3.4.3.Последовательность униполярных треугольных импульсов

Рис. 3.9. Треугольное колебание, сумма первых пяти гармоник и ошибка аппроксимации - на нижнем графике, для наглядности увеличена в 10 раз

Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид:

(3.40)

В нем так же отсутствуют четные гармоники.

Отметим, что амплитуды гармоник убывают более быстро, чем в предыдущих случаях. Это объясняется отсутствием точек разрыва (скачков) функции.

Примечание: Симметричный (середина импульса при t=0) импульс длительности T_u, амплитуда которого равна 1, обозначают (t,T_u). Такой импульс можно представить в виде свертки двух одинаковых прямоугольных импульсов длительностью Т_и/2:

3.4.4.Последовательность униполярных прямоугольных импульсов

Рис. 3.10. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Найдем постоянную составляющую как среднее значение сигнала за период:

Коэффициент n -той гармоники:

(3.41)

Так как функция e(t) - четная, то b_n=0 и A_n=a_n:

(3.42)

Величину =T/_и называют скважностью импульсной последовательности. При больших значениях  спектр сигнала содержит очень большое число медле­н­но убывающих по амплитуде гармоник.

При этом расстояние между спектральными линиями очень мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине. Это следует из формулы Error: Reference source not found, которую в данном случае удобно представить в измененном виде:

При малых значениях n можно считать что

Постоянная составляющая, равная , вдвое меньше амплитуды первой гармоники.

На Рис. 3 .11 показан спектр импульсной последовательности при Т=1, _и=0.05.

Рис. 3.11. Спектр последовательности

3.4.5.Трехуровневый симметричный периодический импульс

Часто в задачах проектирования приборов медицинского назначения требуется сформировать один или несколько сигналов гармонического вида (напри­мер, в электростимуляторах, реографах, синхронных детекторах, генераторах тональных сигналов в модемной связи и т.п.). Еще более сложной является задача создания нескольких сигналов, находящихся в определенных фазовых соотношениях.

При повышенных требованиях к стабильности частоты, фазы или амплитуды сигналов рационально синтезировать цифровыми методами гармонические или близкие к ним по частотному спектру сигналы. При этом применяют различ­ные методы разложения (например, кусочно-постоянные функции Уолша).

Синтез колебаний выполняют с помощью цифровых схем или на основе микропроцессорных систем.

Простым, но в тоже время эффективным и наглядным примером является аппроксимация гармонического колебания трехуровневым периодическим импульсом. На Рис. 3 .12 показан пример такого подхода для импульсов с единичными амплитудой и периодом (A=1; T=1).

Один период такого колебания можно представить в следующем виде (Рис. 3 .12):

Рис. 3.12. Трехуровневый импульс

Коэффициенты ряда Фурье для положительных и целых n определяются следующим образом:

Здесь для упрощения в квадратных скобках приведены относительные амплитуды гармоник трехуровневого периодического колебания.

Все синусные коэффициенты b_n в данном случае равны нулю из-за четной симметрии сигнала. Тогда ряд Фурье имеет вид:

Спектр этого колебания (Рис. 3 .13) не содержит гармоник от основной до пятой, которая относительно основной уменьшена на 14 дБ.

Рис. 3.13. Модуль спектра трехуровневого колебания (по оси абсцисс указаны номера гармоник)

Это существенно ослабляет требования к фильтру, выделяющему основную гармонику и подавляющему гармоники высших порядков, по сравнению с фильтрацией меандра т.к. в спектре трехуровневого колебания отсутствует 3-я гармоника и ряд более высокочастотных гармоник.