5. Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками движения.

Тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением следующим образом:

aτ = dv/dt = d(ωR)/dt = R•dω/dt = ε•R.

Угловая скорость и угловое ускорение – вектора. Поэтому необходимо уточнить, как они ориентированы в пространстве. Для этого требуется задать ось вращения и указать, в какую сторону происходит вращение. Можно связать направление угловой скорости с движением буравчика: угловой скорости приписывают то направление, в котором будет двигаться (ввинчиваться или вывинчиваться) буравчик, если его вращать в направлении изображаемого вращения (рисунок - 1.14).  Угловая скорость обладает всеми свойствами векторных величин и

поэтому можно к нему применить правило векторного произведения, которая связывает три вектора следующим образом: 

v = [ωR].

Они связаны между собой правилом правого винта: вращение от ω к R покажет направление поступательного движения тела (v) в данный момент времени. Если направление оси вращения остаётся неизменным, то вектор ε лежит на той же оси, что и вектор угловой скорости. Он совпадает по направлению с ω, если угловая скорость возрастает по величине (рисунок - 1.15,а), и направлен в противоположную сторону, если ω уменьшается (рисунок - 1.15,в). Промежуток времени, в течение которого материальная точка, двигаясь по окружности, совершает один полный оборот, называют периодом обращения. Период обращения обозначают буквой Т и выражают в секундах. Величину п, обратную периоду обращения и равную числу оборотов, совершаемых телом за единичное время, называют частотой обращения - n =1/T. 

6. Основные понятия динамики: инерция, масса, сила, импульс. Законы Ньютона.

1-й: Существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущееся тело сохраняет свою скорость постоянной, если на него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано.

2-й: В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

где   — ускорение тела,   — силы, приложенные к материальной точке, а   — её масса, или

В классической (ньютоновской) механике масса материальной точки полагается постоянной во времени и независящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами^[3][4].

Второй закона Ньютона можно также сформулировать с использованием понятия импульса:

В инерциальных системах отсчёта производная импульса материальной точки по времени равна действующей на него силе^[5].

где   — импульс (количество движения) точки,   — её скорость, а   — время. При такой формулировке, как и ранее, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени^[6][7][8].

3-й: Тела действуют друг на друга силами равными по модулю и противоположными по направлению

Если при этом рассматриваются взаимодействующие материальные точки, то обе эти силы действуют вдоль прямой, их соединяющей. Это приводит к тому, что суммарный момент импульса системы состоящей из двух материальных точек в процессе взаимодействия остается неизменным. Таким образом, из второго и третьего законов Ньютона могут быть получены законы сохранения импульса и момента импульса

7. Система материальных точек (механическая система). Внешние и внутренние силы. Закон движения центра масс системы.

Центром масс (центром инерции) системы п материальных точек называется точка с радиус-вектором относительно начала данной системы отсчета: r_c=((сумм от i=1 до n)m_ir_i)/m(1), где m_i и r_i – это масса и радиус-вектор i-й материальной точки соответственно; n – число материальных точек в системе;

((сумм от i=1 до n)m_i)/ – масса всей системы. Положение центра масс характеризует распределение массы этой системы. В векторном виде (1) имеет вид: r_c=1/m*& v rdm=1/m*&v qrdv.

Ур-ние движения центра масс: mdv_c/dt=F_внешн т.е. центр масс системы частиц движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. При этом ускорение центра масс не зависит от точек приложения внешних сил.

8. Импульс системы материальных точек. Закон сохранения импульса.

9. Работа, мощность, энергия.

Работа является мерой превращения одного вида энергии в другой. Действие силы F на перемещении dr характеризуют величиной, равной скалярному произведению Fdr, которую называют элементарной работой силы F на перемещении dr : (чибо)A= Fdr=(Fcosa)ds=Fsds, угол a – угол между F и dr.

Работа силы F на пути: A=2&1 Fdr=2&1 Fsds;

Мощность – это работа, совершаемая силой за единицу времени. Мощность P равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы:

P= (чибо)A/dt=(F,v)

10. Кинетическая энергия и теорема об ее изменении.

Так как система представляет совокупность материальных точек, то для одной точки справедлива теорема об изменении кинетической энергии точки:

 , где   – элементарные работы действующих на точку внешних и внутренних сил.

Составляя уравнение (10.13) для каждой точки системы, получим:

 ,

Учитывая, что  – кинетическая энергия системы.

Тогда уравнение (10.14) примет вид:

 ,

Проинтегрировав выражение получим:

 , или

 ,

Выражение (10.16) представляет теорему об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Если система неизменяемая, т.е. расстояние между точками приложения внутренних сил при движении системы не изменяется. Например, такой системой является абсолютно твердое тело или нерастяжимая нить. В этом случае сумма работ всех внутренних сил равна нулю, т.е.:

 ,

тогда уравнение примет вид:

 ,