21. Признак Даламбера сходимости ряда; интегральный признак сходимости ряда. Признак Даламбера.

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится.

Замечание.

Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.

Если , то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Интегральный признак Коши.

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале , где ). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции y = f(x) на интервале Вам может пригодится теория из раздела возрастание и убывание функции.

21. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда.

22. Числовой ряд называется знакопеременным, если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.

23. Знакочередующийся числовой ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

24. Ряды являются знакоположительным, знакочередующимся и знакопеременным соответственно.

25. Для знакопеременного ряда существует понятие абсолютной и условной сходимости.

26. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов, то есть, сходится знакоположительный числовой ряд .

27. К примеру, числовые ряды и абсолютно сходятся, так как сходится ряд , являющийся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

28. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится, а ряд сходится.

29. В качестве примера условно сходящегося числового ряда можно привести ряд . Числовой ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходящийся, так как является гармоническим. В то же время, исходный ряд является сходящимся, что легко устанавливается с помощью признака Лейбница. Таким образом, числовой знакочередующийся ряд условно сходящийся.

25. Знакочередующиеся ряды; Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если знаки его соседних членов различны. Знакочередующийся числовой ряд можно записать в виде или , где .

Признак Лейбница.

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают и предел модуля общего члена ряда равен нулю при , то ряд сходится.

Пример.

Определите характер сходимости знакочередующегося числового ряда

Решение.

Ряд из абсолютных величин членов имеет вид . Для него выполняется необходимое условие сходимости . Возьмем гармонический ряд и воспользуемся вторым признаком сравнения:

Таким образом, ряд из модулей - расходящийся.

В свою очередь, знакочередующийся ряд сходится, так как выполняются условия признака Лейбница: последовательность монотонно убывает и .

Следовательно, исходный ряд условно сходящийся.