2.1. Выбор и обоснование расчетной схемы

Математическая модель колебаний кузова на пружинах рессорного подвешивания относится к задачам динамики твердых тел.

Расчетную схему для исследования собственных колебаний подпрыгивания вагона-цистерны на пружинах рессорного подвешивания представим виде твердого тела, которое опирается на упругие элементы. Жесткость этих упругих элементов будет равна жесткости рессорного комплекта одной тележки. Масса твердого тела соответствует массе кузова вагона, при этом она будет приложена в геометрическом центре масс. Каждая точка твёрдого тела при колебаниях подпрыгивания будет совершать плоско-параллельное движение.

Необходимо ввести обобщенную координату, которая будет характеризовать колебательный процесс, и соответствовать перемещению каждой точки твердого тела. В нашем случае это будет характеристика q.

Для того чтобы составить расчетную схему следует принять ряд допущений:

1. жесткость рессорных комплектов тележек считается одинаковой (при эксплуатации возможна различная просадка пружин рессорных комплектов, следовательно, существует различие в жесткостях пружин, которое не учитывается). Работа гасителей сухого трения также не учитывается (в соответствии с заданием). Таким образом, реакция рессорных комплектов будет учитывать только упругую составляющую, т.е. ;

2. кузов вагона принимается за абсолютно симметричное тело и масса кузова считается равномерно распределённой по всей длине вагона.

3. все упругие элементы считаются жестко связанными с кузовом вагона, т.е. не учитывается односторонняя связь в узле ”пятник – подпятник”.

4. путь, на котором установлен вагон, считается абсолютно жестким. По этому в расчетной схеме упругие элементы опираются на жесткое закрепление;

5. ввиду малости масс рессорного подвешивания, участвующих в колебаниях, считаем его без инерционным;

6. не учитываются силы сопротивления воздуха (внешнего неупругого сопротивления среды);

7. надрессорные балки и боковые рамы не входят в систему твердых тел, т.к. учитывается, что их масса много меньше массы кузова.

С учетом выше изложенных допущений представим расчетную схема для исследования собственных колебаний подпрыгивания кузова вагона-цистерны на рессорах. Данная схема представлена на рисунке 2.

R

R

g

g

Рисунок 2 – Расчетная схема объекта исследования

С – жесткость рессорного комплекта; М _кузg – вес кузова; М _грg – вес груза;

q – перемещение, R - реакция упругих элементов.

2.2. Вывод уравнений математической модели

Математическая модель в динамике твердых тел представляет собой систему, в которую входят начальные условия и уравнение движения. Для получения уравнения движения математической модели воспользуемся принципом Д’ Аламбера. Для того чтобы записать уравнение движения согласно этому принципу необходимо составить основную систему. Для этого нужно вырезать твердое тело из системы, действие отброшенных связей заменить реакциями упругих элементов, приложить к нему все внешние силы и силы инерции (сила инерции направлена в сторону, противоположную направлению движения q)

Основная система представлена на рисунке 3

g

g

Рисунок 3 – Основная система

Спроецируем все силы, приложенные к телу, на выбранную ось движения, и получим уравнение движения (5)

, (5)

где – ускорение перемещения кузова;

– реакция рессорного подвешивания.

Ноль в правой части уравнения говорит о том, что колебания являются собственными (свободными), т.е. в процессе колебаний на тело не действует ни каких сил, что соответствует условию задачи.

Выражение для реакции R подставим в уравнение (5) - уравнение движения, и получим уравнение (6)

(6)

Для того чтобы получить начальные условия необходимо все производные в уравнении движения (6) принять равными нулю.

₍₇₎

Выразим из уравнения (7) значение

= ₍₈₎

Система уравнений (9) представляет математическую модель собственных колебания подпрыгивания кузова вагона на пружинах рессорного подвешивания.

(9)

В математической модели собственных колебаний подпрыгивания кузова вагона (система уравнений (9)) выражение для массы М может принимать два значения

(10)

Первое значение массы М в выражении (11) соответствует колебательному процессу после снятия нагрузки массой М_гр, а второе значение массы М соответствует состоянию статического равновесия вагона с грузом в момент времени t = 0.

3 ВЫБОР МЕТОДА РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРИНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ