Лекция №24-25 Границы корней многочлена. Теоремы о числе корней

1. Границы действительных корней многочлена с действительными коэффициентами

Если

(1)

–многочлен с действительными коэффициентами, то все его действительные корни (если они вообще существуют) заключены в интервале (-N,N), где , A – наибольшее из чисел

Пример 1.

.

Решение.

Здесь A=100, , (-21,21).

Можно указать и более точные границы корней многочлена.

Число K – называется верхней границей действительных корней многочлена (1), если он не имеет действительных корней больших или равных K. Аналогично определяется верхняя и нижняя граница положительных или отрицательных корней многочлена.

Если – верхняя граница положительных корней f(x), – верхняя граница положительных корней f(-x), – верхняя граница положительных корней многочлена и – верхняя граница положительных корней многочлена , то все отличные от нуля действительные корни многочлена f(x), если они вообще существуют, лежат внутри интервалов

и .

Для нахождения верхней границы положительных корней многочлена можно применять один из следующих методов:

1) Способ Макларена.

Если в (1) и , то верхняя граница положительных корней этого многочлена находится по формуле

,

где B – наибольший из абсолютных величин отрицательных коэффициентов f(x).

Пример 2.

.

Решение.

l = 2, B = 36, .

Рассмотрим многочлен

для него, верхней границей положительных корней служит число . Рассмотрим

.

Здесь l=1, .

Рассмотрим

имеем . Следовательно, если f(x) имеет действительные корни, то они обязательно должны лежать в интервалах

и .

(по способу, указанному в самом начале получился бы интервал (-5,5)).

2) Способ Ньютона.

Если при x=C многочлен (1) и его производные принимают положительные значения, то С – верхняя граница положительных корней многочлена f(x). Применяя способ Ньютона значения проще всего находить по схеме Горнера.

Пример 3.

.

Решение.

По способу Маклорена находим: . Применяем способ Ньютона. Испытываем число C=3:

	3	-18	14	36	25
3	3	-9	-13	-3	16
	3	0	-13	-42

f(3)=16>0, но f '(3)=-42<0, С=3 – не подходит.

Испытываем число C=4:

	3	-18	14	36	25
4	3	-6	-10	-4	9
	3	6	14	52

………………………………………………………………………

Так как получились строки, целиком состоящие из положительных чисел, можно дальше не считать (везде дальше будут получаться положительные числа). f'(4),f''(4),f'''(4),f''''(4)>0, C=4 – верхняя граница положительных корней многочлена f(x). Для нахождения числа С, для которого можно поступать и так: взять число , для которого , затем , для которого , затем число , для которого и так далее до .

Пример 4.

.

Решение.

Здесь , и можно взять , С = 4 – верхняя граница положительных корней f(x).

3. Предполагая представляем многочлен (1) (не переставляя его членов) в виде , где у каждого многочлена – старший коэффициент положительный и в ряду коэффициентов имеется только одна перемена знаков ( – может вообще не иметь перемен знака в ряду коэффициентов). Если при С>0, , то С – верхняя граница положительных корней f(x).

Пример 5.

.

Решение.

Полагаем

, , . Тогда С=3 – верхняя граница положительных корней многочлена f(x).

Если в многочлене , то надо рассмотреть многочлен -f(x), имеющий те же корни, что и f(x).