4. Возвратные уравнения.
Симметрические уравнения можно с успехом применять для решения некоторых уравнений высших степеней. Рассмотрим так называемые возвратные уравнения. Назовем многочлен
(*)
возвратным,
если в нем коэффициенты равноудаленные
от концов, совпадают, то есть
Например, возвратными являются многочлены
Уравнение f(z)=0, левая часть которого представляет собой возвратный многочлен, называется возвратным.
В основе решения возвратных уравнений лежит следующая теорема.
Теорема.
Всякий возвратный многочлен
четной степени 2k представляется в виде
,
где
и
– некоторый многочлен степени k
от
.
Всякий возвратный многочлен f(z) нечетной степени делится на z+1. Причем частное представляет собой возвратный многочлен четной степени.
Пример.
Решить уравнение
.
Решение.
Рассматриваемое уравнение является возвратным и имеет степень 4. Левая часть преобразуется следующим образом:
.
Так как z=0 не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к квадратному уравнению относительно :
=0.
Решая его, находим 2 корня
,
.
Таким образом, для нахождения корней первоначального уравнения мы получим два уравнения:
и
.
Решая их, находим 4 корня первоначального уравнения
,
,
.
Пример.
Решить уравнение
.
Решение.
Это возвратное уравнение имеет нечетную степень 11. Согласно теории его левая часть делится на (z+1). Имеем
=
=
.
Данное уравнение распадается на два
z+1=0
и
.
Первое из этих
уравнений дает корень
.
Второе представляет собой возвратное
уравнение четной степени. Преобразуем
его левую часть:
=
=
.
Так как z=0 не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к следующему уравнению относительно :
.
Мы имеем
и еще 4 корня, которые легко найти решая
биквадратное уравнение
.
В результате мы находим 5 значений для :
,
,
,
,
.
Для нахождения корней данного уравнения мы имеем
,
,
,
,
.
Решая их и учитывая
найденный ранее корень
,
получаем 11 корней исходного уравнения:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
5. Разложение симметрических многочленов на множители.
Пример.
Разложить многочлен
на множители.
Решение.
.
По таблице находим:
.
Это многочлен
второй степени относительно
,
его легко разложить на множители. Так
как он имеет корни
,
то
.
Подставляя вместо
и
их значения
,
,
получаем:
.
Каждый из двух
квадратных трехчленов, стоящих в правой
части, снова можно разделить на множители.
Например, первый из них, то есть
,
рассматриваемый как квадратный трехчлен
относительно x,
имеет корни
,
,
и поэтому
.
Аналогично получим:
.
Таким образом, окончательно получим:
.
Задания для самостоятельного решения.
1. Решить уравнение
.
2. Разложить на множители следующие многочлены:
а)
б)
.