Министерство образования и науки Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ф.Ф. Прохоренко

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2013

Министерство образования и науки Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ф.Ф. Прохоренко

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Учебное пособие

Рекомендовано Учебно-методическим объединением

по университетскому политехническому образованию

в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по направлению подготовки бакалавров

и магистров

Санкт-Петербург

2013

УДК 531 (075.8)

ББК 22.2я73

Ж 721

Прохоренко Ф.Ф. Теоретическая механика: учебное пособие/ Ф.Ф. Прохоренко. – СПб.:Изд–во Политехн. ун–та, 2013. – 117 с.

Соответствует содержанию разделов федеральной дисциплины «Теоретическая механика» подготовки бакалавров, магистров по направлению подготовки 553300 «Прикладная механика».

Главное внимание уделено краткому изложению механики, опирающейся на фундаментальные законы, из которых естественным образом следуют такие, например, разделы, как механика Лагранжа, которая в традиционных учебниках основывается на дополнительных принципах и понятиях. Пособие соответствует курсам лекций, прочитанных автором студентам физико-механического, энергомашиностроительного, инженерно-строительного, электромеханического, технической кибернетики факультетов. Пособие содержит необходимые, а для общетехнических факультетов и достаточные для ныне сокращенных программ сведения по механике.

Предназначено для студентов и аспирантов технических специальностей.

Табл. 1. Ил.58 Библиогр.: 10 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2013

ISBN 5-7422-0465-5 Прохоренко Ф.Ф., 2013

Оглавление

Глава 1. Общие сведения из векторного и тензорного анализа 7

1.1. Системы отсчета, системы координат. Тела, примеры тел в механике 7

1.2. Некоторые сведения из векторного анализа. 8

1.3. Некоторые сведения из тензорного анализа 12

1.3.1. Определение тензора второго ранга 13

1.3.2. Операции с тензорами второго ранга 14

1.3.3. Некоторые тождества, связанные с определителем тензора. 17

1.3.4. Ортогональные тензоры. Тензор поворота 18

Глава 2. Статика 18

2.1. Воздействия и их классификация. Главный вектор и главный момент воздействий. Зависимость главного момента от выбора опорной точки 18

2.2. Уравнения равновесия для произвольной и плоской систем воздействий. Момент относительно оси. Типы опорных реакций. Статически определимые и неопределимые системы 20

2.3. Эквивалентные воздействия 23

2.4. Равнодействующая, центр параллельных сил, центр тяжести 26

Глава 3. Кинематика точки 27

3.1. Скорость и ускорение в декартовой системе координат 28

3.2. Скорость и ускорение в цилиндрической системе координат 28

3.3. Скорость и ускорение при траекторном (естественном) способе описания движения 29

Глава 4. Кинематика твердого тела 30

4.1 Кинематика плоского движения 31

4.1.1 Основная формула кинематики твердого тела. Формула Эйлера 31

4.1.2. Мгновенный центр скоростей и способы его нахождения 32

4.1.3. Ускорения точек твердого тела 34

4.2.Произвольное движение твердого тела 35

4.2.1 Описание ориентации тела. Направляющие косинусы 35

4.2.2.Матрица поворота. Матрица спина. Вектор угловой скорости 36

4.2.3. Описание ориентации с помощью тензора поворота. 39

Теорема Эйлера о тензоре поворота 39

4.2.4. Тензор спина, вектор угловой скорости, формула Пуассона 40

4.2.5.Теорема о сложении угловых скоростей 41

4.2.6.Примеры вычисления вектора угловой скорости 42

4.2.7. Связь тензора поворота и вектора конечного поворота 46

4.2.8. Сложное движение точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений (теорема Кориолиса). Пример 47

4.2.9. Сложное движение тела 51

Глава 5. Фундаментальные законы механики 53

5.1. Первый фундаментальный закон механики – закон баланса 54

количества движения. Открытые и закрытые тела 54

5.1.1. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского 55

5.1.2. Центр масс. Теорема о движении центра масс 56

5.1.3. Уравнения динамики относительного движения 57

материальной точки. Силы инерции. Примеры 57

5.2. Второй фундаментальный закон механики – закон баланса момента количества движения (кинетического момента) 63

5.2.1. Зависимость кинетического момента от выбора опорной точки. Кинетический момент твердого тела. Тензор инерции 64

5.2.2. Постоянный тензор инерции твердого тела. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей 66

5.2.3. Зависимость тензора инерции от точки (обобщенная теорема Гюйгенса– Штейнера) 67

5.2.4. Главные оси и главные моменты инерции 70

5.2.5. Эллипсоид инерции 71

5.2.6. Вычисление тензоров инерции некоторых тел 72

5.2.7. Дифференциальное уравнение вращения вокруг 74

неподвижной оси. Физический маятник 74

5.2.8. Дифференциальные уравнения произвольного движения 75

твердого тела. Замена опорной точки во втором ФЗМ 75

5.2.9. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. 79

Динамические реакции 79

5.3. Третий фундаментальный закон механики (закон баланса энергии) 81

5.3.1. Кинетическая энергия материальной точки и 81

твердого тела. Теорема Кенига 81

5.3.2. Мощность, работа 82

5.3.3. Потенциальные воздействия 83

5.3.4. Теорема об изменении кинетической энергии. Пример 84

5.3.5. Третий фундаментальный закон механики 87