00 Bilety_1-30
.pdfБилет №1 1. Дайте определение евклидова пространства (ЕП). Приведите примеры.
Дайте определение ортонормированного базиса ЕП и напишите формулу для вычисления скалярного произведения в этом базисе.
2.В линейном пространстве заданы два базиса : Е: 1 ( 0 ;1; -1) . 2 (1; 2 ;0) . 3 ( 3; 1; 2)
Е`:1 ( 3;1;0) . 2 (2;1;4) . 3 ( 2;0;1)
Найти матрицу перехода от базиса к базису.
3.Исследуйте квадратичную форму ... на знакоопределенность при различных лямда.
4.Дайте определение неявной функции ФНП. Сформулируйте теорему о ее существовании. Сформулируйте и докажите теорему о ее дифференцируемости.
5.Вычислить производную функции ... по направлению вектора и набольшее значение этой производной в точке.
Билет №2
1.Дайте определение подпространства линейного пространства, линейной оболочки системы векторов. Приведите примеры. Сформулируйте основное свойство линейной оболочки.
2.В линейном пространстве заданы два базиса :
Е: 1(2;1;-1) 2(0;1;2) 3(1;1;0) Е`:1(1;1;3) 2(3;-2;0) 3(-1:1;1)
Найдите матрицу перехода от базиса к базису.
3. Составьте матрицу линейного оператора А в стандартном базисе линейного пространства геометрических векторов плоскости {x: x принадл. V2} если A(x) = (Пр(а)х)а , где а = ...
Найдите образ вектора X1 под действием этого оператора.
4. Дайте определение дифференцируемой в точке ФНП . Сформулируйте и докажите теорему
о достаточных условиях дифференцируемости ФНП. 5. Проверить, является ли функция решение диффуры. Билет №3
1.Дайте определение линейного оператора (ЛО) и его матрицы в заданном базисе. Сформулируйте теорему о связи между матрицами одного и того же ЛО в различных базисах.
2.Найдите какой -нибудь базис системы векторов и выразите в нем остальные векторы системы.
1 (1;0;0;-1) 2(2;1;1;0) 3(1; 2 ; 3 ; 4) 4 (0 ; 1 ; 2 ; 3)
3.Постройте в исходной системе координат кривую, заданную уравнением.
4.Дайте определение полного дифференциала ФНП и дифференциалов высших порядков.
Выведите формулу для вычисления дифференциала 2-ого порядка ФНП. Напишите формулу для вычисления ... . напишите матрицу Гессе и сформулируйте связь между нею и дифференциалом 2-ого порядка ФНП.
5. Убедиться, что выражение, является полным дифференциалом скалярной функции двух переменных и найти эту функцию.
Билет №4.
1.Дайте определения собственного значение и собственного вектора линейного оператора, алгебраической и геометрической кратности собственного значения. Сформулируйте теорему об этих кратностях. В каком случае эти кратности обязательно совпадают.
2.В линейном пространстве заданы два базиса:
Е: 1(1;2;-1) 2(1;0;1) 3(0;1;1) Е`:1 (2;1;0) 2(0;1;3) 3(1;2;1)
Найти матрицу перехода от базиса к базису.
3.Исследовать квадратичную форму ... на знакоопределенность при различных лямда.
4.Дайте определение касательной плоскости к поверхности. Докажите теорему о ее существовании и выведите ее уравнение.
5.Убедитесь, что выражение ... является полным дифференциалом скалярной функции двух переменных, и найдите эту функцию.
Билет №5
1.Дайте определения квадратичной формы (КФ) и ее ранга. Напишите ее в координатном и матричном виде. Сформулируйте теорему о ранге КФ при переходе к новому базису и закон инерции.
2.Матрица линейного оператора А в базисе i,j,k имеет вид А= (..) . Составите матрицу этого оператора в базисе 1(1;1;-1) 2(1;0;-1) 3(2;-2;-1).
3.Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы линейного оператора, заданного матрицей (...).
4.Дайте определения производной по направлению и градиента ФНП. Выведите формулу для вычисления производной по направлению. Докажите свойства градиента ФНП.
5.Убедитесь , что выражение ... является полным дифференциалом скалярной функции двух переменных, и найдите эту функцию.
Билет 6
1.1 Дайте определение линейного пространства и базиса. Приведите примеры
2.. Матрица линейного оператора ... в базисе ... имеет вид Составьте матрицу этого оператора в базисе
3. В некотором ортонормированном базисе евклидова пространства дана система векторов Применяя процесс ортогонализации, ортонормируйте ее.
Модуль 2.1 Дайте определение дифференцируемой в точке ФНП. Сформулируйте определение сложной ФНП. Сформулируйте и докажите теорему о дифференцируемости сложной ФНП.
2. Вычислите производную функции по направлению вектора и наибольшее значение этой производной в точке
Билет 7
Модуль 1.1 Дайте определение квадратичной формы. Напишите ее в координатном и матричном виде. Дайте определение положительно и отрицательно определенной КФ. Сформулируйте критерий Сильвестра о знакопостоянстве КФ.
2.Убедитесь в том, что векторы ... образуют базис, и найдите координаты вектора ... в этом базисе.
3.Постройте в исходной системе координат кривую, заданную уравнением
Модуль 2.1 Дайте определение градиента ФНП и ее производной по направлению. Сформулируйте и докажите теорему о связи между ними. Докажите свойства градиента ФНП.
2. Убедитесь, что выражение ... является полным дифференциалом скалярной функции двух переменных, найдите эту функцию
Билет 8.
Дайте определение квадратичной формы (КФ), ее ранга, канонического вида и канонического базиса. Сформулируйте теорему об инвариантности ранга КФ относительно базиса линейного пространства, а также закон инерции.
Постройте в исходной системе координат кривую, заданную уравнением .
В пространстве многочленов, степени не выше трех, задан линейный оператор дифференцирования . Найдите его матрицу в стандартном базисе и координаты образа вектора в этом базисе. Ответ проверьте дифференцированием.
Модуль 2.
Дайте определение векторной ФНП. Дайте определение матрицы Якоби и Якобиана векторной ФНП. Выведите формулу для ее вычисления, используя матрицу Якоби.
Проверьте, является ли функция ... решением уравнения .
Билет 9
Дайте определение квадратичной формы (КФ). Напишите ее в координатном и матричном виде. Дайте определение ее канонического вида и канонического базиса. Сформулируйте теорему о возможности приведения любой КФ к каноническому виду.
Матрица линейного оператора ... в базисе ... имеет вид ...
Составьте матрицу этого оператора в базисе ....
В некотором ортонормированном базисе евклидова пространства дана система векторов ... Применяя процесс ортогонализации, ортонормируйте ее.
Модуль 2.1
Дайте определение локального экстремума ФНП. Сформулируйте и докажите теорему о необходимых условиях его существования. Сформулируйте теорему о достаточных условиях его существования.
Убедитесь, что выражение ... является полным дифференциалом скалярной функции двух переменных, найдите эту функцию.
Билет 10
Дайте определение базиса линейного пространства. Сформулируйте определение матрицы перехода к новому базису. Напишите формулу, связывающую координаты вектора в новом и исходном базисах.
Постройте кривую, заданную уравнением ... в исходной системе координат. Проверьте, являются ли векторы ... линейно зависимыми.
Модуль 2.1
Дайте определение частных производных ФНП 1-ого порядка и высших порядков. Сформулируйте и докажите теорему о смешанных частных производных ФНП для ...
Найдите линии уровня ФНП и ее градиент. Постройте график той линии уровня, которая проходит через точку и градиент заданной функции в точке.
Билет 11
Дайте определение собственного вектора линейного оператора (ЛО). Докажите теорему о линейной независимости собственных векторов, соответствующих попарно различным собственным значениям .
Сформулируйте теорему о матрице ЛО в базисе из собственных векторов.
Дайте определение векторной ФНП, ее координатных функций, ее предела и ее непрерывности в точке и на множестве.
Билет 12
Дайте определение линейного оператора (ЛО) и его матрицы в заданном базисе линейного пространства. Дайте определение собственного значения и собственного вектора ЛО. Сформулируйте теорему о собственных векторах, соответствующих попарно различным собственным значениям. Докажите теорему о матрице ЛО в базисе из собственных векторов.
Дайте определение дифференцируемой в точке ФНП, ее полного и частных дифференциалов. Напишите формулы для их вычисления.
Билет 13
Дайте определение линейного оператора, сопряженного данному линейному оператору. Докажите теорему о его матрице в ортонормированном базисе евклидова пространства и теорему о его существовании и единственности.
Дайте определение матрицы Якоби и якобиана векторной ФНП. Сформулируйте теорему о производной сложной векторной ФНП. Напишите формулу для ее вычисления, используя матрицу Якоби.
Билет 14
Дайте определение линейного оператора (ЛО) и его матрицы в заданном базисе. Сформулируйте и докажите теоремы о преобразовании координат вектора под действием ЛО и о связи между матрицами одного и того же ЛО при переходе к новому базису.
Дайте определение частной производной ФНП и геометрическую интерпретацию частных производных функции 2-ух переменных.
билет 15
Дайте определение нормы вектора евклидов пространства. Сформулируйте ее свойства. Докажите неравенство Коши-Буняковскогои и Минковского (треугольника).
Дайте определение скалярной ФНП, области ее существования, линии уровня 2-х переменных и поверхности уровня 3-х переменных функции 3-х переменных. Дайте определение градиента ФНП и сформулируйте его связь с линией и поверхностью уровня ФНП.
билет 16
Дайте определение матрицы перехода к новому базису линейного пространства. Выведите формулу, связывающую координаты вектора в исходном и новом базисах.
Дайте определение касательной плоскости и нормали к поверхности. Напишите их уравнения. Сформулируйте теорему о существовании касательной плоскости к поверхности.
билет 17
Дайте определение самосапряженного линейного оператора (ЛО). Докажите теорему о его матрице и ортонормированном базисе. Сформулируйте состав собственных значений и собственных векторов самосапряженного ЛО.
Дайте определение векторной ФНП и ее координатных функций. Дайте определение дифференцируемой в точке векторной ФНП и сформулируйте теорему о ее дифференцируемости.
билет 18
Дайте определения евклидова пространства и его ортогональных векторов. Докажите теорему о линейной независимости ортогональной системы векторов. Сформулируйте определение ортогонального и ортонормированного базисов евклидов пространства .
Сформулируйте теорему Тейлора для ФНП и напишите формулы Тейлора и Маклорена.
билет 19
Дайте определение ортонормированного базиса линейного пространства. Опишите процесс ортогонализации системы векторов (Грама-Шмидта). Докажите теорему о существование в n-мерном евклидовом пространстве ортонормированного базиса.
Дайте определение дифференцируемой в точке векторной ФНП, полного дифференциала и дифференциалов высших порядков этой функции. Напишите формулы для их вычисления.
билет 20
Дайте определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора (ЛО). Опишите алгоритм нахождения собственных чисел и собственных векторов. Докажите необходимое и достаточное условие того, что действительное число является собственным значением ЛО. Докажите теорему об инвариантности характеристического многочлена ЛО относительно базиса линейного пространства.
Дайте определение неявной ФНП и сформулируйте теоремы о ее существовании и дифференцируемости.
21. Дайте определение билинейной (квадратичной) формы и её матрицы. Запишите в координатном и матричном виде. Докажите теорему о связи между матрицами одной и той же формы в различных базисах.
В некотором ортнорм.базисе матрица имеет вид, привести к диагональному виду.
Дайте определение сложной ФНП. Сформулируйте т еорему о еёё дифференцируемости.
Исследуйте на экстремум z=3x^2y-18x-30y+y^3 Вычислите производную U=x^2yz^2 по направлению
22. Дайте определение квадратичной формы. определения канонического вида
В пространстве многочленов степени не выше двух. матрицу перехода к базису
Дайте определения непрерывности ФНП в точке, на множестве Исследуйте на экстремум z=e^2x (x+y^2+2y)
найдите частную и полную производные по переменной x, если xy + x^y=2
23. Дайте определение самосопряженного линейного оператора. собственного значения вектора ЛО. свойства собственных значений самосопряжённого
Исследуйте квадратичную форму 5x1^2+x2^2+lx3^2+4x1x2-2x1x3-2x2x3 на знакоопределённость
Убедитесь, что векторы образуют новый базис и найдите координаты
Дайте определение дифференцируемой ФНП. теоремы о необходимых условиях дифференцируемости
Убедитесь, что выражение (2xy^2+sqrt(c))dx+... является полным дифференциалом и найдите эту функцию
24. Дайте определение евклидова пространства. Постройте кривую 6x1x2-8x2^2+9=0
В пространстве геометрических векторов на плоскости с базисом задан линейный оператор. Составьте матрицу этого оператора и найдите образ.
Дайте определение полного дифференциала
Проверьте, является ли функция u(x,y)=x^2 + f(y+2x) + (y+2x)g(y+2x) решением уравнения
25. Дайте определение собственного значения и собственного вектора
Приведите квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием 6x1^2+5x2^2+7x3^2-4x1x2+4x2x3
Дайте определение векторной ФНП и её координатных функций.
Вычислите производную функции u(x,y,z)=x(y^2)z+3(x^2)y(z^3) по направлению вектора
26. Дайте определение канонического вида квадратичной формы. Сформулируйте теорему о возможности приведения КФ к каноническому.
В геометрическом пространстве заданы векторы
Постройте в исходной системе координат кривую 2x1^2 - 12x1x2 + 11x2^2 = 14
Дайте определение полного дифференциала ФНП. Напишите формулу для его вычисления
Убедитесь, что выражение (y sin(xy)) dx + ... полным дифференциалом скалярной функции
27. Дайте определение самосопряженного линейного оператора. теорему об ортогональности его собственных векторов
Запишите квадратичную форму f = x1^2 + x2^2 - 4x1x2 + 4x2x3 в базисе Дайте определение частной производной, дифференцируемости Исследуйте на экстремум z=xy+4/x+2/y
Найдите частные производные функции z(x,y), заданной уравнением F(xz^2, xyz, z^3)=0
28. Дайте определение ортогональной матрицы и докажите. ортогонального линейного оператора, матрице в ортонормированном базисе
В пространстве арифметических векторов задан линейный оператор. Составьте его матрицу в каноническом базисе
Дайте определение точки локального экстремума ФНП. Сформулируйте теоремы о необходимых и достаточных условиях её существования
Составьте уравнение той касательной плоскости
29. Дайте определение линейного оператора и его матрицы в заданном базисе. Выведите формулу преобразования матрицы ЛО при переходе к новому. Докажите инвариантность
Дайте определние и напишите формулу для вычисления производной ФНП по направлению
30. Дайте определение самосопряженного линейного оператора. Сформулируйте теорему о его матрице в ортонормированном
Найдите базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе
Дайте определение условного локального экстремума фнп. Сформулируйте и докажите теорему о необходимых
Найдите полный дифференциал функции e^xz + ln(y+z)=2x^2 в точке A(1,0,1).