Haustova_Kichigina-alg

Добавил:

Yanus Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

= −1; 2) AT = 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

456.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

	3	2	1	- 2
	3	2	1	- 2
Пример 3. Вычислить определитель D =	2	-1	2	6	.
	5	4	1	2
	1	1	- 3	4

Заметим, что все элементы последнего столбца кратны двум. Общий множитель

	3	2	1	- 2		3	2	1	-1
	3	2	1	- 2		3	2	1	-1
два можно вынести за знак определителя:	2	-1	2	6	= 2 ×	2	-1	2	3	.
	5	4	1	2		5	4	1	1
	1	1	- 3	4		1	1	- 3	2

Выберем строку (или столбец), в которой будем делать нули. Пусть это будет третий столбец. Рабочей будет первая строка. Она останется без изменения. Получим нули в этом столбце следующим образом: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим получившиеся числа к соответствующим элементам второй строки:

	3	2	1	-1	× (- 2)		3	2		1	-1


2×	2	-1 2		3		= 2 ×	- 4 - 5			0	5	.
2×	2	-1 2		3		= 2 ×	- 4 - 5			0	5	.
	5	4	1	1			5	4	1		1
	1	1	- 3	2			1	1	- 3		2

Теперь элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки:

	3	2	1	-1	× (-1)		3	2	1	-1
	3	2	1	-1	× (-1)		3	2	1	-1
2 ×	- 4 - 5 0			5		= 2 ×	- 4 - 5		0	5	.
	5	4	1	1			2	2	0	2
	5	4	1	1			2	2	0	2
	1	1	- 3	2			1	1	- 3	2

Чтобы получить нуль в третьем столбце последней строки, элементы первой строки умножим на 3 и прибавим к соответствующим элементам четвертой строки, затем применим теорему Лапласа, разложив определитель по третьему столбцу:

	3	2	1	-1	× (3)		3	2	1	-1
	3	2	1	-1	× (3)		3	2	1	-1
2 ×	- 4 - 5		0	5		= 2 ×	- 4 - 5		0	5	=
	2	2	0	2			2	2	0	2
	1	1	- 3	2			10	7	0	-1
	1	1	- 3	2			10	7	0	-1

= 2(1× A13 + 0 × A23 + 0 × A33 + 0 × A43 ) = 2 × A13 .

Алгебраические дополнения элементов определителя находятся по формуле

Aij = (-1)i+ j Mij , где	Mij - определитель, получающийся из исходного вычеркива-
нием i -й строки и	j-го столбца:
2 × A13 = 2 × (-1)1+3 ×		- 4	- 5	5	= 2 × (-1)4 × 2 ×	- 4	- 5	5
		- 4	- 5	5		- 4	- 5	5
		2	2	2		1	1	1	.
		10	7	-1		10	7	-1

Общий множитель второй строки был вынесен за знак определителя. Получим теперь нули в первом столбце, в первой и третьей строках. Для этого умножим вторую строку вначале на 4 и прибавим к соответствующим элементам первой строки, а затем на (-10) и прибавим к элементам третьей строки. Применим теорему Лап-ласа:

4 ×	- 4	- 5	5	= 4 ×	0	-1	9	= 4 ×1× A21 = 4 × (-1)2+1 ×	-1	9	=


	1	1	1		1	1	1
	10	7	-1		0	- 3	-11		- 3	-11
	10	7	-1		0	- 3	-11

= 4 × (-1)3 × [(-1)× (-11) - (- 3)× 9] = (- 4)× (11 + 27) = (- 4)× 38 = -152.

Ответ: = −152.

Контрольные варианты к задаче 3. Вычислить определитель.

1.		2	3	- 3		4		2.		2	1	2	1		3.			1	2	3		2
1.		2	3	- 3		4		2.		2	1	2	1		3.			1	2	3		2
		2 1		-1		2				3	1	1	1					2	-1 2 - 3
		6	3	1		0				11 5		3	3					3	- 2 -1 2
		2	3	0 - 5						5	2	2	4					- 2 - 3 2				1
4.	1		2	3	4		5.		6		9		3	3		6.	0		1	3		4
4.	1		2	3	4		5.		6		9		3	3		6.	0		1	3		4
	2		3	4	1				5		-1		4	- 9			1		0	2		3
	3 4			1	2				- 2 4				2	0			- 3 - 2 0				- 5
	4		1	2	3				4		-1		- 2 2				4		3	- 5 0

7.			1	3	5	7		8.		2		2	3	2		9.		2		1		2		3
			3 5 7 1							− 1 − 1 0 2								5 3				10 8
			5 7 1 3							1		0 − 1 2						4 2				9 9
			7 1 3 5							− 1 − 3 1 5								1 1				7 2
10.	1			3		2	3	11.		1	2	3	4			12.			3	3		6	3
10.	1			3		2	3	11.		1	2	3	4			12.			3	3		6	3
			1 − 1 3 2							2 1 2 3									4 5			8 5
	− 6 − 6 9 3									3 2 1 2									1 3			1 3
	− 4 − 4 2 8									4 3 2 1									2 5			5 7
13.	4			1		3	2	14.		2		− 5	1	2		15.			− 3		9			3	6
13.	4			1		3	2	14.		2		− 5	1	2		15.			− 3		9			3	6
	− 3 − 2 − 1						3			− 3 7 − 1 4									− 5 8					2	7
			1 − 2 2				2			5 − 9 2 7									4 − 5 − 3 − 2
			5 − 3 0 − 3							4 − 6 1 2									7 − 8 − 4 − 5
16.	3			− 3		5	8	17.	2			− 5	4	3		18.		3		− 3			− 2			− 5
16.	3			− 3		5	8	17.	2			− 5	4	3		18.		3		− 3			− 2			− 5
		− 3 2				4	6		3			− 4 7 5						2		5			4		6
			2 − 5 − 7 5						4			− 9 8 5						5		5			8		7
		− 4 3				5 − 6				− 3 2 − 5 3								4		4			5		6
19.	3			− 5		− 2	2	20.	3			− 5	2		− 4		21.	3		2			2		2
19.	3			− 5		− 2	2	20.	3			− 5	2		− 4		21.	3		2			2		2
		− 4 7				4 4				− 3 4 − 5 3									9 − 8 5 10
			4 − 9 − 3 7							− 5 7 − 7 5									5 − 8 5 8
			2 − 6 − 3 2						8		− 8 5 − 6								6 − 5 4 7
22.	7			6	3	7		23.	6			− 5	8	4		24.		7		3			2	6
22.	7			6	3	7		23.	6			− 5	8	4		24.		7		3			2	6
	3 5 7 2								9			7	5	2				8		− 9 4 9
	5 4 3 5								7			5	3	7				7		− 2 7 3
	5 6 5 4									− 4 8 − 8 − 3								5		− 3 3 4
25.		1		− 2		3	4	26.	1		− 3 5			7		27.		5		7		8		7
25.		1		− 2		3	4	26.	1		− 3 5			7		27.		5		7		8		7
			2 1 − 4 3							3 − 5 7 − 1								3		2 9 − 3
			3 − 4 − 1 − 2							5 − 7 1 − 3								3		7 4 2
		4 3				2 − 1				7 − 1 3 − 5								4		3 9 6

28.	2	3	- 3	4	29.	6	5	9	3	30.	7	4	- 5	- 3
28.	2	3	- 3	4	29.	6	5	9	3	30.	7	4	- 5	- 3
	2	1	-1	2		5	8	8	- 2		- 8	- 5	8	9
	6	2	1	0		4	5	5	2		- 4	- 3	2	3
	2	3	0	- 5		7	8	10 2			- 5	- 2	7	6

Задача 4. Система линейных уравнений является крамеровской, если число уравнений системы равно числу неизвестных и определитель матрицы системы отличен от нуля. Крамеровскую систему можно представить в виде матричного

уравнения A × X = B и найти решение по формуле	X = A−1 × B. Систему Крамера
можно решить также по формулам Крамера: xi =	i	, где D - определитель мат-

	D

рицы системы (главный определитель), i - определитель, полученный из главно-

го заменой i -го столбца на столбец правых частей системы (столбец свободных членов), xi - искомые неизвестные.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений 4x - 3y =11 двумя спосо-

3x + 5y =1

бами: а) по формулам Крамера, б) матричным методом. Сделать проверку.

а) D =

4 - 3

= 4 × 5 - 3 × (- 3) = 29 ,

11 - 3

=11× 5 -1× (- 3) = 58 ,

4 11

= 4 ×1 - 3 ×11 = −29 ,

x = x1 =

= 2,

= - 29 = -1.

y = x 2 =

Сделаем проверку найденного решения, подставив x = 2 и y = −1 в данную сис-

4 × 2 - 3 × (-1) =11	8 + 3 =11	11 =11
тему: 3 × 2 + 5 × (-1) =1	= 6 - 5 =1	1 =1 .

Ответ: (2; -1).

б) Пусть	4	− 3	,	11		,	x		Тогда данная система запи-
б) Пусть	A =		,	B =		,	X =	.	Тогда данная система запи-

	3	5			1		y

шется в виде матричного уравнения														AX = B, решение которого							X = A−1 × B. Най-
дем A−1.
1)	A	=			4 - 3			= 29 ,							4	- 3 T			4 3
					4 - 3										4	- 3 T			4 3
														2) AT =			=				,
					3 5														- 3 5
					3 5										3	5			- 3 5
3)	AT		=			4 3			,		A11 = (-1)2 × 5 = 5 ,				A12 = (-1)3 × (- 3) = 3 ,


						- 3 5														5	3
		A = (-1) × 3 = -3 ,										A = (-1) × 4 = 4 ,				A		=		5	3
		A = (-1) × 3 = -3 ,										A = (-1) × 4 = 4 ,				A		=
							3							4		~ T
				21									22							- 3
										1		3								- 3	4
4) A−1 =						1	~			1	5	3
							× AT	=				.
							× AT	=				.
						A					- 3
						A				29	- 3	4
Найдем							X = A−1 × B. Матрица							A−1 имеет размер				2 × 2 , матрица В - 2 ×1.
Матрица Х будет иметь размер 2 ×1.

X = A−1

Ответ:

	1		5
× B =
× B =
			- 3
	29		- 3
x	=		2
	=		.

y		-1

3 11			2		1	5 ×11 + 3		1 58			2
		=		,			=			=

									- 29
4	1		-1		29	- 33 + 4		29			- 1

Контрольные варианты к задаче 4. Решить систему линейных уравнений двумя способами: а) по формулам Крамера, б) матричным методом. Сделать проверку.

1.	2x - 3y =1		2.	2x + 3y = 2			3.	6x - y =1
									+ 11y = 2
	5x + 2y = 2			- 3x + 5y =1				3x	+ 11y = 2
4.	5x - 3y = 2		5.	11x + 2y = 4			6.	7x + 2y =1
		+ 2y = 5			- 2y	= 5			- 2x = 5
	13x	+ 2y = 5		3x	- 2y	= 5		3y	- 2x = 5
7.	13y + 2x = 3		8.	5y - 2x = 4			9.	11x + 5y = 3
						= -3			- 8y = 6
	7x - 2y = 4			x + 10y		= -3		7x	- 8y = 6
10.	13x	- 3y = 2	11.	9x	+ 2y	= -5	12.	7x	+ 3y = -4
		- y = 5			- 3y	= 7			-10y = 5
	20x	- y = 5		4x	- 3y	= 7		3x	-10y = 5

13.	6x − 7y = 2		14.	3x − 11y = 5		15.	7x + 10y = 2
		+ 10y = 3			+ 5y = 13			− 2y = 5
	5x	+ 10y = 3		2x	+ 5y = 13		3x	− 2y = 5
16.	− 2x + 5y = 7		17.	3x + 10y = 5		18.	11x + 2y = 5
		− 6x = 10			+ 7x = −10			− x = 7
	3y	− 6x = 10		3y	+ 7x = −10		3y	− x = 7
19.	13x + 2y = 5		20.	9x + 2y = 1		21.	3x − 5y = 7
		− x = 7			+ 5y = −3			+ 7y = 3
	3y	− x = 7		2x	+ 5y = −3		2x	+ 7y = 3
22.	7x + 9y = 4		23.	6x − 4y = 2		24.	3x − 2y = 10
		− 5y = 1			+ 5y = −3
	3x	− 5y = 1		7x	+ 5y = −3		17x + 5y = 2
25.	7x + 8y = −2		26.	5y + 2x = −5		27.	3x − 5y = 7
		− 5y = 4			− 7y = 1			+ 2x = 1
	3x	− 5y = 4		3x	− 7y = 1		3y	+ 2x = 1
28.	7x − y = −3		29.	10x + 2y = 7		30.	3x + 10y = 2
					− 13y = 1			− 7y = 1
	x + 3y = 5			3x	− 13y = 1		5x	− 7y = 1

Задача 5. Определители третьего порядка можно находить методом треугольников

a11

a12

a13

+ + +

−

− −

a 21

a 22

a 23

a 31

a 32

a 33

= a11 × a 22 × a 33 + a12 × a 23 × a 31 + a13 × a 21 × a 32 - a13 × a 22 × a 31 - a11 × a 23 × a 32 - a12 × a 21 × a 33 .

В квадратных скобках приведена схема, по которой получены слагаемые. Три элемента, соединенные отрезками, перемножают, перед полученным произведением ставят знак, указанный сверху.

2x + 2y + 3z = 10
Пример 5. Решить систему линейных уравнений x − y = 4		по форму-
	+ z	= −3
− x + 2y

лам Крамера и матричным методом. Сделать проверку.

а) Главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных, найдем с помощью свойств определителя и теоремы Лапласа, разлагая определитель по третьему столбцу:


	2	2	3					5		- 4	0
	2	2	3					5		- 4	0
D =	1	-1 0				=		1	-1		0	=
	-1 2		1		(- 3)			-1 2 1
=1× A33		= (-1)6		5		- 4	= 5 × (-1) -1× (- 4) = -1 ¹ 0.
=1× A33		= (-1)6		5		- 4	= 5 × (-1) -1× (- 4) = -1 ¹ 0.
				1		-1
Система является крамеровской. Найдем ее решение по формулам Крамера.
Определитель 1 ,		получающийся из								заменой первого столбца на столбец

из свободных членов (правых частей системы), найдем методом треугольников.

	10			2	3	=10 × (-1)×1 + 2 × 0 × (- 3) + 3 × 4 × 2 -10 × 0 × 2 - 2 × 4 ×1 - 3 × (-1)× (- 3) =
D1 =	4 -1 0
	- 3			2	1
								= −10 + 0 + 24 + 0 − 8 − 9 = −3.
Определитель						2 получим из									заменой второго столбца на столбец из сво-
бодных членов и вычислим, получив еще один нуль в третьем столбце:
D2 =				2	10	3			=	5	19				0		= 1× A33 = (-1)6			5 19			= 5 × 4 -1×19 = 1.


			1		4 0					1		4 0
			-1 - 3 1				× (- 3)			-1 - 3 1										1	4

																			3 , полученный
Вычислим				методом треугольников определитель															3 , полученный					из	заменой
третьего столбца свободными членами, методом треугольников
								2	2		10
								2	2		10
						D3 =		1 -1 4					= 6 - 8 + 20 -16 + 6 -10 = -2.
								-1 2 - 3
Найдем неизвестные по формулам Крамера:
x = x1 =			1	=	− 3 = 3;				y = x 2		=			2	=	1		= -1;	z = x3		=	3 =		− 2 = 2.
x = x1 =		D		=	− 3 = 3;				y = x 2		=	D			=			= -1;	z = x3		=	3 =		− 2 = 2.
		D			-1							D			-1							D		-1
Проверка. Подставим найденные значения																			x = 3, y = −1, x = 2						в каждое
уравнение системы

2 × 3 + 2(-1) + 3 × 2 =10			10 =10
	(-1) = 4		4 = 4
3 -
	+ 2 × (-1) + 2 = -3		- 3 = -3
- 3
	2x + 2y + 3z =10
б) Запишем систему x - y = 4			в матричном виде.
		+ z	= -3
	- x + 2y

		2	2	3
			-1
Пусть	A =	1	-1	0	,
		-1	2	1
		-1	2	1
Найдем A−1		по формуле

B =

Тогда A × X = B

и X = A−1 × B .

, X =

y .

- 3

A−1 =

Ат .

3) A11 = (-1)2							-1 2			= -1				A12	= (-1)3 ×					2 2		= 4				A13		= (-1)4 ×			2 -1				= 3
3) A11 = (-1)2							-1 2			= -1				A12	= (-1)3 ×					2 2		= 4				A13		= (-1)4 ×			2 -1				= 3
							0		1											3	1										3	0
A21	= (-1)3 ×							1 -1			= -1 A22				= (-1)4 ×			2 -1					= 5			A23		= (-1)5 ×		2 1			= 3
A21	= (-1)3 ×							1 -1			= -1 A22				= (-1)4 ×			2 -1					= 5			A23		= (-1)5 ×		2 1			= 3
								0	1									3			1									3		0
A31	= (-1)4 ×					1 -1							=1	A32	= (-1)5 ×				2 -1					= -6 A33			= (-1)6 ×		2 1					= -4
A31	= (-1)4 ×					1 -1							=1	A32	= (-1)5 ×				2 -1					= -6 A33			= (-1)6 ×		2 1					= -4
						-1			2										2		2								2			-1
														-1		4	3
													~ T			5	3
													A	= -1		5	3				.
														1		- 6 - 4
		1		~								-1 4			3		1				- 4 - 3
		1		~
4) A−1 =					AT = (-1)							-1 5			3		= 1				- 5 - 3 .
			A

												1		- 6	- 4		-1				6				4
												1		- 6	- 4		-1				6				4

			1		- 4 - 3			10		1×10 + (- 4)× 4 + (- 3)(- 3)				3
Найдем X = A−1 × B =				1	- 5	- 3	×	4	=		1×10 + (- 5)× 4	+ (- 3)(- 3)	=
Найдем X = A−1 × B =				1	- 5	- 3	×	4	=		1×10 + (- 5)× 4	+ (- 3)(- 3)	=	-1 .
											(-1)×10 + 6 × 4	+ 4 × (- 3)
				-1	6	4								2
				-1	6	4		- 3						2
x		3

Ответ: y	=	-1 .
		2
z		2

Контрольные варианты к задаче 5. Решить систему линейных уравнений двумя способами: а) по формулам Крамера, б) матричным методом. Сделать проверку.

1.	x + y - z = -2													2.	x + 2y + z = 4					3.		4x + 2y - 3z = -1
				- 4y + z = -4													+ 4z	= -7					+ y - z =1
	2x			- 4y + z = -4											x -12y		+ 4z	= -7				x	+ y - z =1
				- 3y + z =1												- 5y	+ 3z	=1						+ 3y		- 6z = 2
	4x			- 3y + z =1											3x	- 5y	+ 3z	=1				8х		+ 3y		- 6z = 2
4.	x - 5y - z = -14													5.	x + 9y - 4z = 9					6.		7x + 5y + z =16
			- 2y + 3z = 6													+ 5y	- 3z	= 4						+ 8y		- z = 7
	x		- 2y + 3z = 6												2x	+ 5y	- 3z	= 4				5x		+ 8y		- z = 7
				+ 3y - 4z = 20												- 3y	+ 2z	= 9					+ 2y + 3z =1
	2x			+ 3y - 4z = 20											4x	- 3y	+ 2z	= 9				x	+ 2y + 3z =1
7.	x		1	- x	2	+ x	3	= 6						8.	2x + 5y + 3z = 8					9.		x + 3y + 5z = 1
			1		2		3									- 5y	- 6z	= -7
	2x1 + x 2 + x3 = 3														3x	- 5y	- 6z	= -7				2x + 4y + 6z = 2
				+ x 2 + 2x3 = 5																				+ 9y		+ 7z = -1
	x1			+ x 2 + 2x3 = 5											x - 4y - 2z = -3							8x		+ 9y		+ 7z = -1
10.	3x − 4y + 5z = 1													11.	3x + y − z = 5
				- 3y + z =1												- 3y	+ z = -11
	2x			- 3y + z =1											2x	- 3y	+ z = -11
				- 5y - z =1
	3x			- 5y - z =1											x + 4y + 5z = 2
12.		1		1		1 x						6					13.		1	2 1		x				8
									1														1
	2			-1 1			× x		2	=	3							2		-1 3 × x			2		=	9
		1										5							1	-1 1						2
		1		-1 2 x3								5							1	-1 1		x3				2
14.		2		1		1 x				4							15.		3	− 3	2 x				2

	1			2 1 × y					= 1									4		- 5 2 × y				= 1
		1																	5
		1		1 2 z						3									5	- 6 4 z					3
16.		3		2		− 4		x					8				17.		2	1	− 3 x						5

	2			4 - 5 × y =								11						1		- 4 1 × y					=	- 9
		4		- 3 2									1						5	2
		4		- 3 2				z					1						5	2		1 z					3

18.		3	2	1		x						3
									1		=
	2 -1			3 ×			х		2		=	9
		-1 1		-			х						4
		-1 1		-	1		х		3			-	4
20.		2	-1	- 2 x								3
			-1					1
	1		-1	3 × x 2					= 11
		3	1
		3	1	- 4 x3							14
22.		1	- 2	3 x					- 2
			- 2
	2		- 2	5	× y			=		- 4
		3	2								2
		3	2	1 z							2
24.		2	-1	- 3 x							0
								1
	1 2			3 × x 2						= 9
		2	- 3	2
		2	- 3	2	x3						10
26.		2	-1	5	x						- 6
							1
	5 2			13 × x 2					= - 2
		3	0									4
		3	0	-1 x3								4
28.	-1		3	- 2 x								1
		- 4 1									=
		- 4 1			2 × y						=	2
		3 - 3
		3 - 3			5 z							7

19.		1	5	- 2			x					-1

	2		- 3 1				×	у		=		8
		1	- 2 3									9
		1	- 2 3		z							9
21.		1	2	1	x							4
								1
	3		- 1 4		× x 2					=		- 3
		5										0
		5	- 2 1 x					3				0
23.		2	1 1 x						- 4
						1		=
	1		2 1 × x 2					=	1
		2									8
		2	5 1 x3								8
25.		1	- 4	- 2 x									7
											1
	3		1		1			× x 2				=	2
		- 3	5		6								- 7
		- 3	5		6		x3						- 7
27.		1	- 2	3			x					- 2

	2		3 - 4				× y			=		0
		3	- 2 5
		3	- 2 5		z							- 2
29.		2	-1	- 5 x								-11

	3		1	0 × y						=		1
		1										2
		1	- 2 -1 z									2

3 -1			2 x			2

30. 1		2	-1 × y		=	7
	2	-1	5
	2	-1	5	z		- 3

Задача 6. Для решения систем линейных уравнений применим метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Для этого расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над строками приводится к «трапециевидной форме», т. е. к виду, когда все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.

Элементарными преобразованиями над строками матрицы будем считать:

1)умножение всех элементов строки на число, отличное от нуля;

2)перестановку местами двух строк;

3)прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
15.06.2014412.39 Кб41batehina_lineinaya_algebra.pdf
#
15.06.2014456.43 Кб28Haustova_Kichigina-alg.pdf
#
15.06.20143.27 Mб11img056.jpg
#
15.06.20142.78 Mб8img057.jpg
#
15.06.20142.8 Mб8img058.jpg
#
15.06.20141.93 Mб34Vorob'evaEA.Vorob'evaEV_Lineinaya__algebra,Vectornaya_algebra,Analit_geometriya.pdf
#
15.06.20144.99 Mб165Векторная алгебра,Батехина.doc