3. Достоверность разности средних или относительных величин

При сопоставлении двух сравниваемых величин возникает необходимость не только определить их разность, но и оценить ее достоверность, т.е. можно ли вывод о разности средних величин, полученный при выборочном исследовании, перенести на соответствующую генеральную совокупность.

Достоверность выборочной разницы измеряется доверительным коэффициентом (критерием точности, Стьюдента t):

для средних величин:

для относительных величин:

где М₁ и М_2, Р₁ и Р₂ – показатели, полученные при выборочных исследованиях; m₁ и m₂ - их средние ошибки.

При t 2 разность средних арифметических может быть признана существенной и не случайной, т.е. достоверной. Это значит, что и в генеральной совокупности средние величины отличаются, и при повторении подобных наблюдений будут получены аналогичные различия. Надежность такого вывода будет не меньше 95,5%. С увеличением t степень надежности также увеличивается, а риск ошибки (p) уменьшается. При t < 2 достоверность разности средних величин считается недоказанной.

Средние величины

Вариационный ряд - это ряд, в котором упорядоченно сопоставлены (по степени возрастания или убывания) варианты и соответствующие им частоты. Отдельные числовые значения признака называются вариантами (V), а числа, показывающие, как часто эти варианты повторяются - частотами (Р), общее число наблюдений (n) равно сумме частот (n=P,  - знак суммы).

Вариационный ряд может быть простым (при малом числе наблюдений –n30) или сгруппированным (n>30); открытым и закрытым. По характеру распределения: альтернативным (имеет только 2 противоположных значения признака - да, нет), симметричным (наибольшее число наблюдений приходится на середину ряда) и ассиметричным (наибольшее число наблюдений сдвигается в сторону меньшего значения признака - правосторонняя ассиметрия, или в сторону большего значения признака - левосторонняя ассиметрия, или же скапливается по концам ряда - бимодальное распределение).

Построение вариационного ряда из отдельных вариант – это только первый шаг к осмыслению особенностей всей совокупности. Далее необходимо определить средний уровень изучаемого количественного признака.

Средняя величина – это число, выражающее общую меру исследуемого признака в совокупности.

Различают несколько видов средних величин: мода (Мо), медиана (Ме) и средняя арифметическая (М).

Мода (Мо) - наиболее часто повторяющаяся варианта, т.е. та, которой соответствует наибольшее количество частот (Р) вариационного ряда.

Медиана (Ме) - варианта, занимающая срединное положение в вариационном ряду. При нечетном числе наблюдений для определения медианы надо найти середину ряда – медианой будет центральная (срединная) варианта. При четном числе наблюдений за медиану принимают среднюю величину из двух центральных вариант.

Наиболее часто используется средняя арифметическая величина (М). Она имеет 3 основных свойства:

1. Занимает срединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду М = Мо = Ме;

2. Имеет абстрактный характер и является обобщающей величиной, вскрывающей то типичное, что характерно для всей совокупности.

3. Алгебраическая сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю. Если сумма отклонений вариант от средней равна нулю, то средняя вычислена правильно. На этом свойстве основан расчет средней по способу моментов.

Средняя арифметическая, которая рассчитана в вариационном ряду, где каждая варианта встречается только один раз (для всех вариант р=1), называется средней арифметической простой. Она определяется по формуле:

где V – значение вариационного признака,

n – общее число наблюдений

Если в исследуемом ряду отдельные варианты встречаются различное число раз (р1), то вычисляют среднюю арифметическую взвешенную. Расчет ее производится по формуле:

где Р – частота, n – сумма частот ( P).

Критерии разнообразия признака в совокупности

Величина того или иного признака неодинакова у всех единиц наблюдения совокупности, несмотря на ее относительную однородность. Например, уровень АД у отдельных лиц, страдающих артериальной гипертензией, неодинаков. В этом проявляется разнообразие (колеблемость) признака в изучаемой совокупности. Средняя арифметическая величина находится в большой зависимости от колеблемости вариационного ряда. Чем меньше колеблемость ряда (разность между самой большой и самой малой величиной), тем более точно его будет характеризовать средняя арифметическая.

Если большинство вариант концентрируется около своей средней арифметической величины, то такой вариационный ряд – довольно однородный. Если же варианта значительно удалена от своей средней арифметической – налицо большое варьирование, а возможно, и неоднородная совокупность.

Критериями, определяющими уровень разнообразия каждого признака в совокупности, являются: лимит (lim), амплитуда (Am), среднее квадратическое отклонение () и коэффициент вариации (C_V).

Лимит (lim) определяется крайними значениями вариант в вариационном ряду: lim = V_max  V_min

Амплитуда (Am) – разность крайних вариант.

Наиболее полную характеристику разнообразию признака дает среднее квадратическое отклонение – сигма (σ).

Для вычисления среднего квадратического отклонения (σ) необходимо определить отклонения (d) каждой варианты от средней, возвести их в квадрат (d²), перемножить квадрат отклонений на частоту каждой варианты (d²p), получить сумму этих произведений ( d²p), а затем вычислить σ по формуле:

При малом числе наблюдений (n30) расчет производится по формуле:

Для оценки варьирования признака в совокупности наряду со средним квадратическим отклонением может быть использован коэффициент вариации (C_V). Особенно необходимо использовать коэффициент вариации для сравнения варьирования двух или более средних величин, выраженных в разных единицах измерения (сантиметрах, килограммах и др.):

Значение коэффициента вариации менее 10% свидетельствует о малой колеблемости, от 10 до 20% – о средней, больше 20% – о сильной колеблемости вариант вокруг средней.

Значение среднего квадратического отклонения – σ:

1. σ характеризует однородность вариационного ряда. Если σ мала, значит ряд однородный и рассчитанная М достаточно верно характеризует данный вариационный ряд. Если σ велика, то ряд неоднородный и полученная М характеризует не весь ряд, а какую-то ее часть.

2. Теоретическое распределение вариант в однородном ряду подчиняется правилу трех сигм:

М ± 1 σ = 68,3%

М ± 2 σ = 95,5%

М ± 3 σ = 99,7%.

В пределах М±1σ находится 68,3% всех вариант (наблюдений), в пределах М±2σ – 95,5%, а в пределах М±3σ – 99,7% вариант, составляющих совокупность.

Если 95,5% всех вариант находится в пределах М±2σ, то средняя арифметическая является характерной для данного ряда и не требуется увеличивать число наблюдений в совокупности. Для определения типичности средней арифметической сравнивают фактическое распределение с теоретическим путем расчета сигмальных отклонений.

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

В медицине при исследовании различных процессов и явлений часто приходится проводить статистический анализ связи между признаками, характеризующими изучаемую совокупность. Различают функциональную и корреляционную связь между признаками.

Функциональная связь - это связь, при которой изменение величины одного признака неизбежно вызывает строго определенные изменения величины другого признака (например, зависимость площади круга от его радиуса). Функциональная связь характерна для физико-химических процессов и присуща неживой природе.

В биологических науках, медицине приходится иметь дело с иной связью между явлениями, когда одной и той же величине одного признака соответствует несколько значений другого взаимосвязанного с ним признака, что обусловлено многообразием взаимодействия различных явлений живой природы. Такая связь носит название корреляционной.

Например, известно, что с возрастом рост детей увеличивается и поэтому можно предположить наличие связи между этими признаками. Вместе с тем, одному и тому же возрасту соответствует различный рост детей. Это происходит потому, что рост детей определяется не только возрастом. На него влияют многие другие факторы, в том числе условия жизни, питание, занятия физкультурой и др. Таким образом, можно прийти к выводу, что связь между возрастом и ростом детей является корреляционной. (Или связь между t^о и ЧСС).

Функциональная связь имеет место в каждом отдельном наблюдении, а корреляционная – проявляется только в массе наблюдений, т.е. в совокупности. При этом важно помнить, что измерять связь между различными признаками можно только в качественно однородной совокупности. Нельзя, например, сопоставлять рост и массу тела людей в совокупности, имеющей различный возрастно-половой состав.

Корреляционная связь может быть прямолинейной (при равномерном изменении одного признака наблюдются равномерные изменения другого, например, сист. и диаст. АД) и криволинейной (при равномерном изменении одного признака могут быть возрастающие или убывающие средние значения другого). Сила прямолинейной связи между изучаемыми явлениями и ее направленность определяются с помощью коэффициента корреляции (rxy), а при криволинейной связи - корреляционным отношением (η).

Коэффициент корреляции (r_xy) определяется по формуле Пирсона (метод квадратов):

где х и у – переменные варианты сопоставляемых вариационных рядов;

d_x и d_у – отклонения каждой варианты от своей средней арифметической (М_х, М_у).

Величина коэффициента корреляции колеблется в пределах от 0 до 1.

При r_ху = 0 связь отсутствует; при r_ху =  1 – связь полная.

Если r_ху колеблется в пределах от 0 до  0,3 – связь слабая;

от  0,3 до  0,7 – связь умеренная;

от  0,7 до  1,0 – связь сильная.

Знак (+) свидетельствует о наличии прямой (положительной) связи – когда с увеличением (уменьшением) значения одного признака увеличивается (уменьшается) значение другого, то есть, когда признаки меняются в одном направлении. Знак (-) свидетельствует об обратной (отрицательной) связи – когда с увеличением значения одного признака уменьшается значение другого и наоборот, то есть изменения признаков – разнонаправлены.

Средняя ошибка коэффициента корреляции

Поскольку коэффициент корреляции в клинических исследованиях рассчитывается обычно для ограниченного числа наблюдений, для определения его достоверности вычисляют среднюю ошибку коэффициента корреляции (m_r). При большом числе наблюдений n>100 m_r определяется по формуле:

где r_xy - коэффициент корреляции; n – число парных наблюдений.

При n<100, но >30 m_r определяется по формуле:

При n30 m_r определяется по формуле:

Достоверность коэффициента корреляции оценивают по критерию t (доверительный критерий Стьюдента): (см. таблицу значений критерия Стьюдента t).