Задание 16. Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных.
16.1 Найти область определения функции и изобразить ее:
В-1.
В-2.
В-3.
В-4.
В-5.
В-6.
В-7.
В-8.
В-9.
В-10.
16.2
Дана функция
z
= f(x;y).
Найти:
,
,
,
,
:
В-1.
z
=
В-2. z
=
В-3. z
=
В-4. z
=
В-5. z
=
В-6.
z
=
В-7. z
=
В-8. z
=
В-9. z
=
В-10. z
=
16.3.
Дана функция
z
= f(x;y),
точка М( х
;
y
)
и вектор
= {х
;у
}.
Найти:
а) производную в точке М по направлению вектора ; б) grad z в точке М.
В-1. z = у2 + х2 +2xy- у; М( 1; 1) и вектор = {2;-1}. В-2. z = x –y + 3y2 + x2; М( 1; 2) и вектор = {5;-12}.
В-3. z = x - y3 – 3xy; М( 1; 1) и вектор = {2;1}. В-4. z = xy – x2y – xy2; М( -1; 2) и вектор = {4;-3}.
В-5. z = y2 – x2 + xy - 2x - 6y; М( 2; 3) и вектор = {4;-3}. В-6. z = 6xy + 5x2 ; М( 2; 1) и вектор = {1;2}.
В-7. z = ln (5x2 + 3y2); М( 1; 1) и вектор = {3;2}. В-8. z = у2 - х2 +xy; М( 1; 1) и вектор = {2;-1}.
В-9. z = x +8y3 – 6xy + 1; М( 1; 2) и вектор = {5;-12}. В-10. z = ln (3x2 + 4y2); М( 1; 3) и вектор = {2;-1}
16.4. Найти точки экстремума функции:
В-1. f(x) = x2 +xy + y2 + x +2y – 4 В-2. f(x) =-3 x2 - 2xy - 3 y2 - 12x +12y – 25
В-3. f(x) =- 2 x2 - xy - 2 y2 - 2 x - 8y -54 В-4. f(x) = 2x2 + 2xy +2 y2 +2 x + 4y -3
В-5. f(x) = - x2 - 2xy - 3 y2 - 4 x -4y + 3 В-6. f(x) = 3x2 + 3xy +3 y2 +6 x + 3y + 1
В-7. f(x) =- 3x2 - 2xy - y2 - 4 x - 4y + 3 В-8. f(x) = - x2 - 2xy - 3y2 - 6x - 6y + 5
В-9. f(x) = 2x2 + 2xy + 2y2 + 6x + 6y + 1 В-10. f(x) = - x2 - xy - y2 - 3x - 3y + 2
16.4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке с(х ;y ;z ):
В-1. z = xy – x2y – xy2 , С(1;2;z ) В-2. z = x –y + 3y2 + x2 ; С(-1;2;z )
В-3. z = y2 + x2 - 9xy + 27, С(2;1;z ) В-4. z = 3x + 6y –xy + y2 –x2, С(1;-1;z )
В-5. z = 2xy + 3y2 – 5x; С(3;4;z ) В-6. z = x - y +5x +4y ; С(2;3;z )
В-7. z = x + y +2x +y - 1; С(2;4;z ) В-8. z = xy + 2y - 2x; С(1;2;z )
В-9. z = x + 3xy - 6y; С(1;3;z ) В-10. z = x - y +6x +3y; С(2;3;z )
Задание 17. Дифференциальные уравнения.
17.1. Найти общее решение линейного уравнения первого порядка:
В.1
а)
;
б)
.
В.2
а)
;
б)
В.3
а)
;
б)
.
В.4 а)
б)
В.5
а)
;
б)
.
В.6 а)
б)
В.7
а)
;
б)
.
В.8 а)
б)
В.9
а)
;
б)
.
В.10 а)
б)
17.2. Найти общее решение:
В.1 а) у²+4у¢ -12у = 0 б) у² -10у¢+25у =0 в) у² -2у¢+5у = 0
В.2 а) у² -7у¢ = 0 б) у²+16у¢+64у=0 в) у² -8у¢+ 25у =0
В.3 а) у²+5у¢+6у =0 б) у²+14у¢+49у =0 в) у²+4у¢+7у = 0
В.4 а) у² -4у = 0 б) у²+4у¢+4у =0 в) у²+2у¢+5у = 0
В.5 а) у² -7у¢ -8у = 0 б) у²+2у¢+2у = 0 в)у²+6у¢+9у = 0
В.6 а) у²-у¢ -6у =0 б) у² -18у¢+81у =0 в) у²+2у¢+2у = 0
В.7 а) у² -5у¢ = 0 б) у²-16у¢+64у=0 в) у² -8у¢+ 25у =0
В.8 а) у²-4у¢ -12у = 0 б) у² +10у¢+25у =0 в) у² -2у¢+5у = 0
В.9 а) у² +7у¢ -8у = 0 б) у²+2у¢+2у = 0 в) у²+6у¢+9у = 0
В.10 а) у²+у¢ -6у =0 б) у² +18у¢+81у =0 в) у²+2у¢+2у = 0