4. Порядок выполнения работы

- получить у преподавателя задание на выполнение работы.

- ознакомиться с разделом 8.3 Теоретические сведения.

- рассчитать погрешности определения первой и второй производных в интервале x=1 до x=10 с шагом , равным 1, для одного и двух членов разложения интерполяционного полинома по формуле Ньютона , при помощи оператора дифференцирования Mathcad и оформить полученные результаты в виде таблиц и графиков.

- рассчитать зависимость погрешности вычисления производной от величины шага при x=3, в диапазоне h=10ⁱ, где i=-15..0

4. Пример выполнения работы

Выполним задание №10 F(x)=x³.

Рассчитаем конечные разности для h=1.

Диапазон изменения по x от 1 до 10 .

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
1	1	7	12	6	0
2	8	19	18	6	0
3	27	37	24	6	0
4	64	61	30	6	0
5	125	91	36	6	0
6	216	127	42	6	0
7	343	169	48	6
8	512	217	54
9	729	271
10	1000

Точные значения производных y′=3x² , y″=6x .

Сравнение погрешностей определения первой и второй производных приведены в таблице 8.3.

Таблица 8.3

			y′(x)				y″(x)
x	y	точное знач-е	прибл. знач-е	абс. ошибка	отн. ошибка	точное знач-е	прибл. знач-е	абс. ошибка	отн. ошибка
1	1	3	7	4	1,33	6	12	6	1,00
2	8	12	19	7	0,58	12	18	6	0,50
3	27	27	37	10	0,37	18	24	6	0,33
4	64	48	61	13	0,27	24	30	6	0,25
5	125	75	91	16	0,21	30	36	6	0,20
6	216	108	127	19	0,18	36	42	6	0,17
7	343	147	169	22	0,15	42	48	6	0,14
8	512	192	217	25	0,13	48	54	6	0,13
9	729	243	271	28	0,12	54
10	1000	300				60

Погрешности определения производных в таблице 8.3 достаточно велики . Для их снижения необходимо уменьшить шаг h или использовать при расчете производных большим количеством элементов в разложениях (8.2) и (8.3).

Выполнение задания в Mathcad.

Записываем начальные данные .

Конечная разность первого порядка

Трехточечная схема для первой производной

Форма записи или получения ответов в виде транспонированных строк удобна в случае большого количества элементов в столбце.

Точное решение с помощью оператора

Сведем все полученные данные в таблицу

Построим сравнительный график для всех полученных величин

Рис.8.3 График точного значения производной, первой конечной разности и производной, полученной по трехточечной схеме

Из полученных результатов следует, что точность расчета первой производной по формуле конечной разности составляет 25%, для трехточечной схемы точность возрастает , а использование оператора дифференцирования в данном случае обеспечивает практически идеальное совпадение с точными результатами.

Теперь определим погрешность численного дифференцирования при различных шагах h.

График зависимости удобнее строить в десятичных логарифмах исследуемых величин, поскольку нам важна степень результата.

Рис.8.4 Погрешность расчета производной при различном шаге h

Производная функции f(x)=x³ при x=3 может быть определена по формуле первой конечной разности с максимальной точностью 10^-7 при шаге h=10^-8.