Муниципальное общеобразовательное учреждение

“Лицей №3”

_____________________________________________________________________________

Логарифмы в биологии

В нашу современную жизнь вторгается математика с ее особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога.

Задача №5

В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий?

Решение.

q=8, t=2, p=100/8, B=500.

Значит, требуемое время соответствует значению выражения

, то есть примерно через 3 ч. 15 мин

Задача №6

П римером быстрого размножения бактерий является процесс изготовления дрожжей, при котором по мере их роста производится соответствующая добавка перерабатываемой сахаристой массы. Увеличение массы дрожжей выражается показательной функцией m= m”(1,2^t), где m” – масса дрожжей в процессе дрожжевания. Вычислим m, если m”=10 кг, и t=9 ч.

Решение.

Вычислим массу дрожжей в процессе дрожжевания:

m = 10 * (1.2)⁹= 51.6 кг

Ответ : 51.6 кг

Логарифмы в химии и биофизике

Для чего же нужны логарифмы в химии и как они применяются?

Думаю, все из нас неоднократно встречались с пометкой pH на моющих средствах.

В химии эту пометку принято называть водородным показателем.

За что же он отвечает?

В одородным показателем pH называется отрицательный десятичный логарифм концентрации ионов водорода.

Переводя на доступный язык, можно сказать, что с помощью водородного показателя определяется уровень кислотности среды.

С помощью логарифмов ученые научились определять точный возраст ископаемых пород и животных. Наиболее распространен Радиоуглеродный анализ.

На примере задачи попытаемся понять суть этого метода.

Задача №7

Известно, что соотношение между углеродом C¹² и его радиоактивным изотопом C¹⁴ во всех живых организмах постоянно. Период полураспада углерода C¹⁴ составляет 5760 лет. Определите возраст остатков мамонта, найденных в вечной мерзлоте на Таймыре, если относительное содержание изотопа C¹⁴ в них составляет 26% от его количества в живом организме.

Решение.

Пусть изначально изотопа C¹⁴ было m, получим q = m, t = 5760, p = 1/2, B = 0,26m, и значит,

Возраст останков мамонта составляет примерно 11200 лет.

Логарифмы «на слуху» и в ухе

Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, то вряд ли задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действия.

Одно из наиболее важных понятий акустики — тон, представляющий собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, человеческого голоса или других источников звука. Мы слышим звук во время одновременного действия нескольких тонов, частоты которых находятся в простых целочисленных отношениях. Сами звуки различаются по высоте, которая зависит от частоты колебаний струны. Для того чтобы понять, как человек ощущает звук, надо начать с описания уха (рис.1).

Рис.1.Схема строения уха человека:

1 — наружный слуховой проход; 2 — барабанная перепонка; 3 — полость среднего уха (барабанная полость); 4 — молоточек; 5 — наковальня; 6 — стремечко; 7 — полукружные каналы; 8 — преддверие; 9 — улитка; 10 — овальное окно; 11 — евстахиева труба.

Рассматривая устройство уха, можно заметить орган, который называется улиткой. Название вполне оправдано, так как форма этой части действительно напоминает улитку. Она напоминает спирально закрученную трубку. Контур «улитки» можно соотнести с логарифмической спиралью в математике.

Логарифмическая спираль

У логарифмической спирали все время выдерживается постоянный угол относительно оси (раковина улитки).

Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был Рене Декарт (1596—1650). Спирали, встречающиеся в природе, чаще всего бывают логарифмическими. Раковины наутилуса и улитки, соцветия маргаритки и подсолнечника, шишки сосны и паутина, сплетаемая одним из наиболее распространенных пауков, эпейра. Наиболее впечатляющим примером является спиральная структура галактик. И этот факт представляет не меньшую загадку, чем проблема их строения. Галактики состоят из горячих звезд и скоплений газа, которые в результате вращения галактика распределяются вдоль ветвей логарифмической спирали. У центра галактики ветви спирали вращаются быстрее, чем на границе, то есть они должны были бы быстро раскручиваться, и даже уничтожиться. Однако галактики, как правило, сохраняют спиральную структуру, что говорит о том, что ветви вовсе не раскручиваются.

Сила звука - это количество звуковой энергии, проходящей через единицу поверхности в единицу времени. Эта физическая величина не выражает величины нашего звукового ощущения- громкости.

Если мы будем слушать звуки различных частот, но одинаковой силы, то они покажутся нам отличающимися по громкости. Такое явление объясняется разной чувствительностью нашего уха к звукам различной частоты.

В 1846г. физиолог Вебер установил зависимость между ощущением и раздражением, вызывающим это ощущение. Им было доказано, что при едва заметном приросте ощущения отношение прироста раздражения к его первоначальной величине всегда остается постоянным. Названное отношение можно выразить в процентах. Вебер заметил, что прирост громкости (слухового восприятия) получится при увеличении силы звука на 10%.

В дальнейшем (в 1860г.) уже другой ученый – Фехнер подверг закон Вебера математической обработке. По результатам исследования был сформулирован общий психофизический закон Вебера - Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения: S=k lg J/J₀, где S – ощущение, J₀ – первоначальное раздражение, J –последующее раздражение, k – коэффициент пропорциональности.

Человеческое ухо способно воспринимать звуки, сила которых может изменяться в миллиарды раз. Единицей измерения силы звука является бел. Однако чаще всего пользуются децибелом – единицей измерения, которая в 10 раз меньше бела.