Глава 6. Механика Лагранжа 89

6.1.Обобщенные координаты, связи, число степеней свободы 89

6.2. Уравнения Лагранжа (второго рода) 90

6.2.1. Тождества типа Лагранжа для вращательных движений 93

6.2.2. Вычисление обобщенных сил для потенциальных воздействий 93

6.2.3. Принцип возможных скоростей 94

6.2.4. Обобщенные силы, обеспечивающие постулируемую 94

зависимость координат от времени. Примеры 94

6.2.5. Неголономные системы. Пример 96

Глава 7. Колебания систем 99

7.1. Колебания системы с одной степенью свободы 99

7.1.1. Свободные колебания без сопротивления 100

7.1.2. Вынужденные колебания без сопротивления при гармоническом воздействии. Резонанс 100

7.1.3. Вынужденные колебания без сопротивления при произвольном воздействии. Интеграл Дюамеля 103

7.1.4. Свободные колебания с учетом сопротивления 104

7.1.5. Вынужденные колебания с учетом вязкого сопротивления 106

7.2. Колебания системы с несколькими степенями свободы 109

7.2.1. Линеаризация уравнений вблизи положения равновесия 109

7.2.2 Устойчивость положения равновесия 110

7.2.3. Собственные частоты и формы малых колебаний 111

7.2.4. Общее решение задачи о свободных колебаниях 113

7.2.5. Главные (нормальные) координаты 114

7.2.6. Вынужденные колебания системы с несколькими степенями свободы. Гасители колебаний 117

7.3. Колебания упругих тел с распределенными параметрами 122

7.3.1. Метод Рэлея–Ритца 122

7.3.2. Метод конечных элементов (МКЭ) 125

Библиографический список 127

Глава 1. Общие сведения из векторного и тензорного анализа

1.1. Системы отсчета, системы координат. Тела, примеры тел в механике

Все явления в окружающем нас мире могут быть описаны только в системах отсчета, посредством которых можно указать место и время события.

Введем тройку не лежащих в одной плоскости (некомпланарных) направленных из точки А отрезков (векторов) называемых отсчетным р пером, и заполним пространство точками, положение которых задается векторами

, , (1.1)

где вещественные числа называются отсчетными координатами.

Отсчетный репер (А, с множеством точек (1.1) называется телом отсчета.

С истема отсчета – это тело отсчета с прибором для измерения времени (часами) (рис. 1.1). Только в системе отсчета могут быть введены основные понятия, в том числе расстояние и направление. В системе отсчета можно ввести сколько угодно систем координат, в том числе и подвижных, но, например, ни скорость точки, ни ускорение от системы координат не зависят.

Механика не изучает реальные физические объекты ввиду их непреодолимой сложности; она изучает тела – математические модели, наделенные некоторыми общими свойствами реальных объектов.

Основными «кирпичиками», из которых составляются тела, являются материальная точка и твердое тело, которые, собственно, и являются основными объектами изучения в общем курсе теоретической механики.

Материальная точка – наделенное массой тело, для описания положения которого достаточно одного вектора положения. Так, если нас интересует только положение Земли на ее орбите, мы считаем Землю материальной точкой и описываем положение ее центра; в то же время при описании движения какой – либо элементарной частицы необходимо учитывать и ее вращение – а это уже, по меньшей мере, модель твердого тела. Как станет ясно из дальнейшего изложения, для твердого тела кроме вектора положения какой–либо его точки необходимо еще тремя координатами (углами) описать его ориентацию. Кроме того, взаимодействие материальных точек описывается только силами, а твердых тел – еще и моментами.

Тела можно разделить на одномерные, двумерные и трехмерные. Одномерные тела занимают линию в пространстве и могут состоять из материальных точек (нити) и твердых тел-точек (стержни). Двумерные тела занимают поверхность в пространстве и также могут состоять из материальных точек (мембраны) и тел-точек (оболочки). Трехмерные тела занимают объем.