Вопрос 27.Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал сходимости.

1. Основные понятия. Область сходимости.

Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

 (1.1)

 где a₀, a₁, a₂, …,a_n,…, а также x₀ – постоянные числа. Точку x₀ называют центром степенного ряда.

Сначала рассмотрим степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида

   (1.2)

Такой ряд всегда сходится при x=0 и, значит, его область сходимости есть непустое множество.

Теорема 1.1. (теорема Абеля). Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором  , где -число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что   Наоборот, если ряд (12) расходится при  , то он расходится при всех значениях x таких, что   

Доказательство. Пусть числовой ряд

   (1.3) 

сходится. Поэтому   Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что   для всех n=0,1,2,…

Рассмотрим теперь ряд

   (1.4) 

предполагая, что   Так как   и при этом   то члены ряда (3.4) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

 

(геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (1.4) сходится, а ряд (1.2) абсолютно сходится.

Предположим теперь, что ряд (1.3) расходится, а ряд (1.2) сходится при    Но тогда из сходимости ряда (1.2) следует сходимость и ряда (1.3), что противоречит предположению. Теорема доказана.

Теорема Абеля позволяет дать описание области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.2. Для степенного ряда (1.2) возможны только три случая:

1)    ряд сходится в единственной точке x=0;

2)    ряд сходится при всех значениях x;

3)    существует такое R>0, что ряд сходится при всех значениях x, для которых   и расходится при всех x, для которых   

Определение 1.2. Интервал (-R,R), где число R определено в теореме 1.2, называется интервалом сходимости ряда (1.2), а число R – радиусом сходимости этого ряда.

Понятие радиуса сходимости будет распространяться на все три случая в теореме (3.2): для этого в случае 1 условимся считать R=0, а в случае 2 

На практике радиус сходимости степенного ряда чаще всего определяют с помощью признака сходимости Даламбера. Предположим, что все коэффициенты ряда (1.2) отличны от нуля и существует предел   Тогда радиус сходимости находится по формуле 

Действительно, в силу признака Даламбера ряд

 

сходится, если число

 

меньше 1, и расходится, если этот предел больше 1. Иначе говоря, ряд сходится для всех x таких, что   и расходится при   Это и означает, что число   является радиусом сходимости ряда

28. Ряд Тейлора

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е.  , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. 

29. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е.  , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.  Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена









