

= 4,

если

(m, n) = π / 6.

16. Даны векторы

4m + n ,

= 3m + n. Найти

(b − a )

= 2,

если

12,

(m, n) = π / 6.

17. В параллелограмме ABCD даны векторы

AB = −3,5n

+ m

AD = 5,5n.

CA × BD,

= 2,

Найти

если

12,

(m, n) = π / 6.

18. В треугольнике ABC даны векторы

AB = 3n + 2m

и BC = 3m

2n.

AB × CA

Найти

если

12,

(m, n) = π / 3.

19. Даны векторы

a = 3p −

b =

2p + q . Найти

(5a − 3b)×

(b − 4a )

, если

= 2 ,

= 3, (p,q) = 5π / 6 .

20. Даны векторы

m + 3n ,

= m +

2n. Найти

(3a

+ b)× b

если

= 4,

2, (m, n) = π / 4.

21. В параллелограмме ABCD даны векторы

AB = 5a +

7b и

AD = −3a

+ b.

Найти

AC × (AB + BD)

если

= 3,

(a, b) = π / 3.

22. Даны векторы

= m

+ n,

= − m + 3n и

c =

5m − n.

Найти

× b −

c × b

если

= 2,

18,

(m, n) = π / 4.

23. Даны векторы
			a	= m − 2 n,
Найти	a				,	если
		× b − 3c × (a	+ b)

b = 5m + 3n m = 2, n =

иc = −m + n.

8, (m, n) = 3π / 4.

					1
24. Даны векторы	p =	2m − 3n , q = 7m + n. Найти	(8p	− 2q)× p +		q	,
24. Даны векторы	p =	2m − 3n , q = 7m + n. Найти	(8p	− 2q)× p +	2	q	,
					2

если

= 2,

= 3,

(m, n) = 5π / 6.

25. Даны векторы

a =

−

(2a

+ 3b)× a

−

если

= 3,

и b = 3m − n. Найти

	= 2,
n	= 2,	(p, q) = 3π / 4.

26. Даны векторы

a =

m + 6 n и

b = - 2 m + 3n.

Найти

(3a +

2b)´ b

= 5,

= 2

если

(m, n) = p/ 4.

27. Даны векторы

b =

Найти

, если

a =

4 n и

m + 5n.

a ´(2a

+ 3b)

= 5,

= 12,

(m, n) = p/ 3.

28. Векторы

AB =

BC =

служат сторонами треугольни-

n + 2m

- 2n

AB ´ CА

= 2,

ка АВС.

Найти

если

(m, n) = p/ 6.

29. В параллелограмме ABCD даны векторы

AB = n

+ 2m

AD = 4m

- 6n.

AС´ BD,,

= 2,

Найти

если

12,

(m, n) = p/ 3.

BC =

30. В треугольнике АВС даны векторы AB = - n

+ 4m и

+ n.

Найти

AC ´ AB

если

= 2,

= 3,

(m, n) = p/ 6.

Задача 14.

Даны координаты вершин пирамиды

A(1, 1, 1); B(5; 3; 1) ; C(3; 2; 3) ; D(− 2, − 1, 6).

1. Найти длину вектора AD .

2. Найти угол между векторами AB и AC .

3. Найти проекцию вектора AD на вектор AB .

4.Найти площадь грани АВС .

5.Найти объем пирамиды ABCD.

Координаты векторов:

AB{4,

2, 0 };

AC {2, 1,

2}; AD{- 3, - 2, 5 }.

1. Длина вектора

(- 3)2 + (- 2)2 + 52

38.

2. cos AB, AC =

AB × AC = 4 × 2 + 2 ×1 + 0 × 2 =10;

= 4 2 + 2 2 + 0 2 =

= 2

;

= 22 + 12 + 22 = 3.

(AB, AC)= arccos

cos AB, AC =

;

5 × 3

3. Проекция вектора AD на вектор AB:

Пр

AD =

AB × AD

	AB × AD = 4 × (- 3) + 2(- 2) + 0 × 5 = -16;																								= 2
	AB × AD = 4 × (- 3) + 2(- 2) + 0 × 5 = -16;																							AB	= 2	5	;


									Пр		AD = -		16		= -			8		5		.
									Пр		AD = -				= -							.
									AB			2		5						5
												2		5						5

			1									i		j		k

4. SABC		=		AB ´ AC				;	AB ´ AC =			4		2		0	=			4i			- 8 j		- 0 × k = 4 (i				-	2 j).
4. SABC		=	2	AB ´ AC				;	AB ´ AC =			4		2		0	=			4i			- 8 j		- 0 × k = 4 (i				-	2 j).
			2									2		1		2
												2		1		2


	AB ´ AC					= 4 12 + 22			= 4		5 ;	SABC = 2							5		.
			=		1		(AB ´ AC × AD)			; (AB × AC × AD)=														4	2		0	= 4. V =			2
																								4	2		0
5. V																								2 1 2								.


	ABCD		6																											ABCD	3
			6																					- 3	- 2		5				3
																								- 3	- 2		5

Контрольные варианты к задаче 14

Задача. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется найти:

1) длины векторов		AB,	AC,	AD;
2)	угол между векторами		AB и	AC;
3)	проекцию вектора	AD на вектор AB;

4)площадь грани АВС ;

5)объем пирамиды ABCD.

1.	A (− 2; 0; 4),	B (4; − 3; − 2),	C (7; − 2; 2),	D (− 1; 2; 6).
2.	A (0; − 1; 1),	B (6; − 4; − 5),	C (9; − 3; − 1),	D (1; 1; 3).
3.	A (− 5; 1; 3),	B (1 − 2; − 3),	C (4; − 1; 1),	D (− 4; 3; 5).
4.	A (− 1; − 3; 0),	B (5; − 6; − 6),	C (8; − 5; − 2),	D (0; − 1; 2).
5.	A (1; 2; 5),	B (7; − 1; − 1),	C (10; 0; 3),	D (2; 4; 7).
6.	A (− 3; − 2; − 1), B (3; − 5; − 7),		C (6; − 4; − 3),	D (− 2; 0; 1).
7.	A (2; 3; 2),	B (8; 0; − 4),	C (11; 1; 0),	D (3; 5; 4).

8.	A (− 4; 4; − 2),	B (2; 1; − 8),	C (5; 2; − 4),	D (− 3; 6; 0).
9.	A (3; 5; − 3),	B (9; 2; − 9),	C (12; 3; − 5),	D (4; 7; − 1).
10.	A (4; − 4; 1),	B (10; − 7; − 5),	C (13; − 6; − 1),	D (5; − 2; 3).
11.	A (4; 0; 4),	B (0; 5; 0),	C (0; 0; 6),	D (1; 3; − 1).
12.	A (− 1; − 3; 4),	B (2; 3; − 4),	C (− 3; 1; − 2),	D ( 4; − 1; 3).
13.	A (0; 0; 0),	B (2; 3; − 1),	C (− 2; 4; 5),	D (3; − 1; 4).
14.	A (3; 2; − 4),	B (2; − 5; 3),	C (− 5; 6; − 1),	D (5; 2; 4).
15.	A (6; 0; 1),	B (− 6; 2; − 3),	C (2; 2; 4),	D (3; 4; − 2).
16.	A (− 4; 1; − 4),	B (0; − 5; 0),	C (0; 0; − 2),	D (− 1; 3; 1).
17.	A (2; 3; 5),	B (3; − 2; 6),	C (2; 2; − 5),	D (6; 3; − 3).
18.	A (5; − 2; − 1),	B (3; 3; 4),	C (3; − 1; − 2),	D (0; − 1; 2).
19.	A (3; − 1; − 2),	B (5; − 2; − 1),	C (0; − 1; 2),	D (3; 3; 4).
20.	A (5; 2; 4),	B (− 5; 6; − 1),	C (3; 2; − 4),	D (2; − 5; 3).
21.	A (4; 0; 0),	B (− 2; 1; 2),	C (1; 3; 2),	D (3; 2; 7).
22.	A (4; 2; 5),	B (0; 7; 1),	C (0; 2; 7),	D (1; 5; 0).
23.	A (4; 4; 10),	B (7; 10; 2),	C (2; 8; 4),	D (9; 6; 9).
24.	A (4; 6; 5),	B (6; 9; 4),	C (2; 10; 10),	D (7; 5; 9).
25.	A (3; 5; 4),	B (8; 7; 4),	C (5; 10; 4),	D (4; 7; 8).
26.	A (10; 6; 6),	B (− 2; 8; 2),	C (6; 8; 9),	D (7; 10; 3).
27.	A (1; 8; 2),	B (5; 2; 6),	C (5; 7; 4),	D (4; 10; 9).

28.	A (6; 6; 5),	B (4; 9;	5),	C (4; 6; 11),	D (6; 9; 3).
29.	A (7; 2; 2),	B (5; 7;	7),	C (5; 3; 1),	D (2; 3; 7).
30.	A (8; 6; 4),	B (10; 5; 5),		C (5; 6; 8),	D (8; 10; 7).

Библиографический список

1.Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.:

Наука, 1984.

2.Бугров Я. С., Никольский Е. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988.

3.Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука,

1985.

4. Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.:

Высш. шк., 1985.

Редактор Г. М. Кляут

ИД 06039 от 12.10. 01

Сводный темплан 2004 г.

Подписано в печать 19.07.04. Бумага офсетная. Формат 60х84 1/16. Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. 3,0. Уч.-изд. л. 3,0.

Тираж 100 экз. Заказ .

Издательство ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр-т Мира, 11 Типография ОмГТУ

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
15.06.2014412.39 Кб41batehina_lineinaya_algebra.pdf
#
15.06.2014456.43 Кб28Haustova_Kichigina-alg.pdf
#
15.06.20143.27 Mб11img056.jpg
#
15.06.20142.78 Mб8img057.jpg
#
15.06.20142.8 Mб8img058.jpg
#
15.06.20141.93 Mб34Vorob'evaEA.Vorob'evaEV_Lineinaya__algebra,Vectornaya_algebra,Analit_geometriya.pdf
#
15.06.20144.99 Mб165Векторная алгебра,Батехина.doc